第1部分 第2章 第4节 一元一次不等式(组)及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第四节　一元一次不等式(组)及其应用 考点一　不等式的概念及性质 1．不等式的有关概念 不等式 用符号“<”或“>”或“≠”表示大小关系的式子 不等式的解 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解 不等式 的解集 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 解不等式 求不等式的解集的过程叫做解不等式 2．不等式的基本性质 文字描述 式子表达 性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 如果a>b，c>0，那么ac＞bc 性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b，c<0，那么ac＜bc 考点二　 一元一次不等式(组)的解法 1．一元一次不等式(组)及解法 一元一次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1 解一元一次不等式(组)的一般步骤 先求出各不等式的解集，各不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集，可以借助于数轴来求解 2．不等式组解集的确定方法(a<b) 不等式组 在数轴上表示解集 解集 口诀 x>b 同大取大 x<a 同小取小 a<x<b 大小小大中间找 无解 大大小小 找不到 考点三　一元一次不等式(组)的应用 1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些表示不等关系的关键词，如：“至少”“最多”“超过”“不超过”“不低于”“不大于”“不小于”“大于”“小于”等，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际，挖掘题中隐含的不等关系． 2．列不等式(组)解应用题的一般步骤 (1)审题，寻找题中的不等关系； (2)设未知数； (3)根据不等关系列出一元一次不等式(组)； (4)解一元一次不等式(组)； (5)在不等式(组)的解集中找出符合题意的值； (6)作答． 1．(青岛版八下P90拓展与延伸T8改编)若m＞n，则下列选项中不成立的是(　　) A．m＋4＞n＋4　　　　　 B．m－4＞n－4 C．－4m＞－4n D．> C　[A．若m＞n，则m＋4＞n＋4； B．若m＞n，则m－4＞n－4； C．若m＞n，则－4m＜－4n； D．若m＞n，则>. 故选C.] 2．如图所示的是哪个不等式的解集(　　) A．x＞－ B．x≥－ C．x＜－ D．x≤－ B　[由题图可看出，从－出发向右画出的线且－处是实心圆，表示x≥－.故选B.] 3．不等式－x＋1＜－3的解集是(　　) A．x＞2 B．x＞4　 C．x＞8 D．x＜8 C　[移项，得－x＜－3－1， 合并同类项，得－x＜－4， 系数化为1，得x＞8. 故选C.] 4．(人教版七下P128例1改编)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． D　[ 由①，得x＜－2， 由②，得x≤1， 则不等式组的解集为x＜－2， 故选D.] 5．小明拿出4元钱去买本子和铅笔，他买了价格为0.5元的本子5本后，还可以买4支铅笔，则铅笔的价格最多可能是________元． 0.375　[设铅笔的价格最多可能是x元， 依题意，得0.5×5＋4x≤4， 解得x≤0.375， 故铅笔的价格最多可能是0.375元．] 6．不等式组的解集是x＞3，那么a的取值范围是________． a≤3　[ 解不等式①得，x＞3， 解不等式②得，x＞a， ∵不等式组的解集是x＞3， ∴a≤3. 故答案为a≤3.] 命题点1　不等式的基本性质 【典例1】　(2023·临沂)在实数a，b，c中，若a＋b＝0，b－c＞c－a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A　[∵a＋b＝0，b－c＞c－a＞0， ∴2c＜a＋b＝0， ∴c＜0. ∵c－a＞0， ∴c＞a， ∴a＜0， ∵a＋b＝0， ∴b＝－a＞0， ∴a，b互为相反数， ∴|a|＝|b|， 综上，正确的结论有④. 故选A.] 　不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． [对点演练] 1．(2024·上海)如果x＞y，那么下列正确的是(　　) A．x＋5≤y＋5 B．x－5＜y－5 C．5x＞5y D．－5x＞－5y C　[如果x＞y，两边同时加上5，得x＋5＞y＋5，则A不符合题意； 如果x＞y，两边同时减去5，得x－5＞y－5，则B不符合题意； 如果x＞y，两边同时乘5，得5x＞5y，则C符合题意； 如果x＞y，两边同时乘－5，得－5x＜－5y，则D不符合题意．故选C.] 2．(2024·江苏苏州)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(　　) A．a＋1＜b　　　　　　 B．a－1＜b C．a＞b D．a＋1＞b D　[若a＞b－1，不等式两边加1可得a＋1＞b，故A不符合题意，D符合题意， 根据a＞b－1，得不到a－1＜b，a＞b，故B、C不符合题意．故选D.] 命题点2　解一元一次不等式(组) 【典例2】　(2023·菏泽)解不等式组 [解]　 解不等式①，得，x＜2.5， 解不等式②，得，x≤， ∴该不等式组的解集是x≤. 　确定一元一次不等式组的解集的方法 (1)(数轴法)同右取右；同左取左；左右相交取中间；左右相背是无解． (2)(概念法)大大取大；小小取小；大小小大中间找；大大小小取不了． [对点演练] 3．(2024·山东)写出满足不等式组的一个整数解________． －1(答案不唯一)　[ 由①得，x≥－1， 由②得，x<3， ∴不等式组的解集为－1≤x<3， ∴不等式组的一个整数解为－1. 故答案为－1(答案不唯一)．] 4．(2023·临沂17题节选)解不等式5－2x＜，并在数轴上表示解集． [解]　5－2x＜， 2(5－2x)＜1－x， 10－4x＜1－x， －4x＋x＜1－10， －3x＜－9， x＞3. 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 命题点3　根据不等式(组)的解集情况求字母的取值(范围) 【典例3】　(2023·聊城)若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是________． m≥－1　[ 解不等式①得x≥－1， 解不等式②得x≥m. ∵不等式组的解集为x≥m， ∴m≥－1.] 　解答此类题需要灵活求解不等式(组)，能根据不等式(组)解的情况将不等式(组)的解集在数轴上表示出来，借助数轴的直观性确定字母或字母所在代数式的取值范围，注意空心圆圈与实心圆点的区别． [对点演练] 5．(2024·南充)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是(　　) A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 B　[解不等式2x－1＜5，得x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m＋1≥3， ∴m≥2.故选B.] 6．(2024·东阿县模拟)关于x的不等式组有且仅有5个整数解，则a的取值范围是(　　) A．－5＜a≤－4 B．－5≤a＜－4 C．－4＜a≤－3 D．－4≤a＜－3 D　[ 解不等式①，得x＞a， 解不等式②，得x＜2， 所以不等式组的解集是a＜x＜2. ∵关于x的不等式组有且仅有5个整数解(1，0，－1，－2，－3)， ∴－4≤a＜－3.故选D.] 命题点4　一元一次不等式(组)的实际应用 【典例4】　(2023·济宁)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ [解]　(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少(x＋0.3)万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x＋0.3＝1.2. 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元． (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25－m)个， 根据题意，得 解得，≤m≤. ∵m为整数， ∴m＝14，15，16. ∴该停车场有3种购买充电桩方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩． ∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， ∴购买方案三总费用最少，最少费用为：16×0.9＋1.2×9＝25.2(万元)． [对点演练] 7．(2024·山东)根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180 cm； ②1班学生的最低身高小于150 cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170 cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ C　[设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm， 根据1班班长的对话，得x≤180，x＋a＝350， ∴x＝350－a， ∴350－a≤180， 解得a≥170， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得b>140，y＋b＝290， ∴b＝290－y， ∴290－y>140， ∴y<150， 故②正确． 故选C.] 8．(2024·聊城二模)如图是测量一物体体积的过程： 步骤一： 步骤二： 步骤三： 步骤一：将180 cm3的水装进一个容量为300 cm3的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积x(cm3)所在的范围是________． 30＜x＜40　[由题意可知 解得，30＜x＜40. 故答案为30＜x＜40.] 课时分层评价卷(八)　一元一次不等式(组)及其应用 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分) 1．(2024·广东广州)若a＜b，则(　　) A．a＋3＞b＋3 B．a－2＞b－2 C．－a＜－b D．2a＜2b D　[若a＜b，两边同时加上3，得a＋3＜b＋3，则A不符合题意； 若a＜b，两边同时减去2，得a－2＜b－2，则B不符合题意； 若a＜b，两边同时乘－1，得－a＞－b，则C不符合题意； 若a＜b，两边同时乘2，得2a＜2b，则D符合题意． 故选D.] 2．(2024·河北)下列数中，能使不等式5x－1＜6成立的x的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[解不等式5x－1＜6，得x<.故选A.] 3．(2024·河南)下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是(　　) A．x＞2 B．x＜0　 C．x＜－2 D．x＞－3 A　[∵－x＞1，∴x＜－1. A．无解，故此选项符合题意； B．的解集是x＜－1，故此选项不符合题意； C．的解集是x＜－2，故此选项不符合题意； D．的解集是－3＜x＜－1，故此选项不符合题意． 故选A.] 4．(2024·内蒙古赤峰)解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． C　[ 解不等式①，得x<2， 解不等式②，得x≥－3， 所以不等式组的解集为－3≤x<2． 在数轴上表示为：． 故选C.] 5．(2024·烟台)关于x的不等式m－≤1－x有正数解，m的值可以是________(写出一个即可)． 0(答案不唯一)　[原不等式整理得，x≤1－m， 解得，x≤2－2m， ∵原不等式有正数解， ∴2－2m＞0， 解得，m＜1， 则m的值可以是0. 故答案为0(答案不唯一)．] 6．一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对______道题． 22　[设小明答对x道，根据题意，得 4x－1×(25－2－x)≥83， 解得x≥21.2， 即小明至少要答对22道题．] 7．(10分)(2024·江苏连云港)解不等式：<x＋1，并把解集在数轴上表示出来． [解]　<x＋1， 去分母，得x－1＜2(x＋1)， 去括号，得x－1＜2x＋2， 移项，得x－2x＜2＋1， 合并同类项，得－x＜3， 系数化为1，得x＞－3． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 8．(10分)(2024·宁夏临夏州)解不等式组： [解]　解不等式①，得x≥1， 解不等式②，得x＜2， 故原不等式组的解集为1≤x＜2. 9．(10分)(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ [解]　(1)设书架上数学书x本，则语文书(90－x)本，根据题意，得 0.8x＋1.2(90－x)＝84， 解得x＝60， 所以90－x＝30. 答：书架上数学书60本，语文书30本． (2)设数学书还可以摆m本， 则10×1.2＋0.8m≤84， 解得m≤90， 所以数学书最多还可以摆90本． 10．(2024·安徽)已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是(　　) A．－<a＜0 B．<b＜1 C．－2＜2a＋4b＜1 D．－1＜4a＋2b＜0 C　[∵a－b＋1＝0，∴b＝a＋1， ∵0＜a＋b＋1＜1， ∴0＜a＋a＋1＋1＜1，即0＜2a＋2＜1， ∴－1＜a<－，故选项A错误，不合题意． ∵b＝a＋1，－1＜a<－， ∴0＜b<，故选项B错误，不合题意． 由－1＜a<－，得－2＜2a＜－1，－4＜4a＜－2， 由0＜b<，得0＜4b＜2，0＜2b＜1， ∴－2＜2a＋4b＜1，故选项C正确，符合题意． ∴－4＜4a＋2b＜－1，故选项D错误，不合题意．] 11．[新定义](2024·四川内江)一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数m为“极数”，且是完全平方数，则m＝________； 1 188或4 752　[设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，(x是0到9的整数，y是0到8的整数)， ∴m＝1 000(9－y)＋100(9－x)＋10y＋x＝99(100－10y－x)， ∵m是四位数， ∴99(100－10y－x)是四位数， 即1 000≤99(100－10y－x)<10 000， ∵＝3(100－10y－x)， ∴30≤3(100－10y－x)<303， ∵是完全平方数， ∴3(100－10y－x)既是3的倍数也是完全平方数， ∴3(100－10y－x)只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1 188或2 673或4 752或7 425， 又m是偶数， ∴m＝1 188或4 752 故答案为1 188或4 752. 12．[易错题]若不等式组无解，则m的取值范围为________． m＜2　[由－1，得x≥8， 又x≤4m且不等式组无解， ∴4m＜8， 解得m＜2.] 13．(2024·黑龙江龙东)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． －≤a<0　[解不等式4－2x≥0，得x≤2， 解不等式x－a＞0，得x＞2a， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴－1≤2a＜0， 即－≤a＜0．] 14．(12分)(2024·达州)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3 500元． (1)求A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元，60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1 000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ [解]　(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为(x＋20)元， 由题意得，25x＋15(x＋20)＝3 500， 解得，x＝80， ∴x＋20＝100， 答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元． (2)设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为(1 000－m)盒， 由题意得，， 解得，595≤m≤600. 设收益为w元， 由题意得，w＝(80－50)m＋(100－60)(1 000－m)＝－10m＋40 000， ∵－10＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝595时，w最大值为－10×595＋40 000＝34 050， 此时，1 000－m＝1 000－595＝405. 答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元． 15．[新定义](2024·内蒙古呼伦贝尔、兴安盟)对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a＋3b，例如5※2＝5＋3×2＝11，则关于x的不等式x※m<2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是________． 0≤m<　[根据题意可知，x※m＝x＋3m<2， 解得x<2－3m， ∵x※m<2有且只有一个正整数解， ∴ 解不等式①，得m<， 解不等式②，得m≥0， ∴0≤m<．] 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $