第1部分 第1章 第2节 代数式及整式(含因式分解)-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

该初中数学中考复习学案系统覆盖代数式、整式、幂的运算、因式分解等核心考点，以“概念定义-运算规则-实际应用”为逻辑主线，将知识点细化为7大考点23个具体内容，通过问题链引导学生自主梳理同类项、乘法公式等关键联系，构建层次分明的知识网络。 亮点在于“诊断-探究-提升”三阶设计，每个考点配套基础自测题（如同类项识别）和综合应用题（如规律探究），结合“整体代入法”“因式分解步骤”等方法指导，培养运算能力与推理意识。分层评价卷和错题反思单帮助学生精准定位薄弱点，教师可依据答题数据实施个性化辅导，有效提升自主复习效率。

第二节　代数式及整式(含因式分解) 考点一　代数式 1．代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把含有数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． 考点二　整式 1．单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也叫单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数，叫做多项式的次数． 3．整式：单项式与多项式统称为整式． 4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项． 考点三　整式的加减运算 1．合并同类项法则：所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 2．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 3．整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 考点四　幂的有关运算 幂的运算法则 符号表示 同底数幂相乘 am·an＝am＋n 同底数幂相除 am÷an＝am－n 幂的乘方 (am)n＝amn 积的乘方 (ab)n＝anbn 商的乘方 ＝ 零指数幂 a0＝1(a≠0) 负指数幂 ＝(a≠0，p是正整数) (注：a≠0，m，n都是正整数，并且m>n．) 考点五　整式的乘除运算 1．单项式×单项式：(1)系数和同底数幂分别相乘； (2)只有一个字母的照抄． 2．单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb． 3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． 4．单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除． 5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加． 6．乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． (2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2． 考点六　因式分解的概念 1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算． 考点七　因式分解的基本方法 1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)_． 2．公式法 (1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2． 1．(人教版七上P67T2改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是(　　) A．10%a B．(1－10%)a C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a B　[原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．] 2．(青岛版七上P141复习巩固T1改编)下列单项式中，ab3的同类项是(　　) A．3ab3 B．2a2b3 C．－a2b2 D．a3b A　[根据同类项的定义可知， ab3的同类项是3ab3． 故选A．] 3．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　[把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．] 4．下列说法正确的是(　　) A．x2＋2x＋3是三次多项式　 B．单项式x的次数是0 C．单项式的次数是1 D．π是单项式 D　[x2＋2x＋3是二次三项式，故A错误；单项式x的次数是1，故B错误；单项式的次数是－1，故C错误；π是单项式，故D正确．故选D．] 5．下列运算正确的是(　　) A．(－2a)2＝－4a2 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(－m＋2)(－m－2)＝m2－4 D．(a5)2＝a7 C　[(－2a)2＝4a2，所以A错误； (a－b)2＝a2－2ab＋b2，所以B错误； (－m＋2)(－m－2)＝m2－4，所以C正确； (a5)2＝a10，所以D错误． 故选C．] 6．按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n个代数式是(　　) A．2xn B．(n－1)xn C．nxn+1 D．(n＋1)xn D　[∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…， ∴第n个代数式为(n＋1)xn， 故选D．] 7．(青岛版七下P122复习巩固T1改编)分解因式：a2－4b2＝________． (a＋2b)(a－2b)　[a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．] 命题点1　代数式及其求值 【典例1】　(2024·临沂河东区二模)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为(　　) A． 元 B．(80－m) 元 C． 元 D．80m元 A　[由题意知，因为m元购买了80件相同的纪念品，所以每件礼物的价格可表示为元．故选A．] 【典例2】　(2023·济宁)已知实数m满足m2－m－1＝0，则2m3－3m2－m＋9＝__________． 8　[∵m2－m－1＝0， ∴m2－m＝1， ∴2m3－3m2－m＋9 ＝(2m3－2m2)－m2－m＋9 ＝2m(m2－m)－m2－m＋9 ＝2m－m2－m＋9 ＝－m2＋m＋9 ＝－(m2－m)＋9 ＝－1＋9 ＝8．] 　代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值． (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值． [对点演练] 1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(　　) A．8x元 B．10(100－x)元 C．8(100－x)元 D．(100－8x)元 C　[乙的单价×乙的本数＝乙的费用．] 2．(2024·临沂临沭一模)如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．] 命题点2　整式的有关概念 【典例3】　(2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________． 3　[∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．] [对点演练] 3．(2024·济宁期末)下列说法中，正确的是(　　) A．3x2y与－2xy2是同类项 B．多项式x2＋4x－3是二次三项式 C．多项式x2＋4x－3的常数项是3 D．单项式系数是，次数是2 B　[3x2y与－2xy2不是同类项，则A不符合题意； 多项式x2＋4x－3是二次三项式，则B符合题意； 多项式x2＋4x－3的常数项是－3，则C不符合题意； 单项式的系数是，次数是3，则D不符合题意． 故选B．] 4．(2024·河南)请写出2m的一个同类项：________． m(答案不唯一)　[2m的一个同类项为m， 故答案为m．] 5．(2024·任城区一模)若单项式2xm+4y3与－x2y3是同类项，则m的值为________． －2　[∵单项式2xm+4y3与－x2y3是同类项， ∴m＋4＝2， ∴m＝－2， 故答案为－2．] 命题点3　整式的运算 【典例4】　(2024·济宁)先化简，再求值：x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其中x＝，y＝2． [解]　原式＝(xy－4x2)＋(4x2－y2) ＝xy－4x2＋4x2－y2 ＝xy－y2， 当x＝，y＝2时，原式＝×2－22＝1－4＝－3． [对点演练] 6．(2024·山东)下列运算正确的是(　　) A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1 C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a D　[A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意； C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意； D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意． 故选D．] 7．(2023·菏泽)下列运算正确的是(　　) A．a6÷a3＝a2 B．a2·a3＝a5 C．(2a3)2＝2a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2 B　[A．原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意； B．原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意； C．原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意； D．原式＝a2＋2ab＋b2，故本选项计算错误，不符合题意．故选B．] 【教师备选资源】 1．(2023·济宁)下列各式运算正确的是(　　) A．x2·x3＝x6 B．x12÷x2＝x6 C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(x2y)3＝x6y3 D　[A：x2·x3＝x2+3＝x5，故选项A错误， B：x12÷x2＝x12-2＝x10，故选项B错误， C：(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，故选项C错误， D：(x2y)3＝x2×3y3＝x6y3． 故选D．] 2．(2023·临沂)下列运算正确的是(　　) A．3a－2a＝1 B．(a－b)2＝a2－b2 C．(a5)2＝a7 D．3a3·2a2＝6a5 D　[A．3a－2a＝a，故A不符合题意； B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故B不符合题意； C．(a5)2＝a10，故C不符合题意； D．3a3·2a2＝6a5，故D符合题意； 故选D．] 命题点4　因式分解 【典例5】　(2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　　) A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) C　[A：(a＋3)2＝a2＋6a＋9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误， B：a2－4a＋4＝(a－2)2，故选项B错误， C：5ax2－5ay2＝5a(x2－y2)＝5a(x＋y)(x－y)，故选项C正确， D：a2－2a－8＝(a＋2)(a－4)，故选项D错误． 故答案为C．] 　因式分解的一般步骤 (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式． (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式． (3)“三检查”：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． [对点演练] 8．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________． xy(x＋2)　[原式＝xy(x＋2)， 故答案为xy(x＋2)．] 9．(2023·菏泽)因式分解：m3－4m＝________． m(m＋2)(m－2)　[原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)·(m－2)， 故答案为m(m＋2)(m－2)．] 10．(2024·威海)因式分解：(x＋2)(x＋4)＋1＝________． (x＋3)2　[原式＝x2＋4x＋2x＋8＋1 ＝x2＋6x＋9 ＝(x＋3)2， 故答案为(x＋3)2．] 命题点5　数式规律探索 【典例6】　(2023·济宁)已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，a4＝，…，an＋1＝，若a1＝2，则a2 023的值是(　　) A．－ B． C．－3 D．2 A　[由题意得，a1＝2， a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2， ……， ∴an的值按照2，－3，－，……，4次一个循环周期的规律出现， ∵2 023÷4＝505……3， ∴a2 023的值是－， 故选A．] 　认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． [对点演练] 11．(2023·临沂)观察下列式子： 1×3＋1＝22； 2×4＋1＝32； 3×5＋1＝42； … 按照上述规律，________＝n2． (n－1)(n＋1)＋1　[观察下列式子： 1×3＋1＝22； 2×4＋1＝32； 3×5＋1＝42； …； 按照上述规律，(n－1)(n＋1)＋1＝n2． 故答案为(n－1)(n＋1)＋1．] 【教师备选资源】 (2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为(　　) A．90 B．91 C．92 D．93 B　[由所给图形可知， 第一幅图中正方形的个数为：1＝12； 第二幅图中正方形的个数为：5＝12＋22； 第三幅图中正方形的个数为：14＝12＋22＋32； 第四幅图中正方形的个数为：30＝12＋22＋32＋42； …， 所以第n幅图中正方形的个数为：12＋22＋32＋…＋n2， 当n＝6时， 12＋22＋32＋…＋62＝91(个)， 即第六幅图中正方形的个数为91个． 故选B．] 课时分层评价卷(二)　代数式及整式(含因式分解) (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分) 1．(2024·广安)下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　　) A．－3与x的和 B．－3与x的差 C．－3与x的积 D．－3与x的商 C　[选项A：－3与x的和应为：－3＋x，不合题意； 选项B：－3与x的差应为：－3－x，不合题意； 选项C：符合题意； 选项D：－3与x的商应为：，不合题意． 故选C．] 2．计算22 024×的结果为(　　) A．－2 B．2 C．－ D． C　[22 024× ＝22 024× ＝ ＝(－1)2 024× ＝1× ＝－． 故选C．] 3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是(　　) A．8x B．－8x C．－8 D．x2 B　[原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．] 4．下列说法中正确的是(　　) A．是单项式 B．－πx的系数为－1 C．－5不是单项式 D．－5a2b的次数是3 D　[是多项式，故A错误；－πx 的系数为－π，故B错误；－5是单项式，故C错误；－5a2b的次数是3，故D正确．故选D．] 5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是(　　) A．a2－a＝a B．a·a2＝a3 C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6 B　[a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．] 6．计算：2a(a－1)－2a2＝(　　) A．a B．－a C．2a D．－2a D　[2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．] 7．(2024·苏州)若a＝b＋2，则(b－a)2＝________． 4　[∵a＝b＋2， ∴b－a＝－2， ∴(b－a)2＝(－2)2＝4， 故答案为4．] 8．单项式－2a2b的次数是________． 3　[单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．] 9．(2023·青岛)计算：8x3y÷(2x)2＝________． 2xy　[原式＝8x3y÷4x2＝2xy．] 10．(2024·沂水一模)雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费________元． 20m＋10n　[根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．] 11．(2024·北京)分解因式：x3－25x＝________． x(x＋5)(x－5)　[x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．] 12．(2024·内蒙古)分解因式：a＋2ab＋ab2＝________． a(b＋1)2　[原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．] 13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为________． y2－1　[3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．] 14．[规律探究题](2024·东昌府区二模)代数推理 15×15＝225＝2×100＋25； 25×25＝625＝6×100＋25； 35×35＝1 225＝12×100＋25； …… 试探究两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝________． a(a＋1)×100＋25　[由题意可得，15×15＝225＝2×100＋25＝1×(1＋1)×100＋25， 25×25＝625＝6×100＋25＝2×(2＋1)×100＋25， 35×35＝1 225＝12×100＋25＝3×(3＋1)×100＋25， ……， 则两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝a(a＋1)×100＋25．] 15．(8分)(2024·南充)先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x，其中x＝－2． [解]　当x＝－2时， (x＋2)2－(x3＋3x)÷x ＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3) ＝x2＋4x＋4－x2－3 ＝4x＋1 ＝4×(－2)＋1 ＝－8＋1 ＝－7． 16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2　 C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2　 D．(ab)2＝a2b2 A　[根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．] 17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　) A．0 B．1 C．4 D．9 D　[∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．] 18．(2024·河北)若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是(　　) A．a＋3＝8b B．3a＝8b　 C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b A　[根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．] 19．(2024·东昌府区模拟)已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值为________． 4　[∵a＋b＝2， ∴a2－b2＋4b ＝(a＋b)(a－b)＋4b ＝2(a－b)＋4b ＝2a＋2b ＝2(a＋b) ＝2×2 ＝4． 故答案为4．] 20．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式： 第1个：1×2－2＝22×0； 第2个：4×3－3＝32×1； 第3个：9×4－4＝42×2； 第4个：16×5－5＝52×3． …… 按照以上规律，第n个等式为________． [答案]　n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1) 21．(10分)[阅读理解题](2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12－02 4＝22－02 3＝22－12 8＝32－12 5＝32－22 12＝42－22 7＝42－32 16＝52－32 9＝52－42 20＝62－42 … … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝________ 按上表规律，完成下列问题： (ⅰ)24＝(　　)2－(　　)2； (ⅱ)4n＝________； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)．师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝________为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数． 而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． [解]　(1)(ⅰ)由规律可得，24＝72－52， 故答案为7，5． (ⅱ)由规律可得，4n＝(n＋1)2－(n－1)2， 故答案为(n＋1)2－(n－1)2． (2)假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数． 而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 故答案为4(k2－m2＋k－m)． 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $