专题4 圆（计算专项训练）数学北京版六年级上册

专题4 圆 （一）圆的周长 1、圆的周长（C）​​ 定义：围成圆的曲线的长度。 计算公式（核心）：​​ C = πd（周长=圆周率×直径） C = 2πr（周长=2×圆周率×半径） 圆周率（π）：一个固定的常数，约等于3.14。通常计算时，π取3.14或按题目要求取值。在公式运算中，常保留π。 （二）圆的面积周长 1、圆的面积（S）​​ 定义：圆面的大小。 计算公式（核心）：​​ S =πr²（面积=圆周率×半径的平方） 推导过程：将圆剪拼成一个近似的长方形，长方形的长是圆周长的一半（C/2 =πr），宽是圆的半径（r），所以面积 S =πr×r = πr²。 （三）圆环的面积 1、圆环的面积​​ 定义：两个同心圆之间的部分。 计算公式：​​ S环=πR²-πr²=π（R² - r²）（R是大圆半径，r是小圆半径） 常见易错点： 半径与直径混淆（最常犯错误！） 错因：看到题目给直径，就用直径去求面积；或看到给半径，就用半径去求周长。 错例：已知直径 d=4cm，求面积。错误：S = π × 4² = 16π。 正解：必须先用直径求出半径：r = d ÷ 2 = 2cm，再求面积：S = π × 2² = 4π。 单位不统一 错因：题目中长度单位（如米、分米）和面积单位（平方米、平方分米）混用，或在计算过程中单位未统一。 错例：半径 r = 0.2m，求面积。错误：S = 3.14 × 0.2² = 0.1256（未写单位或单位错误）。 正解：S=3.14× （0.2）² = 0.1256平方米。或统一为分米计算：r=2dm, S=3.14×2²=12.56平方分米。 半圆周长与圆周长的一半混淆（高频难点） 半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径（πr + d）或 （πr + 2r） 圆周长的一半 = 整个圆周长 ÷ 2 （πr） 错例：求半圆（直径d=4cm）周长。错误：C半圆 = （3.14×4）÷2 = 6.28cm（这只是弧长，漏掉了直径）。 正解： C半圆 = （3.14×4）÷2 + 4 = 6.28 + 4 = 10.28cm。 π的取值问题 错因：题目要求用π表示结果，却取了3.14；或题目要求计算具体数值，却保留了π。 策略：看清题目要求，是“计算结果保留π”还是“取3.14”。 题型1：计算圆或半圆的周长 题型特征：直接给出半径或直径，应用公式计算。 典型例题：计算下面图形的周长。 解题思路：观根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 解题过程： 2×3.14×6＝37.68（cm） 这个圆的周长是37.68cm。 跟踪训练： 1．图形与计算。 求下面图形的周长。 2．求下边图形周长。 3．求下面各图形的周长。 4．求直径为10cm的半圆的周长。      题型2：含圆的组合图形的周长 题型特征：根据图形分割成学过的图形，然后计算各个分图形的面积，最后相加。 典型例题：计算这个图形的周长。 解题思路：图形的周长是指这个图形一周的长度和，本题图中的周长包括中间长方形的两个长，左右两个圆周长一半，合在一起是2个长方形的长加一个圆的周长，圆的周长＝。 解题过程： 43.5×2＋3.14×30 ＝87＋94.2 ＝181.2（米） 所以，这个图形的周长是181.2米。 跟踪训练： 1．计算下面图形的周长。（单位：dm） 2．计算下面图形的周长。 3．计算下面图形的周长。（单位：米） 题型3：求阴影部分的周长 题型特征：根据组合图形，区分阴影部分，可以用分割法，或者先求非引用部分，具体情况视图形来定。 典型例题：计如图中，大圆的半径等于小圆的直径。请计算阴影部分的周长。 解题思路：观察图形可知，阴影部分的周长＝大圆的周长＋小圆的周长，再根据圆的周长公式：C＝πd或C＝2πr，据此进行计算即可。 解题过程： 3.14×2×4＋3.14×4 ＝6.28×4＋3.14×4 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（cm） 则阴影部分的周长为37.68cm。 跟踪训练： 1．求阴影部分的周长。 2．求图中阴影部分的周长。 3．求阴影部分的周长。（π取3.14，单位：厘米） 4．求如图中阴影部分的周长。（单位：cm） 圆的面积和长方形的面积相等 题型4：求圆的面积 题型特征：两直接给出半径或直径，应用公式计算。 典型例题：求下面各图形的周长和面积。（单位：分米） 解题思路：圆的周长公式：，圆的面积公式：。半圆的周长是圆周长的一半加一条直径的长度，半圆的面积是圆面积的一半。据此解答即可。 解题过程： 3.14×8＝25.12（分米） （分米） （平方分米） 跟踪训练： 1．求下列各图形的面积。 2．求圆的面积。 题型5：求阴影部分的面积（含圆环） 题型特征：求法和求阴影部分的周长的求法一样。 典型例题：求下图中阴影部分的面积。（π取3.14） 解题思路：左图：通过割补法，可将右边的阴影部分移到左边，此时阴影部分是一个三角形。该三角形的底是8cm，高是半圆的半径，由图可知半圆的直径为8cm，则半径（阴影部分的高）为8÷2＝4cm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，把底8cm，高4cm代入计算即可。 右图：大半圆的直径为10dm，则大半圆的半径为10÷2＝5dm；小圆的直径等于大半圆的半径，即小圆直径为5dm，所以小圆的半径为5÷2＝2.5dm。根据圆的面积公式S＝πr2，大半圆的面积为3.14×52÷2＝39.25dm2。小圆的面积为3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625dm2。然后用大半圆面积减去小圆面积即可得出阴影部分面积。 解题过程： 左图：通过割补法，将右边的阴影部分移到左边，阴影部分是一个三角形。 8÷2＝4（cm） 8×4÷2＝16（cm2） 右图：10÷2＝5（dm） 5÷2＝2.5（dm） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（dm2） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（dm2） 39.25－19.625＝19.625（dm2） 左图阴影部分面积为16cm2，右图阴影部分面积为19.625dm2。 跟踪训练： 1．求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 2．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．计算下面图形中涂色部分的面积。 4．求下面图形阴影部分的面积。（单位为厘米） 5．求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 6．求阴影部分的面积。（单位：cm） 7．求阴影部分的面积（单位：厘米）。 题型1：计算圆或半圆的周长 1．3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（cm） 圆的周长是18.84cm。 2． （cm） 3．3.14×4×2×＋4×2 ＝12.56×2×＋8 ＝25.12×＋8 ＝6.28＋8 ＝14.28（cm） 图形的周长是14.28cm。 4．10×3.14÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 题型2：含圆的组合图形的周长 1．3.14×8÷2＋8＋12×2 ＝12.56＋8＋24 ＝44.56（dm） 这个图形的周长是44.56dm。 2．5×3.14＋10×2 ＝15.7＋20 ＝35.7（m） 3.14×（4×2）＋4×2 ＝3.14×8＋8 ＝25.12＋8 ＝33.12（dm） 3．3.14×3÷2＋4×2＋3 ＝4.71＋8＋3 ＝15.71（米） 图形的周长是15.71米。 题型3：求阴影部分的周长 1．半圆的弧长： 3.14×30× ＝94.2× ＝47.1（厘米） 扇形的弧长： 2×3.14×30× ＝6.28×30× ＝188.4× ＝15.7（厘米） 阴影部分周长： 47.1＋15.7＋30 ＝62.8＋30 ＝92.8（厘米） 答：阴影部分的周长为92.8厘米。 2．3.14×4＋4×2 ＝12.56＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56 所以阴影部分的周长为20.56。 3．3.14×12＝37.68（厘米） 37.68＋20×2 ＝37.68＋40 ＝77.68（厘米） 4．8×3＋3.14×8÷2 ＝24＋12.56 ＝36.56（cm） 长方形的长： 3.14×32÷3 ＝3.14×9÷3 ＝28.26÷3 ＝9.42（cm） （9.42＋3）×2－3×2＋2×3.14×3× ＝12.42×2－6＋4.71 ＝24.84－6＋4.71 ＝23.55（cm） 阴影部分的周长分别是36.56cm、23.55cm。 题型4：求圆的面积 1．（1）3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 圆的面积是113.04cm2。 （2）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（m2） 圆的面积是12.56m2。 2． ＝3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆的面积是12.56平方厘米。 3.14× ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 圆的面积是7.065平方米。 题型5：求阴影部分的面积（含圆环） 1．2×2＝4（厘米） （4＋9）×2÷2 ＝13×2÷2 ＝13（平方厘米） 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米） 13－6.28＝6.72（平方厘米） 阴影部分的面积是6.72平方厘米。 2．（8÷2）2×3.14÷2－（8÷2）×（8÷2）÷2 ＝42×3.14÷2－4×4÷2 ＝16×3.14÷2－16÷2 ＝8×3.14－8 ＝25.12－8 ＝17.12（平方厘米） 3．3.14×62÷4－6×6÷2 ＝3.14×36÷4－36÷2 ＝113.04÷4－18 ＝28.26－18 ＝10.26（cm2） 10.26×2＝20.52（cm2） 所以图形中涂色部分的面积为20.52cm2。 4．第一个图形中阴影部分面积： （平方厘米） 第二个图形中阴影部分面积： （平方厘米） 5．半圆的面积为： 扇形的面积为： 三角形的面积为： 阴影部分面积为： 25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 所以阴影面积为18.24平方厘米。 6．（5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（cm2） 因此，阴影部分的面积是32.5cm2。 7．3.14×（42－22） ＝3.14×（16－4） ＝3.14×12 ＝37.68（平方厘米） 即阴影部分的面积是37.68平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $