第1部分 第1章 第3节 分式-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第三节　分式 考点一　分式的概念 1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 2．最简分式：分子和分母没有公因式的分式． 考点二　分式的意义 1．无意义的条件：当B＝0时，分式无意义． 2．有意义的条件：当B≠0时，分式有意义． 3．值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0． 考点三　分式的基本性质 1．基本性质：＝＝(C≠0)． 2．由基本性质可推理出变号法则为： ＝＝；－＝＝． 考点四　分式的运算 1．分式的约分和通分 (1)约分(可化简分式)：把一个分式的分子与分母中的公因式约去，即＝． (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，即＝． 2．分式的加减法 (1)同分母：分母不变，把分子相加减．即±＝． (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减．即±＝． 3．分式的乘除法 (1)乘法：＝． (2)除法：÷＝． (3)乘方：＝ (n为正整数)． 4．分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 1．(人教版八上P128例1改编)已知分式有意义，那么x的取值范围是(　　) A．x≠2 B．x≠3 C．x≠－2 D．x≠－3 A　[要使分式有意义，则x－2≠0，∴x≠2．故选A．] 2．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是(　　) A． B． C． D． D　[若x，y的值均扩大为原来的3倍，则 A．＝≠，故此选项不符合题意； B．＝＝≠，故此选项不符合题意； C．＝＝≠，故此选项不符合题意； D．＝＝，故此选项符合题意． 故选D．] 3．式子2a÷的运算结果为(　　) A． B． C．a D．4a C　[原式＝2a×＝a．故选C．] 4．化简的结果是(　　) A．x＋y B．y－x C．x－y D．－x－y A　[＝＝＝x＋y．故选A．] 5．(青岛版八上P90例5改编)化简：÷． [解]　原式＝ ＝ ＝x－1． 6．(青岛版八上P91例6改编)先化简，再求值：÷，其中a＝－2． [解]　÷＝ ＝ ＝ ＝－(a＋1)2． 当a＝－2时，原式＝－＝－． 命题点1　分式的有关概念及性质 【典例1】　若分式的值为0，则x的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－3 A　[∵分式的值为0， ∴x－1＝0，且3x＋1≠0， 解得x＝1，故选A．] 　分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【典例2】　如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值(　　) A．缩小为原来的 B．扩大为原来的10倍 C．缩小为原来的 D．不变 A　[根据题意，得＝，所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．故选A．] 　利用分式的基本性质可解决的问题 (1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． (2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． (3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． [对点演练] 1．分式的值为0，则x的值是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．0或1 A　[∵分式的值为0， ∴x2－x＝0且x－1≠0， 解得x＝0． 故选A．] 2．[易错题]下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝－1 C　[C中，＝(y≠0)．故选C．] 3．若式子有意义，则实数x的取值范围是________________________________． x≠3　[∵式子有意义，∴x－3≠0，解得x≠3．] 命题点2　分式的运算 【典例3】　(2023·临沂17题节选)下面是某同学计算－a－1的解题过程： [解]　－a－1 ＝…① ＝…② ＝…③ ＝＝1…④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． [解]　上述解题过程从第①步开始出现错误， 正确的解题过程如下： －a－1 ＝－(a＋1) ＝ ＝ ＝． 　(1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分． (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式． (3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算． [对点演练] 4．化简÷． [解]　÷ ＝·(x＋1) ＝·(x＋1)－·(x＋1) ＝1－ ＝ ＝． 命题点3　分式的化简求值 【典例4】　(2024·山东17题节选)先化简，再求值：÷，其中a＝1． [解]　原式＝÷ ＝ ＝a－3． 将a＝1代入，得 原式＝1－3＝－2． 　分式化简求值时需注意以下两点 (1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”． (2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． [对点演练] 5．(2024·济宁)已知a2－2b＋1＝0，则的值是________． 2　[∵a2－2b＋1＝0， ∴a2＋1＝2b， ∵a2≥0， ∴a2＋1≥1， ∴b＞0， ∴ ＝ ＝2．] 6．(2023·聊城)先化简，再求值：÷，其中a＝＋2． [解]　÷ ＝ ＝ ＝＝． 当a＝＋2时， ＝＝． 【教师备选资源】 (2023·菏泽)先化简，再求值：÷，其中x，y满足2x＋y－3＝0． [解]　÷ ＝ ＝ ＝2(2x＋y)． ∵2x＋y－3＝0， ∴2x＋y＝3， ∴原式＝2×3＝6． 课时分层评价卷(三)　分式 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共100分) 1．代数式x，，x2－中，属于分式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B　[分式有：，共3个，故选B．] 2．若分式有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≠±3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≥－3且x≠3 A　[由题意可知，|x|－3≠0，解得x≠±3．故选A．] 3．(2024·聊城模拟)下列等式一定成立的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ B　[B中，将原分式的分子与分母同乘b，故＝成立．故选B．] 4．若分式的值为负数，则x的取值范围是(　　) A．x为任意数 B．x＜ C．x＞ D．x＜－ B　[∵x2＋4＞0，分式的值为负数， ∴2x－5＜0， ∴x＜． 故选B．] 5．下列说法正确的是(　　) A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则x＞0 D．若＝0，则x＝±3 B　[A．当m＝0时，由不能推出，故本选项不符合题意； B．分式是最简根式，故本选项符合题意； C．要使分式有意义，必须x－3≠0，即x≠3，故本选项不符合题意； D．∵＝0， ∴x2－9＝0且x＋3≠0， ∴x＝3，故本选项不符合题意． 故选B．] 6．化简的结果为(　　) A． B． C．－1 D．2x－1 A　[原式＝＝． 故选A．] 7．(2024·邹城一模)计算a2÷·b的结果是(　　) A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2 C　[a2÷·b＝a2·b·b＝a2b2．故选C．] 8．(2024·莘县一模)如果a2－2a－1＝0，那么代数式的值是(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 B　[ ＝ ＝ ＝a(2－a) ＝2a－a2， ∵a2－2a－1＝0， ∴2a－a2＝－1， ∴原式＝－1． 故选B．] 9．(2024·安徽)若分式有意义，则实数x的取值范围是________． x≠4　[∵分式有意义， ∴x－4≠0，∴x≠4．] 10．已知：m＋＝5，则m2＋＝________． 23　[当m＋＝5时， m2＋＝－2 ＝52－2 ＝25－2 ＝23．故答案为23．] 11．[开放性试题](2024·吉林)当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ________． 0(答案不唯一)　[∵＞0，1＞0， ∴x＋1＞0，即x＞－1， 则满足条件的x的值可以为0(答案不唯一)．] 12．(9分)(2024·甘肃临夏)化简：÷． [解]　原式＝ ＝ ＝ ＝． 13．(9分)(2024·北京)已知a－b－1＝0，求代数式的值． [解]　∵a－b－1＝0， ∴a－b＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3． 14．(10分)[易错题](2023·威海)先化简÷，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值． [解]　原式＝÷ ＝ ＝． 要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0， 所以a不能为0，1，－1， 取a＝2， 当a＝2时，原式＝＝．(答案不唯一，选择其他符合条件的数代入，计算正确均可) 15．分式的值，可以等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 D　[＝1＋＞1， 当x＝0时，原式＝2， 故选D．] 16．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是(　　) A． B． C． D． D　[原式＝＝＝，故选D．] 17．(2024·河北)已知A为整式，若计算的结果为，则A＝(　　) A．x B．y C．x＋y D．x－y A　[∵＝， ∴＝， ∴＝， ∴Ax＝(x－y)(x＋y)＋y2， ∴Ax＝x2， ∴A＝x． 故选A．] 18．(2024·临清市二模)若÷的计算结果为正整数，则对x值的描述最准确的是(　　) A．x为自然数 B．x为大于1的奇数 C．x为大于0的偶数 D．x为正整数 B　[÷ ＝÷ ＝ ＝． ∵结果为正整数， ∴x为大于1的奇数． 故选B．] 19．[新定义](2024·阳谷县一模)对于分式P＝，我们把分式P′＝叫做P的伴随分式．若分式P1＝，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…，以此类推，则分式P2 024＝(　　) A． B． C． D． D　[∵P1＝， ∴P2＝＝， ∴P3＝＝， ∴P4＝＝， ∴P5＝＝， ∴P5＝P1，P6＝P2，……， ∴4个一循环， ∵2 024÷4＝506， ∴P2 024＝P4＝， 故选D．] 20．(12分)(2024·烟台)利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值． [解]　÷ ＝ ＝ ＝． 根据计算器可得m＝±＝±＝±2， ∵4－2m≠0， ∴m≠2， 当m＝－2时， 原式＝＝－． 21．(12分)[数学文化](2024·滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝(n＝0，1，2，3)为欧拉分式． (1)写出P0对应的表达式； (2)化简P1对应的表达式． [解]　(1)由题意可得， P0＝＋＝． (2)由题意可得， P1＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $