湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

高三数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的实部为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知集合满足，则 A. B. C. D. 3. 以椭圆 的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则的离心率为 A. B. C. D. 4. 若函数的图象的一条对称轴为直线，则可以取 A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，若，则的极大值点为 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为 A. B. C. D. 7. 若，则 A. B. C. D. 8. 设某地海拔(单位：m)为处的大气压(单位：kPa)为，海拔为处的大气压为，且满足，其中都是大于零的常数，表示海拔的平均气温(单位：K)，记该地海拔为0 m处的大气压为，下表列出了不同季节的数据： 季节 春季 夏季 秋季 冬季 (4.55，4.65] (4.45，4.55] (4.65，4.7] (4.7，4.75] 若某天该地海拔0 ~ 1000 m的平均气温为300 K，海拔1000 ~ 2000 m的平均气温为285 K，该地海拔1000 m处的大气压为90 kPa，海拔2000 m处的大气压为80 kPa，则这一天的季节为 附： . A. 春季 B. 夏季 C. 秋季 D. 冬季 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形中， ，记，则下列说法正确的是 A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知样本数据5，6，5，8，5，的中位数与平均数相等，则 A. B. 这组样本数据的上四分位数为6 C. 这组样本数据的极差为7 D. 这组样本数据的方差为13 11. 已知函数，其中且，则下列说法正确的是 A. 有且仅有1个零点 B. 存在，使得在定义域内单调递增 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知各项均为正数的等比数列满足， ，则________. 13. 在正四棱柱中， ，且四棱锥的体积为 6，则________. 14. 已知双曲线的右焦点为，直线与交于， 两点，若（为坐标原点），且，则的离心率为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 有 6 张卡片，上面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中每次随机抽取 1 张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为， . （1）若有放回地抽取，记事件为“”，求； （2）若无放回地抽取，记，求的分布列与数学期望. 16.（15 分） 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. (15 分) 如图，内接于圆柱的下底面圆，是圆柱下底面圆的直径，是圆柱的母线， ，且， （1）求点到平面的距离； （2）是圆柱上底面圆周上一点，若二面角的大小为，求 18. (17 分) 在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于，两点，直线和分别与交于点和（异于原点）. （1）证明：为定值； （2）证明： ； （3）设为直线， 的交点， ，求的最小值. 19. (17 分) 已知函数，其中 （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明： 在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； （3）在（2）的条件下，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $