第1部分 第3章 微专题1 平面直角坐标系中的面积-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

微专题一　平面直角坐标系中的面积 模型一　规则图形有边与坐标轴平行 或与坐标轴重合 模型展示 结论1：将该边作为底，直接将点的坐标转化为底边长及高，进而计算图形面积． 【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点A(0，10)处开始，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点B(8，0)处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，2 s后，它们分别到达点A′，B′． (1)求出点A′，B′的坐标； (2)求四边形AA′B′B的面积． [解]　(1)由题意知，OA′＝10－2×3＝4，OB′＝8－2×2＝4，∴A′(0，4)，B′(4，0)． (2)由题意知，S四边形AA′B′B＝S△AOB－S△A′OB′＝×10×8－×4×4＝32， ∴四边形AA′B′B的面积为32． [跟踪训练] 1． 如图，在平面直角坐标系中，BC∥x轴，AD＝BC，且A(0，3)，C(5，－1)，D(7，3)，求四边形ABCD的面积． 2． [解]　∵A(0，3)，D(7，3)， ∴AD∥x轴，AD＝7， ∵BC∥x轴， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∵A(0，3)，C(5，－1)， ∴AD与BC之间的距离为3－(－1)＝4， ∴四边形ABCD的面积为4×7＝28． 2．如图，已知A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)． (1)求点C到x轴的距离； (2)求△ABC的面积． [解]　(1)∵C(－1，－3)， ∴|－3|＝3， ∴点C到x轴的距离为3． (2)∵A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)， ∴AB＝4－(－2)＝6，点C到边AB的距离为3－(－3)＝6， ∴△ABC的面积为6×6÷2＝18． 模型二　用分割法求不规则图形的面积 模型展示 如图，S四边形AOBC＝S梯形OBCD＋S△ACD， S四边形ABCD＝S△ADE＋S△BCF＋S梯形EFCD． 结论2：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形分割成几个规则图形，再求几个规则图形面积的和． 【典例2】　如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(3，0)，(1，)，(0，1)，求四边形OABC的面积．(用两种方法求) [解]　法一：如图，连接OB， S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝×3××1×1＝． 法二：如图，作BD⊥y轴于D， S四边形OABC＝S四边形OABD－S△BCD＝(1＋3)×÷2－×(－1)×1 ＝2 ＝． [跟踪训练] 3．(2024·内蒙古包头)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为(　　) A．14 B．11 C．10 D．9 D　[过A点作AE⊥x轴于E，过B点作BF⊥x轴于F，如图， S四边形OABC＝S△AOE＋S梯形ABFE＋S△BCF ＝×1×2＋×(3＋2)×(3－1)＋×(5－3)×3＝9． 故选D．] 4．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)，求四边形ABCD的面积． [解]　∵四边形ABCD的顶点A的坐标为(－2，－1)， ∴B(2，－1)，C(4，3)，D(0，4)， ∴S四边形ABCD＝S△ADE＋S矩形BEFG＋S△DFC＋S△BGC ＝×2×5＋4×2＋×4×1＋×2×4 ＝19． 模型三　用补形法求不规则图形的面积 模型展示 结论3：一般从图形的某个顶点向坐标轴作垂线，把图形补成规则图形，再求几个规则图形面积的和或差． 【典例3】　已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)． (1)在坐标系中描出各点，画出△ABC． (2)求△ABC的面积． [解]　(1)如图所示． (2)过点C向x，y轴作垂线，垂足分别为D，E． ∴S四边形DOEC＝3×4＝12，S△BCD＝×2×3＝3，S△ACE＝×2×4＝4，S△AOB＝×2×1＝1． ∴S△ABC＝S四边形DOEC－S△ACE－S△BCD－S△AOB ＝12－4－3－1＝4． [跟踪训练] 5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D交线段BC于点E，求四边形ODBE的面积． [解]　过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示． ∵点A(5，0)，B(2，6)，BC∥x轴，∠COM＝90°， ∴四边形OMBC为矩形， ∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6， ∴AM＝OA－OM＝5－2＝3， ∵BD＝2AD， ∴AD∶AB＝1∶3， ∵BM⊥x轴，DN⊥x轴， ∴BM∥DN， ∴△ADN∽△ABM， ∴DN∶BM＝AN∶AM＝AD∶AB， 即DN∶6＝AN∶3＝1∶3， ∴DN＝2，AN＝1， ∴ON＝OA－AN＝5－1＝4， ∴点D的坐标为(4，2)， ∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D， ∴k＝8， 根据反比例函数比例系数的几何意义得： S△OCE＝×8＝4， ∵S梯形OABC＝(BC＋OA)·OC＝×(2＋5)×6＝21，S△AOD＝OA·DN＝×5×2＝5， ∴S四边形ODBE＝S梯形OABC－S△OCE－S△AOD＝21－4－5＝12． 模型四　根据已知图形的面积利用逆向思维求点的坐标 结论4：已知坐标系中图形的面积，求点的坐标时，可将该点的横(纵)坐标转化为到坐标轴的距离，利用面积来解决线段数量关系，从而求出点的坐标． 【典例4】　如图，已知平面直角坐标系． (1)描出点A(－3，0)，点B(2，0)； (2)如果△ABC的面积为10，且点C在y轴上，试确定点C的坐标，并画出△ABC． [解]　(1)点A，点B如图所示． (2)设点C(0，m)， ∵S△ABC＝10， ∴·|m|·5＝10， 解得m＝4或m＝－4， ∴点C的坐标为(0，4)或(0，－4)， ∴△ABC如图所示． [跟踪训练] 6．如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一点，点B(0，b)为y轴上一点，其中a，b满足：|a＋3|＋＝0． (1)求点A，B的坐标； (2)点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　(1)∵|a＋3|＋＝0， ∴a＋3＝0，b－4＝0， ∴a＝－3，b＝4， ∴A(－3，0)，B(0，4)． (2)∵A(－3，0)， ∴OA＝3， ∵△ABC的面积为12，即S△ABC＝BC·OA＝×3×BC＝12， ∴BC＝8， ∵B(0，4)，点C为y轴负半轴上一点， ∴OB＝4， ∴OC＝4， ∴C(0，－4)． (3)存在． ∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，OA＝3， ∴BC边上的高OP为， ∴点P的坐标或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $