8.4直线的一般式方程和平行垂直的判断 讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

8.4直线的一般式方程和平行垂直的判断（讲义） 目录 1 知识点01直线的一般式方程 2 2 知识点02 直线的平行与垂直 2 3 题型一、一般式计算斜率和倾斜角 2 4 题型二、直线平行的判断 10 5 题型三、直线垂直的判断 17 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01直线的一般式方程 1、一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、一般式计算斜率和截距 （1）当时，方程可以写成，它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线． （2）当，时，它表示垂直于轴的直线． （3）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点02 直线的平行与垂直 1. 已知直线的方程： （不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 题型一、一般式计算斜率和倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．下列直线中，倾斜角最小的是（    ） A． B． C． D． 3．过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 4．若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 5．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．若直线的倾斜角为，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．直线的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 10．直线的倾斜角为 11．已知点、，则直线的方程是 . 12．直线与的夹角大小为 ． 13．直线在轴上的截距是 . 14．直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为 ． 三、解答题 15．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 题型二、直线平行的判断 1．若直线与直线互相平行，则实数的值等于（    ） A． B．0 C．1 D． 2．若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 5．下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 7．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 9．若直线：与直线：平行，则 ． 10．直线和直线的位置关系是 ． 11．已知直线，直线，且，则的值为 . 12．已知直线．若，则实数的值为 ． 13．若直线和直线的位置关系为 . 三、解答题 14．已知两条直线：，：． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行． 15．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 题型三、直线垂直的判断 1．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．2 D．0或 6．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 7．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 8．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 10．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 二、填空题 11．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 12．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ． 13．若直线与直线垂直，则实数 . 14．已知直线，，若，则实数 ． $8.4直线的一般式方程和平行垂直的判断（讲义） 目录 1 知识点01直线的一般式方程 2 2 知识点02 直线的平行与垂直 2 3 题型一、一般式计算斜率和倾斜角 2 4 题型二、直线平行的判断 10 5 题型三、直线垂直的判断 17 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01直线的一般式方程 1、一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、一般式计算斜率和截距 （1）当时，方程可以写成，它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线． （2）当，时，它表示垂直于轴的直线． （3）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点02 直线的平行与垂直 1. 已知直线的方程： （不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 题型一、一般式计算斜率和倾斜角 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 2．下列直线中，倾斜角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用直线的倾斜角和斜率的关系，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】由A，B，C，D四个选项中的直线斜率分别为，，，， 设选项A,B,C,D中的直线的倾斜角分别为，其中直线的倾斜角的范围为， 可得，，，， 所以，且， 又因为在为单调递增函数，所以，所以倾斜角最小的是, 故选：D. 3．过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用截距式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】过点和的直线方程为， 化为一般式方程为. 故选：D 4．若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程及其倾斜角，结合斜率与倾斜角关系列方程求参数值. 【详解】由题意知直线存在斜率为，则，可得. 故选：D 5．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由直线方程为可知直线的斜率为， 因此倾斜角为． 故选：B． 6．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 又，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 7．若直线的倾斜角为，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程求得直线的斜率，结合斜率等于倾斜角的正切值，列出方程，即可求解． 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率存在，故， 由直线方程，可得直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，解得. 故选：A. 8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 9．直线的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线的斜率公式为，先使用这个公式求出直线的斜率，再用公式，求出倾斜角即可. 【详解】， ， 设倾斜角为，， ， ， ， . 故选：A. 二、填空题 10．直线的倾斜角为 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系计算即可得. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率， 所以倾斜角， 故答案为：. 11．已知点、，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 12．直线与的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角. 【详解】直线化为斜截式为， 故直线的斜率是， 直线的倾斜角满足， 结合，可得， 直线倾斜角为 所以直线与的夹角大小为. 故答案为： 13．直线在轴上的截距是 . 【答案】 【分析】在直线方程中，令即可得解. 【详解】在直线方程中，令，解得. 故答案为：. 14．直线在x轴上的截距为3，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】由横截距为3知直线过点，将其代入直线方程，即可求解． 【详解】因为直线在x轴上的截距为3， 所以直线过，将代入直线方程得，解得． 故实数m的值为． 故答案为： 三、解答题 15．根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 题型二、直线平行的判断 1．若直线与直线互相平行，则实数的值等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程求出的值. 【详解】直线与直线互相平行， ， 即, 解得或, 当时，两直线重合，当时，两直线平行， 所以实数的值等于. 故选：D. 2．若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：. 故选：A. 3．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 4．若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由题意，所以， 解得. 故选：B. 5．下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 6．已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 7．已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线一般式平行表示可得答案. 【详解】因，则. 当，， ，两直线互相平行. 则则“”是“”的充要条件. 故选：C 8．已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 二、填空题 9．若直线：与直线：平行，则 ． 【答案】2 【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解. 【详解】因为直线：与直线：平行， 所以，解得，， 当时，直线：，直线：，即，满足题意； 当时，直线：，直线：，即， 则此时两直线重合，不满足题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：2. 10．直线和直线的位置关系是 ． 【答案】相交（不垂直） 【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系. 【详解】由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 由于且，即两直线相交且不垂直， 故答案为：相交（不垂直） 11．已知直线，直线，且，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案. 【详解】由，可得，即， 故或， 当时，直线和直线平行，符合题意； 当时，直线和直线重合，不合题意， 故， 故答案为：0 12．已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13．若直线和直线的位置关系为 . 【答案】平行 【分析】将直线方程化为斜截式，利用两直线平行的判定判断即可. 【详解】直线即，直线即， 显然两直线斜率相等，纵截距不等， 故直线和直线的位置关系为平行. 故答案为：平行 三、解答题 14．已知两条直线：，：． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行． 【答案】（1）且（2） 【分析】（1）当时，检验与相交，满足条件，当时，根据，解得的范围，综合可得结论； （2）由，求得的值． 【详解】解：（1）对于两条直线，， 当时，两直线相交， 当时，，解得，且， 综上， ，且时，与相交； （2）当，即时，两直线平行． 【点睛】本题主要考查两条直线的平行和相交的判断方法，属于基础题． 15．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 题型三、直线垂直的判断 1．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的中点，以及直线的斜率，进而利用点斜式求出方程即可. 【详解】由题意可得，线段的中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即. 故选：B 3．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设过点且与直线垂直的直线方程为. 把点代入得，解得c＝8， 所求直线的方程为. 故选：C. 4．经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 5．已知直线，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．2 D．0或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，即可求解． 【详解】当时，，：，则，符合题意； 当，直线的斜率，直线的斜率， 由得，，解得， 综上所述，实数的值为0或， 故选：D． 6．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 7．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 8．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 9．已知两条直线和相互垂直，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 10．已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 二、填空题 11．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 【答案】/-0.4 【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案. 【详解】因两直线互相垂直，则，得. 故答案为：. 12．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 13．若直线与直线垂直，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 14．已知直线，，若，则实数 ． 【答案】或 【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值. 【详解】因为直线，所以，解得或． 故答案为：或 $