7.3直线与平面垂直的判定和性质讲义-2026届高三体育单招生数学一轮复习

7.3直线、平面垂直的判定和性质（讲义） 目录 1 知识点01直线与平面垂直的判定定理1 2 2 题型一、利用线线垂直证明线面垂直 3 3 题型二、利用线面垂直证明线线垂直 7 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01直线与平面垂直的判定定理1 (1) 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直） (2) 图示： (3) 符号语言： (4) 利用线线垂直证明线面垂直的步骤： ①根据题中的条件，寻找已知的线线垂直 ②若已知的线线垂直不足以证明线面垂直，则利用利用证明线线垂直的十种方法，寻找线线垂直，最终证明线面垂直 (5) 知识拓展：证明线线垂直的九种方法： ①线面垂直的性质：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任一条直线 ②勾股定理的逆定理：两条邻边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形 ③矩形的性质：邻边垂直 ④菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分 ⑤等腰三角形得性质：底边上的中线垂直于底边 ⑥等边三角形的性质：任意底边上的中线均垂直于底边 ⑦圆的性质：直径所对的圆周角为直角 ⑧向量法： ⑨三垂线定理：平面内直线垂直于斜线在平面内的射影 ⇒ 垂直于斜线本身 ⑩利用三角函数求角度，得线线垂直 等面积法：根据边长和三角形面积来确定所求边为三角形的高线 题型一、利用线线垂直证明线面垂直 1．如图，在三棱锥中，平面，，求证：平面PAB    2．如图，是正四棱柱，求证：平面 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点，证明平面 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，，证明：平面 5．如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点，证明：平面 6．如图所示，在四面体中，已知，，，．是线段上一点，，点在线段上，且，证明：平面 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点，证明平面PCD 8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，，求证：平面PAC 题型二、利用线面垂直证明线线垂直 1．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，，求证： 2．已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60，证明： 3．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点，证明： 4．如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形，求证: 5．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且分别为的中点，求证： 6．如图，正三棱柱中，D是的中点，，求证：直线 7．如图，在正方体中，分别是的中点，证明： 8．在四棱锥中，底面，证明： 9．如图所示，在直三棱柱中，，，，，M是中点，求证：． 10．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，，已知D为棱上的点，证明： $$7.3直线、平面垂直的判定和性质（讲义） 目录 1 知识点01直线与平面垂直的判定定理1 2 2 题型一、利用线线垂直证明线面垂直 3 3 题型二、利用线面垂直证明线线垂直 8 【2026年高中数学一轮复习】 【适用于体育单招生】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点01直线与平面垂直的判定定理1 (1) 文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直） (2) 图示： (3) 符号语言： (4) 利用线线垂直证明线面垂直的步骤： ①根据题中的条件，寻找已知的线线垂直 ②若已知的线线垂直不足以证明线面垂直，则利用利用证明线线垂直的十种方法，寻找线线垂直，最终证明线面垂直 (5) 知识拓展：证明线线垂直的九种方法： ①线面垂直的性质：直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任一条直线 ②勾股定理的逆定理：两条邻边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形 ③矩形的性质：邻边垂直 ④菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分 ⑤等腰三角形得性质：底边上的中线垂直于底边 ⑥等边三角形的性质：任意底边上的中线均垂直于底边 ⑦圆的性质：直径所对的圆周角为直角 ⑧向量法： ⑨三垂线定理：平面内直线垂直于斜线在平面内的射影 ⇒ 垂直于斜线本身 ⑩利用三角函数求角度，得线线垂直 等面积法：根据边长和三角形面积来确定所求边为三角形的高线 题型一、利用线线垂直证明线面垂直 1．如图，在三棱锥中，平面，，求证：平面PAB    【分析】先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； 【详解】因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 2．如图，是正四棱柱，求证：平面 【分析】利用线面垂直的判定定理即可证明 【详解】因为是正四棱柱，所以底面且四边形为正方形. 因为底面，所以. 因为四边形为正方形，所以. 因为,面,面, 所以平面. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点，证明平面 【分析】要证明平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线、即可； 【详解】证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，，证明：平面 【分析】由题意在中，利用所给的线段长度计算出，利用矩形及线面垂直的判定定理能证明平面； 【详解】证明：在中，由题设，， 可得于是． 在矩形中，．又，平面 所以平面． 5．如图，在四棱锥中，底面为直角，，E、F分别为的中点，证明：平面 【分析】欲证面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与面内两相交直线垂直，而，，，满足定理条件； 【详解】证明：由已知为直角． 故是矩形．从而． 又底面，，所以 又平面，所以平面 故． 中，、分别为、的中点， 故，从而，面，面 由此得面． 6．如图所示，在四面体中，已知，，，．是线段上一点，，点在线段上，且，证明：平面 【分析】首先利用勾股定理逆定理说明，即可求出，再由得到，最后由，即可得证； 【详解】证明：，所以，即， 又． 而． 故，又，，平面， 平面． 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点，证明平面PCD 【分析】根据线面垂直的性质定理和判定定理证明 【详解】∵平面ABCD，平面ABCD，则， 又∵，，平面， ∴平面， 平面，则， 又∵，且，则为等边三角形， ∴， 即，且E是PC的中点，则， ，平面， ∴平面. 8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，，求证：平面PAC 【分析】求出和的正切，从而求出它们的大小，在△ABE中求得∠AEB＝90°，从而得到BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，据此即可得证； 【详解】设AC∩BD=E． 平面，平面，． ∵，，，， ，即， 又，PA、AC平面PAC，平面 题型二、利用线面垂直证明线线垂直 1．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，，求证： 【分析】根据线面垂直，推出，进而推得平面SCD，即可证明结果 【详解】证明：由已知得，，底面，底面， ∴ ∵，平面SCD，平面SCD， ∴平面SCD， ∵平面SCD，∴. 2．已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成二面角的大小为60，证明： 【分析】取BC的中点D，连接AD、PD，根据线面垂直的判定和性质可得证； 【详解】证明：取BC的中点D，连接AD、PD，则， 又，所以平面所以. 3．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点，证明： 【分析】根据题意易证平面，从而证得； 【详解】连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 4．如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且,另一个侧面是正三角形，求证: 【分析】取中点,连接,通过证明平面,进而证明; 【详解】证明:取中点,连接,如图所示: 是正三角形, 为中点, , ,为中点, , 平面,平面, 平面, 得证. 5．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，底面，且分别为的中点，求证： 【分析】要证，只需要证明平面，根据直线与平面垂直的判定定理，只需要证明平面平面内的两条相交直线，即，则问题就可得以解决. 【详解】因为在四棱锥中，底面为直角梯形，所以，又因为底面，底面，所以，，平面 ，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，且，所以， ，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 6．如图，正三棱柱中，D是的中点，，求证：直线 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得； 【详解】因为正三棱柱中，D是的中点， 所以，平面，又平面， ∴，又平面，平面， 所以平面，又平面， ∴，又， 所以； 7．如图，在正方体中，分别是的中点，证明： 【分析】根据正方体的性质得到平面，进而得到线线垂直 【详解】因为多面体是正方体，所以平面，又平面，所以， 8．在四棱锥中，底面，证明： 【分析】作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； 【详解】证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； 9．如图所示，在直三棱柱中，，，，，M是中点，求证：． 【分析】先用相似证明，再证明出，进而证明出平面，从而证明出 【详解】证明：如图D-1-18，连接． ∵，， ∴∽，∴， ∴， ∴． ∵三棱柱为直三棱柱，∴． 又∵，， ∴平面 ∵平面， ∴ ∵， ∴平面，因为平面 ∴ 10．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，，已知D为棱上的点，证明： 【分析】先证明为等腰直角三角形，然后将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】由于，，所以， 又AB⊥BB1，，故平面， 则，为等腰直角三角形， 将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则， 又， 故平面，而平面， 从而 $$