湖南长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期月考试卷（四）数学试卷

炎德·英才大联考长沙市一中2026届高三月考试卷（四） 数学参考答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B D A D B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项 符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.) 题号 9 10 11 答案 ABD AC ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 14.2"+2_ 27 3 3 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15.【解析】1)设等差数列a,的公差为d又=，-5，n2次-1，kN, 2a:n=2k 则b,=a1-5,b2=2a2=2a+2d,b=a3-5=a1+2d-5, 3分 于是 S,=5a,+10d=35 Z=4a+4d-10=10'解得g=3,d=2, 所以数列{an}的通项公式是a。=2n+1. 5分 (2)由q知，3.-2n3+,n+l=4n+4n. 7分 2 6气222kEN,b+A,22n=F4+8m+2=2m-4, Z.=4+,+…++么，）=n川8+12-到=6㎡2+2m, 11分 2 :.I2n-S2m=6n2+2n-4n2+4n=2nn-120, 因此Tn≥S2n 13分 16.【解析】(1)：b2-a2=ac,.3=a2+ac, 由余弦定理得，b2=a2+c2-2acc0sB,.3=a2+c2-ac, .a2+ac=a2+c2-ac,则c=2a,∴.c=2,a=1, SAABC=acsin B=V3 2 6分 (2)由余弦定理得，b2=a2+c2-2acc0sB,又b2-a2=ac, ..a2+c2-2accos B a2+ac,..c-2acos B=a, 8分 .A+B+C=180,.sin(A+B)-2sin A cos B=sin A,cos Asin B-sin Acos B=sin A, ∴.sinB-A=sinA,.B-A=A或B-A+A=π（舍），.B=2A, 由正弦定理得，。s加1Si血A。 sin A 11分 b sin B sin 2A 2sin Acos A 2cos A 0<A<π 2 0<A<π 2 AABC为锐角三角形，0<B<),即0<2A<四 ，解得工<A< 13分 6 0<C< 2 0<π-A-2A<) cos4< √2 2’则1 1 1 < 2cosA互' 14分 的取值范围为 a 52 15分 b 3’2 17.【解析】(1)法一：设AB=a,AC=b,AP=c, 则=+,05+ 3 44 :N0=0-AN=-a+36, 3分 2 4 :PA⊥平面ABCD,∴.C是平面ABCD的法向量， .a.c=b.c=0, 5分 又：NQt平面ABCD,.NQD平面ABCD. 6分 法二：构造面面平行.取AM的中点K,连接N,KQ. :M为P4的中点，PK=3PA,又P0=3PC,:K004C, 又：KQ丈平面ABCD,ACc平面ABCD, ∴.KQD平面ABCD, 3分 :K为AM的中点，N为BM的中点，∴.KNO AB, 又：KN丈平面ABCD,ABC平面ABCD, .KN☐平面ABCD,5分 又KN∩KQ=K,∴.平面KNQO平面ABCD, ∴.NQ0平面ABCD. 6分 法三：证明线面平行， (2)过点O作OE⊥AC,过点O作直线I⊥平面ABCD, 分别以OE,OC,直线1为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. B .A0,-1,0,C0,1,0),P(0,-1,2,M(0,-1,1, 7分 ∠BAC=30°，.B (510 2’20 ,D(cos0,sin0,0),OD =(cos0,sin0,0), c=02-2,P0-Po=02引 PM=(0,0,-1 项=m-m》丽小月 9分 平面MNQ即平面MBQ,设其法向量为n=(√31,3， 13分 3 cos0 +sin0 2sin0+ .cos(OD.n- 3八 23 1xV13 V13 13 二OD与平面MNQ所成角的正弦值的最大值为2 15分 13 2.1 18.【解折】1)由幽意知，c=5,又点EV)在椭图C上，“宁+万1， 又c2=a2-b2,.a2=4,b2=2, 之椭圆c的方程为号+上-1。 4分 24 (2)(1)联立 5+若-1小r++r-4= y=kx+t △=422-4k2+2(2-4=0,2k2+4=2,6分 -2kt-2kt-4k 审达定理2x2十2P，女 2 w=xw+1=k.-2k+1=4 4 t 4》 8分 线8的方表为)子+） 当x=0时，少=子，当y=0时，X2及 10分 袋=--2-2 点P的载迹方程为号+y产2=1x40y生0)， 12分 (ii)M x,y),N(x2,y2), :以M,N为切点的切线方程分别为QM:+Y=1,QN:?+'=1, 14分 24 24 又点Q(人为两切线的公共点，+业=1，+业=1， 15分 24 24 直线MN的方程为o+=1, 24 联立号+安ǚ5得y-2x+2x-40, x+%-1=0 [y-2x=0「x=2 2x-4=0'y=4 即直线MN过定点(2,4). 17分 19.【解析】(1)函数f(x)=lnx-ax的定义域为(0，+oo), f'(x)=-a, 1分 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，无极大值，与题设条件矛盾： 2分 当a>0时，令f(y)=1-a=0,则x=1 当ro时，>0.到华当r,了s0,到说 所以（刘的极大值为f八a =n1-1=-1, a 所以a=1. 4分 (2)函数F(x)=e +lnx-x,F(x)的定义域为0，+oo), r叫=ke产--1_-e-_e- x2 5分 设p到=点，则p到。 当0<x<1时，p'(x>0,px)单调递增；当x>1时，p'(x)<0,px单调递减. 故p(x)≤p(1)=1,即有0< 当0<k<1时，910=。号<，o川=1>，p时在01上华调建路. 所以F到在(Q到上有唯一零点点=， 6分 又p(在，+w)上湖遥说.所以F国在1，+o)上有唯-零点，且点= 7分 所以当x∈(0，x)时，F'(x)<0,F(x单调递减；当x∈(x,1时，F'(x>0,F(x)单调递增； 当x∈(1，x2)时，F'x<0,F(x)单调递减；当x∈x2,+o)时，F'x)>0,F(x)单调递增. 所以F(x)有两个极小值点x,x2, 9分 且F(x)=@ +ng-=nk,F飞)=es+ +lnx2-x2=lnk, X2 所以F(x)=F(x) 10分 :fx+I+gx≥0成立台2+x+1+lnx+1+1sinx 令M到=方+x1+ax++sin,xe ππ 6'2 t[)g+若1+n8+小片034166. [月-5月++1+n后+-≥02474s. 12分 所以当1=-4时， 62 Mx≥0成立. 13分 下面证明，当t≤-5，t为整数时，M(x)<0恒成立. 证明：M'(x)=x+1++1osr,x x+1 62 N(x)-M(x)-x+1+-+icosx,xE x+1 62 则N'(x)=1-1 (x+1) --tsinx>0, 所以N(x)在x∈ 时单调递增， 又当t≤-5时， +1+ 1, t<0, 6 2 6 π +1+ L>0,所以存在唯一，∈[及引使N)=M()=0: 6'2 则M(x)在 后]车(5引 单调递增. 所以=mxM[g[} 又g)-g+后1+n后+片28u8+50. 2 且M[-[+51+n[5+小+1e474s7+1<0. 都有M(x<0. 16分 综上，整数t的最小值为-4， 17分 x-x-1-l(x+l) 解法二：当x∈ π元 62 时，sinx>0,.t≥ 成立， 12分 sinx 令h(=2 2-x-1-ln(x+ sinx -x-1-1）sn sinx+ Ix+x+I(x+1)+1cosx 则h'(x)= x+1 sin'x a-(1}n-[及r+1+j]osr 令p川x=1号x-x-2-n(x+l, (x+1)22 则p(x)=- 2 (x+1) -x-1-1<0, x+1 所以p(x)在x∈ ππ 62 时单调递减， 所以px)<p <0, 13分 所以m'(x<0,mx)单调递减，由参考数据得m 一4 >0,m <0, 存在唯一x∈42 π元 使得h'(xo)=0, π ,(x<0,h(x)单调递减， 16分 又41636，A=-47487 所以整数t的最小值为-4. 17分 炎德·英才大联考长沙市一中2026届高三月考试卷（四） 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分______ 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数，则 A． B． C． D．2 2．已知集合，若且，则a的取值范围为 A． B． C． D． 3．已知在中，M是的中点，，，则 A． B． C．5 D．10 4．已知，且，则的最小值为 A． B．4 C． D．8 5．某餐厅的原料费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的经验回归方程为，则表中的m的值为 x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A．60 B．55 C．50 D．45 6．在平面直角坐标系中，已知点，，P为直线上一动点，则的最小值是 A． B． C．2 D．4 7．已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则 A． B．2024 C．2025 D．2026 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C． D．的图象向右平移个单位长度后得到函数 10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且，则下列说法一定正确的是 A． B．双曲线C的离心率为 C． D．当时，四边形的面积为 11．已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2如图将三棱锥的一个面和正四棱锥一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是 A．新几何体为三棱柱 B． C．直线与异面 D．正四棱锥的棱切球半径为1 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．函数的图象在处的切线的倾斜角为__________． 13．甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛（单局中无平局）．若甲每局获胜的概率为，则打完第4局比赛刚好结束的概率为__________（用数字作答）． 14．已知为数列的前n项和，，，，则当，时，__________（用k表示）． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分） 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 16．（本题满分15分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17．（本题满分15分） 如图，点B，D在以为直径的圆O上，B，D与点A，C不重合．平面，M为的中点，N为的中点，，． （1）求证：平面； （2）当．求与平面所成角的正弦值的最大值． 18．（本题满分17分） 已知，分别为椭圆的上、下焦点，，点为椭圆C上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C与直线（，）有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点． （ⅰ）当点M运动时，求点的轨迹方程； （ⅱ）已知以椭圆（，，）上一点为切点的切线方程为．若直线l交直线于点，由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点． 19．（本题满分17分） 已知函数的极大值为． （1）求实数a的值； （2）令，实数． 求证：有两个极小值点，，且； （3）若．若，成立，求整数t的最小值． （参考数据：，，，，，） 学科网（北京）股份有限公司 $