第1部分 第2章 第1节 一次方程(组)及其应用-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第一节　一次方程(组)及其应用 考点一　等式的基本性质 文字描述 式子表达 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc；＝ 考点二　一元一次方程及解法 1．方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值． 2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式这样的方程叫做一元一次方程． 3．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1． 考点三　一次方程组的解法 1．二元一次方程(组)有关概念及解法 二元一次方程 每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解 解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思路是消元，化“二元”为“一元”；解二元一次方程组的基本方法有代入法和加减法 2．三元一次方程组的概念及解法 三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 解三元一次方程 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 考点四　一次方程(组)的应用 1．列一次方程(组)解应用题的步骤 一般步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系 设 设出未知数(直接设或者间接设) 列 根据等量关系列方程 解 解方程(组) 检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际 答 写出答案 2．常见的应用题类型及基本数量关系 常见类型 基本数量关系 销售问题 利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝标价×； 销售额＝售价×销量 利息问题 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系 行程问题 路程＝速度×时间 相遇问题 甲走的路程＋乙走的路程＝全路程 追及问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程＝两者初始相距的路程； 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 航行问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度 1．若a＝b，则下列变形错误的是(　　) A．a＋x＝b＋x B．a－x＝b－x C．2a＝2b D．＝ D　[两边都加x，故A正确； 两边都减x，故B正确； 两边都乘2，故C正确； x＝0时不成立，故D错误． 故选D．] 2．(青岛版七上161例5变式)解一元一次方程＝1－x时，下列去分母正确的是(　　) A．3(x＋1)＝1－2x B．2(x＋1)＝1－3x C．2(x＋1)＝6－3x D．3(x＋1)＝6－2x D　[＝1－x， 去分母，得3(x＋1)＝6－2x， 故选D．] 3．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有(　　) A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 B　[设购买8元的笔记本x件，10元的笔记本y件， 依题意得：8x＋10y＝200， 整理得，y＝20－x， ∵x、y均为正整数， ∴或或或 ∴购买方案有4种， 故选B．] 4．(人教版七下P95例3改编)方程组的解是________ ． 　[解方程组 ②－①，得3y＝3，所以y＝1． 把y＝1代入①，得x－1＝2，解得x＝3． 所以原方程组的解是] 命题点1　一元一次方程及其解法 【典例1】　(2024·微山期末)解方程：－2＝． [解]　去分母，得5(3x＋1)－20＝(3x－2)－2(2x＋3)， 去括号，得15x＋5－20＝3x－2－4x－6， 移项，得15x－3x＋4x＝－2－6－5＋20， 合并同类项，得16x＝7， 系数化为1，得x＝． 　解一元一次方程时，易产生如下错误： (1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘； (2)去分母后分子忘记加括号； (3)去括号时漏乘或弄错符号； (4)移项时没有改变符号； (5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒． [对点演练] 1．方程＝1的解为(　　) A．x＝－2 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝1 B　[去分母，可得，3(3x＋5)－2(2x＋2)＝6， 去括号，可得，9x＋15－4x－4＝6， 移项，可得，9x－4x＝6－15＋4， 合并同类项，可得，5x＝－5， 系数化为1，可得，x＝－1． 故选B．] 2．(北师大版七上P144例7) 解方程：(x＋14)＝(x＋20)． [解]　法一：去括号，得x＋2＝x＋5， 移项、合并同类项，得－3＝x， 两边同除以，得－28＝x， 即x＝－28． 法二：去分母，得4(x＋14)＝7(x＋20)， 去括号，得4x＋56＝7x＋140， 移项、合并同类项，得－3x＝84， 方程两边同除以－3，得x＝－28． 命题点2　二元一次方程(组)及其解法 【典例2】　(2024·江苏苏州)解方程组 [解]　解方程组 ①－②，得4y＝4，即y＝1， 将y＝1代入①，得2x＋1＝7，即x＝3， 则方程组的解为 　一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便． [对点演练] 3．(2024·莒南期末)在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是(　　) A．①－② B．由①变形得x＝2＋2y③，将③代入② C．①×4＋② D．由②变形得2y＝4x－5③，将③代入① C　[A．①－②，可以消去y，故A不符合题意； B．由①变形得x＝2＋2y③，将③代入②，可以消去x，故B不符合题意； C．①×4＋②，无法消元，故C符合题意； D．由②变形得2y＝4x－5③，将③代入①，可以消去y，故D不符合题意． 故选C．] 4．解方程组 [解]　把x＝4y＋1代入2x－5y＝8， 解得y＝2， 把y＝2代入x＝4y＋1， 解得x＝9， 所以方程组的解为 命题点3　一次方程(组)的实际应用 【典例3】　(2023·聊城)今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰，某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1～50 51～100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团)．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元． (1)求两个旅游团各有多少人？ (2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ [解]　(1)设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 由题意得， 解得， 答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人． (2)设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省， 由题意得45×51＜50a，解得a＞45.9． ∵a为整数，∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省． 　当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． [对点演练] 5．(2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)? [解]　(1)设这台M型平板电脑价值x元， 根据题意得，(x＋1 500)＝x＋300， 解得，x＝2 100． ∴这台M型平板电脑价值2 100元． (2)由(1)知，一台M型平板电脑价值2 100元， ∴工作一个月，她应获得的报酬为2 100＋1 500＝3 600(元)， ∴若工作m天，她应获得的报酬为×3 600＝120 m(元)． 课时分层评价卷(五)　一次方程(组)及其应用 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分) 1．下列运用等式的性质变形错误的是(　　) A．若a2＝2a，则a＝2 B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则＝ D．若x＝y，则5－x＝5－y A　[若a2＝2a，当a≠0时，两边同除以a得a＝2，则A符合题意； 若x＝y，两边同乘c得xc＝yc，则B不符合题意； 若x＝y，两边同除以a2＋1得＝，则C不符合题意； 若x＝y，两边同乘－1后再同时加上5得5－x＝5－y，则D不符合题意． 故选A．] 2．已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A　[∵x＝－2是方程x－3a＝1的解， ∴－2－3a＝1， ∴a＝－1． 故选A．] 3．由方程组可得出x与y之间的关系是(　　) A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1　 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7 B　[ 把②代入①，得x＋y－3＝－4， 则x＋y＝－1． 故选B．] 4．(2024·临沂模拟)已知二元一次方程组则x－y的值为(　　) A．2 B．－2 C．6 D．－6 A　[ ②×2，得2x－4y＝2，③ ①－③，得3y＝3， 解得y＝1， 将y＝1代入①，得x＝3， ∴方程组的解为 ∴x－y＝2． 故选A．] 5．(2024·邹城市一模)已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足2 023＜x－y＜2 025，则整数k值为(　　) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 D　[ ①＋②得，3x－3y＝3k－3， ∴x－y＝k－1， ∵2 023＜x－y＜2 025， ∴2 023＜k－1＜2 025， ∴2 024＜k＜2 026， ∴整数k值为2 025， 故选D．] 6．[数学文化](2024·四川南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间，房客y人，下列方程组中正确的是(　　) A． B． C． D． A　[根据题意有 故选A．] 7．(2024·聊城二模)为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有(　　) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 C　[设截成10 cm的导线x根，截成20 cm的导线y根， 根据题意得10x＋20y＝150， ∴x＝15－2y， ∵15－2y＞0， ∴y＜7.5， ∵y是正整数， ∴y的值为1，2，3，4，5，6，7， 即截取方案共有7种． 故选C．] 8．[数学文化](2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是________． 20　[设快马追上慢马需要的天数是x天， 根据题意，得240x＝150(12＋x)， 解得x＝20， ∴快马需要20天追上慢马．] 9．(9分)(2024·滨州)解方程：＝． [解]　去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)， 去括号，得4x－2＝3x＋3， 移项，得4x－3x＝3＋2， 合并同类项，得x＝5． 10．(9分)(2024·浙江)解方程组： [解]　 ①×3＋②，得10x＝5， 解得x＝， 把x＝代入①，得2×－y＝5， 解得y＝－4， 所以方程组的解是 11．(10分)(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间． [解]　设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，根据题意，得 ＝1， 解得x＝2． 答：这次小峰打扫了2 h． 12．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左、右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝5y C　[设“”的质量为z． 根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，① 根据乙天平，得x＋z＝x＋2y．② 根据等式的基本性质1，将①的两边同时减去y，得x＝2z，③ 根据等式的基本性质1，将②的两边同时减去x，得z＝2y，④ 根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z＝4y， 所以x＝4y． 故选C．] 13．[方案设计题](2024·黑龙江龙东)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 B　[设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意， 得3x＋2y＝28， ∴y＝14－x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种购买方案． 故选B．] 14．(12分)[图表信息题](2024·江苏苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 D1001 8：00 9：30 9：50 10：50 G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题： (1)D1001次列车从A站到B站行驶了________分钟，从B站到C站行驶了________分钟； (2)记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2． ①＝________． ②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟(如：上午9：15，则t＝75)，已知v1＝240千米/小时(可换算为4千米/分钟)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若|d1－d2|＝60，求t的值． [解]　(1)90　60 (2)① ②∵v1＝4(千米/分钟)，＝， ∴v2＝4.8(千米/分钟)， ∵4×90＝360(千米)， ∴A与B站之间的路程为360千米， ∵360÷4.8＝75(分钟)， ∴当t＝100时，G1002次列车经过B站， 由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车， ∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． 当|d1－d2|＝60时，分四种情况讨论： ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2， ∴|d1－d2|＝d1－d2， ∴4t－4.8(t－25)＝60， 解得t＝75(分钟)； ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2， ∴|d1－d2|＝d1－d2， ∴360－4.8(t－25)＝60， 解得t＝87.5(分钟)，不合题意，舍去； ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2， ∴|d1－d2|＝d2－d1， ∴4.8(t－25)－360＝60， 解得t＝112.5(分钟)，不合题意，舍去； ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2， ∴|d1－d2|＝d2－d1， ∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60， 解得t＝125(分钟)． 综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $