第1部分 第1章 第1节 实数及其运算-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

第一节　实数及其运算 考点一　实数的有关概念 1．数轴 (1)概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． (2)特征：实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大． 2．相反数 (1)概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． (2)代数意义：a，b互为相反数⇔a＋b＝0． (3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等． 3．绝对值 (1)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离． (2)运算性质：|a|＝ (3)非负性：|a|≥0，若|a|＋b2＝0，则a＝b＝0． (4)若|x|＝a(a≥0)，且x＝±a． 4．倒数 (1)概念：乘积是1的两个数互为倒数． (2)代数意义：ab＝1⇔a，b互为倒数． 考点二　实数的分类及大小比较 1．实数的分类 注意：(1)有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数． (2)无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数是无理数． 2．实数的大小比较 (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数． (2)两个负数，绝对值大的反而小． 考点三　平方根、算术平方根和立方根 1．平方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根． (2)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． (3)正数a的平方根记作“±”． 2．算术平方根 (1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作“”． (2)性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0． 3．立方根 (1)定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或a 的三次方根． (2)一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零． 考点四　科学记数法与近似数 1．科学记数法 一般的，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法． 2．近似数 (1)定义：一个与实际数值很接近的数． (2)精确度：四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 考点五　实数的运算 1．实数混合运算时，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号进行；同级运算按照从左到右的顺序进行． 2．计算时，可以结合运算律，使问题简单化． 1．(青岛版七上P30练习T1改编)如果水位下降0.3 m时水位变化记作－0.3 m，那么水位不升不降时水位变化记作(　　) A．＋0.3 m B．－0.3 m C．0 m D．±0.3 m C　[水位不升不降是水位变化记作0 m．故选C．] 2．在实数－，0.31，，0.100 100 01中，无理数的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[－是无理数．故选B．] 3．(人教版七下P47习题6.1T3改编)9的平方根是(　　) A．±3 B．－3 C．3 D．± A　[∵(±3)2＝9，∴9的平方根是±3．故选A．] 4．某课外阅读读物总字约计1 655 000，用科学记数法可将1 655 000表示为(　　) A．1 655×103 B．1.655×106 C．16.55×105 D．0.165 5×107 B　[1 655 000＝1.655×1 000 000＝1.655×106．故选B．] 5．一批食品，标准质量为每袋454 g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是(　　) A．＋7 B．－5 C．－3 D．10 C　[各数的绝对值分别为7，5，3，10， ∵3＜5＜7＜10， ∴最接近标准质量的是－3，故选C．] 6．(人教版七上P11练习T1改编)下列各数中，绝对值最小的数是(　　) A．－10 B．－ C．1 D． B　[∵|－10|＝10，|－|＝，|1|＝1，||＝， ∵＜1＜＜10， ∴绝对值最小的数是－．故选B．] 7．计算：(－1)2 025－＝________． －2　[原式＝－1－3＋2＝－2．] 命题点1　实数的有关概念 【典例1】　(2023·菏泽)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是(　　) A．c(b－a)＜0 B．b(c－a)＜0 C．a(b－c)＞0 D．a(c＋b)＞0 C　[由数轴可得a＜0＜b＜c，则b－a＞0，c－a＞0，b－c＜0，c＋b＞0，那么c(b－a)＞0，b(c－a)＞0，a(b－c)＞0，a(c＋b)＜0，则A，B，D均不符合题意，C符合题意，故选C．] [对点演练] 1．已知实数a＝|－2 024|，则实数a的倒数为(　　) A．2 024 B． C．－2 024 D．－ B　[a＝|－2 024|＝2 024，2 024的倒数为，故选B．] 2．下列等式中不成立的是(　　) A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5| C．|－5|＝|5| D．－|－5|＝5 D　[－|－5|＝－5，故选D．] 【教师备选资源】 (2024·济宁)－3的绝对值是(　　) A．3 B． C．－3 D．－ A　[|－3|＝3，故选A．] 命题点2　实数的分类及大小比较 【典例2】　(2023·济宁)实数π，0，－，1.5中无理数是(　　) A．π B．0 C．－ D．1.5 A　[根据无限不循环小数是无理数可得，π是无理数．故选A．] 　常见的四种无理数的形式 (1)特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(两个1之间依次多一个0)． (2)化简后含π的数，如：2π等． (3)开方开不尽的数，如：等． (4)某些三角函数的值，如：tan 30°等． 【典例3】　(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A．3 B． C．－1 D．－2 A　[∵32＝9，＝，(－1)2＝1，(－2)2＝4，而<1<4<9， ∴平方最大的数是3．故选A．] 　实数比较大小的几种常用方法 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． (2)求差比较：设a，b是实数，a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． (3)求商比较：设a，b是两正实数，>1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a<b． (4)绝对值比较：设a，b是两负实数，则|a|>|b|⇔a<b． (5)平方法：设a，b是两负实数，则a2>b2⇔a<b． [对点演练] 3．下列实数为无理数的是(　　) A． B． C．0.22… D．－5 B　[A．是有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．0.22…是有理数，不符合题意； D．－5是有理数，不符合题意． 故选B．] 4．在实数－1，－，0，中，最小的实数是(　　) A．－1 B． C．0 D．－ D　[∵>0>－1>－， ∴在实数－1，－，0，中，最小的实数是－． 故选D．] 5．若a，b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．－b＜a＜b＜－a B．b＜－b＜a＜－a C．a＜－b＜b＜－a D．a＜b＜－b＜－a C　[法一：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴－a＞0，－b＜0，－a＞b， ∴a＜－b， ∴a＜－b＜b＜－a． 故选C． 法二：(特殊值法)∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴令a＝－2，b＝1， ∴－a＝2，－b＝－1． ∵－2＜－1＜1＜2， ∴a＜－b＜b＜－a． 故选C．] 命题点3　平方根、算术平方根与立方根 【典例4】　(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　) A．2 B．5 C．10 D．20 B　[根据题意，得＝＝5， 则正方形的边长为5．故选B．] 　平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是－1，0和1． [对点演练] 6．(典例4变式)[易错题]的算术平方根是(　　) A．10 B．±10 C． D．± C　[∵＝10，10的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故选C．] 7．(2024·四川内江)16的平方根是(　　) A．2 B．－4 C．4 D．±4 D　[∵(±4)2＝16， ∴16的平方根是±4， 故选D．] 8．(2024·青海)－8的立方根是________． －2　[∵(－2)3＝－8， ∴－8的立方根是＝－2．] 命题点4　科学记数法与近似数 【典例5】　(2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　) A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 C　[61.9万＝619 000＝6.19×105， 故选C．] 　科学记数法的形式为a×10n(1≤|a|<10，n为整数)，其中a只能有一位非零的整数位． (1)当原数绝对值很大时，n是正整数且n等于原数的整数位数减1． (2)当原数绝对值很小(小于1)时，n是负整数，它的绝对值是最左边的非零数字左边的0的个数(包括小数点前面的0)． [对点演练] 9．(2024·河南)据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5 784亿元，数据“5 784亿”用科学记数法表示为(　　) A．5 784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×1012 C　[5 784亿＝578 400 000 000＝5.784×1011． 故选C．] 10．某芯片采用了最新的0.000 000 007米的工艺制程，数据0.000 000 007用科学记数法表示为(　　) A．7×10-9 B．7×10-8　 C．0.7×10-9 D．0.7×10-8 A　[0.000 000 007＝7×0.000 000 001＝7×10-9．故选A．] 11．(2024·济宁)我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2．将数250 000用科学记数法表示为__________． 2.5×105　[250 000＝2.5×105， 故答案为2.5×105．] 命题点5　实数的运算 【典例6】　(2023·济宁)计算：－2cos 30°＋|－2|＋2-1． [解]　－2cos 30°＋|－2|＋2-1 ＝2－2×＋2－ ＝2＋2－ ＝． 　在有关绝对值的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确． [对点演练] 12．(2023·菏泽)计算：|－2|＋2sin 60°－2 0230＝__________． 1　[|－2|＋2sin 60°－2 0230 ＝2－＋2×－1 ＝2－－1 ＝1． 故答案为1．] 13．(2024·山东)计算：＋2-1－． [解]　原式＝2＋＝3． 【教师备选资源】 1．(2023·聊城)(－2 023)0的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－ B　[∵任何一个不等于零的数的零次幂都等于1， ∴(－2 023)0＝1， 故选B．] 2．(2023·临沂)计算(－7)－(－5)的结果是(　　) A．－12 B．12 C．－2 D．2 C　[原式＝(－7)＋5 ＝－2． 故选C．] 课时分层评价卷(一)　实数及其运算 (说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分) 1．(2024·山西)中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150 ℃，其背阳面温度可低于零下100 ℃．若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作(　　) A．＋100 ℃ B．－100 ℃ C．＋50 ℃ D．－50 ℃ B　[因为“正”和“负”相对，所以若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作－100 ℃．故选B．] 2．(2024·滨州)－的绝对值是(　　) A．2 B．－2 C． D．－ C　[＝－＝．故选C．] 3．－的倒数是(　　) A． B．－ C．－3 D．3 D　[－＝， 故－的倒数是3． 故选D．] 4．4的平方根是(　　) A．2 B．－2 C．16 D．±2 D　[∵(±2)2＝4，∴4的平方根是±2，故选D．] 5．[跨学科](2024·辽宁)亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m －415 －28 －156 －40 其中最低海拔最小的大洲是(　　) A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 A　[∵－415＜－156＜－40＜－28，∴海拔最低的是亚洲．故选A．] 6．[情境题]据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据27亿用科学记数法表示为(　　) A．2.7×108 B．0.27×1010 C．2.7×109 D．27×108 C　[27亿＝2 700 000 000＝2.7×109．故选C．] 7．(2024·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．b>－1 B．|b|>2 C．a＋b>0 D．ab>0 C　[A．由数轴可知－2<b<－1，故本选项不符合题意； B．由数轴可知－2<b<－1，由绝对值的意义知1<|b|<2，故本选项不符合题意； C．由数轴可知2<a<3，而－2<b<－1，则|a|>|b|，故a＋b>0，故本选项符合题意； D．由数轴可知2<a<3，而－2<b<－1，因此ab<0，故本选项不符合题意． 故选C．] 8．[开放性试题]请写出一个你喜欢的无理数 ________． π(答案不唯一)　[无理数即无限不循环小数，据此写出一个无理数即可．] 9．用四舍五入法取近似值，将数0.015 8精确到0.001的结果是________． 0.016　[将万分位的8，四舍五入即可求解．] 10．(2024·四川广安)3－＝________． 0　[原式＝3－3＝0．] 11．(2024·东昌府区模拟)计算：|1－2|＋－＋(π－3.14)0＝__________． 3　[|1－2|＋－＋(π－3.14)0 ＝2－1＋3－2＋1 ＝3． 故答案为3．] 12．[数学文化](2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：________(填“＞”或“＜”)． >　[∵()2＝10，＝，10>， ∴>．] 13．[跨学科](2024·四川广元)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为________秒． 4.3×10-17　[∵1阿秒是10-18秒，∴43阿秒＝43×10-18＝4.3×10-17．] 14．(每题3分，共12分)计算： (1)(2024·浙江)－＋|－5|． (2)(2024·陕西)－(－7)0＋(－2)×3． (3)(2024·云南)70＋＋－()2－sin 30°． (4)(2024·广东深圳)－2·cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－|＋． [解]　(1)原式＝4－2＋5＝7． (2)原式＝5－1－6＝－2． (3)原式＝1＋6＋－5－＝2． (4)原式＝－2×＋1＋－1＋4＝－＋1＋－1＋4＝4． 15．(2024·冠县一模)计算＋的结果是(　　) A．3m＋n4 B．m3＋4n C．3m＋4n D．3m＋4n D　[∵m个3相加可记为3m，n个4相乘可记为4n， ∴计算＋结果是3m＋4n， 故选D．] 16．[情境题](2024·烟台)目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为(　　) A．0.15×103纳米 B．1.5×104纳米 C．15×10-5纳米 D．1.5×10-6纳米 B　[由题意可得1毫米＝1百万纳米＝106纳米， 则0.015毫米＝1.5×10-2×106纳米＝1.5×104纳米． 故选B．] 17．(2024·内蒙古包头)若m，n互为倒数，且满足m＋mn＝3，则n的值为(　　) A． B． C．2 D．4 B　[∵m，n互为倒数， ∴m·n＝1， ∵m＋mn＝3， ∴m＝2， 则n＝． 故选B．] 18．(2024·菏泽二模)点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论： ①n－m＞0；②mn＞0；③|m|＞|n|；④－m＞n．其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[由数轴知m＜0＜n，|m|＞|n|，∴n－m＞0，mn＜0，－m＞n， ∴①③④正确．故选C．] 19．(2024·陕西)小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，－2，－1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．(写出一个符合题意的数即可) 0(答案不唯一)　[由题意，填写如下： 1＋0＋(－1)＝0，2＋0＋(－2)＝0，满足题意(答案不唯一)．] 20．(2024·四川成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为________． 1　[∵(m＋4)2＋＝0， ∴m＋4＝0，n－5＝0， 解得m＝－4，n＝5， ∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1， 故答案为1．] 21．(8分)(2024·眉山)计算：(－π)0＋＋2sin 45°－|1－|． [解]　(－π)0＋＋2sin 45°－|1－| ＝1＋4＋2×－(－1) ＝1＋4＋＋1 ＝6． 22．[新定义]定义一种新运算：对于两个非零实数a，b，a※b＝．若2※(－2)＝1，则(－3)※3的值是________． －　[∵2※(－2)＝1，∴＝1，∴x－y＝2．∴(－3)※3＝＝－(x－y)＝－×2＝－．] 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $