精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期10月考试数学试题

高三数学考试 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. （ ） A. 0 B. 1 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得，结合指、对数运算求解. 【详解】令，则， 所以. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为，根据复数的相等，求得，求得答案. 【详解】由可得， 即，故 ， 故， 故选：A 3. 已知空间向量，，若，则 （ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 4. 定义：如果集合 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合 的 一个划分.已知集合，则集合 的所有划分的个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式得到集合 ，由子集族的定义对集合 进行划分，即可得到所有划分的个数. 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合 的所有划分的个数为4. 故选：B. 5. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知易得 且，求解即可. 【详解】由在上单调递增，故 ， 又在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上为增函数，要使在上为增函数，故 ， 函数在上单调递增，则， 解得，解得 （舍去）或. 故选：A. 6. 中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子” 多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为，外部八根小圆木的直径均为，所有圆木的高度均为 ，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为，相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为，腰长为，顶角为的等腰三角形，结合余弦定理可得，从而可求结论. 【详解】八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为， 相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为，腰长为，顶角为的等腰三角形， 根据余弦定理，得， 解得， 所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为： ． 故选：D． 7. 已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得 的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【详解】取的中点,, 则， 所以． 所以 在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 8. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线 与直线交于 ， 两点，要求弓形部分面积，先构造直线，与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级，；再用同样的方法在切点 ，两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一层级三角形面积的，那么求出的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线，直线，则抛物线 与直线围成的弓形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离以及弦长公式求解一级三角形的面积，再根据三角形面积的数量关系判定每一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算． 【详解】由，设为：， 联立， 由于相切，所以，解得， 故,故， 所以点到直线 的距离为， 由， 设，则 所以， 所以， 根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍， 每一级三角形的面积是上一级的面积的， 则第级的所有三角形的面积和， 故经过次分割后得到的所有三角形面积之和为： ． 当时，，故抛物线 与直线围成的弓形面积为 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可. 【详解】解：对于A选项，函数的定义域为，的定义域为，故错误； 对于B选项，与的定义域均为 ，且，满足，故正确； 对于C选项，函数与的定义域均为，且，满足，故正确； 对于D选项，与的定义域与对应关系均相同，故正确. 故选：BCD 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断. 【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示： 连接 ， ， ，则，. 取的中点， 的中点，连接 ，，，则，， 所以，不在面内，面，则面， 同理有， 不在面内， 面，则面， 而相交且都在面内，故平面平面. 要使平面，则点 在线段上，故 点的轨迹为线段，故A错误； 当点 与点重合时，，又，所以四点共面， 由图可知，点 与点不重合时， 与 异面，所以B正确； 在正方体的结构特征，易证 平面，又平面平面， 所以 平面，又平面，所以，所以C正确； 当点 为中点时， 的长度最小，连接， 则，， 当点 与点（或）重合时， 的长度最大，此时， 所以 长度的取值范围为：，故D正确. 故选：BCD 11. ．则（ ） A. 若有两个解，则． B. 若有最小值，则． C. 若有最小值，则． D. 若有两个解，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性和极值，判定A正确；当时，得到取得最小值0，当时，，可判定B、C错误； 设，令，利用导数求得在单调递增，得到，进而转化为，根据函数的单调性，求得，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 当 时， ；当时， ， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，函数取得极大值，极大值为， 且当 ，，当时， ， 所以有两个解，则，所以A正确； 当时，方程恒有根，取得最小值0都成立； 当时， ，所以， 即时，恒有最小值，所以B、C都不正确； 设，令， 可得， 当时，且，所以，可得， 所以在单调递增，所以， 所以在时，， 又由时，，所以，且，在上单调递增， 又因为有两个解，则， 不妨令，则， 由，因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得，且，且函数在为单调递增函数， 所以，所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式中展开式中项的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】展开式的通项公式为，计算可求结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以二项式中展开式中x项的系数为. 故答案为：. 13. 如图，圆与 轴的正半轴的交点为 ，点在圆上，且点 位于第一象限，点 的坐标为，若，则的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，再由三角函数的定义即可求结论. 【详解】圆的半径为1. 又， 为等边三角形，， 所以的终边为 ， . 由三角函数的定义可得，. 故答案为： 14. 已知函数，正数 ， 满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，然后可知，利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【详解】函数，定义域为 ， 由，， 所以函数为奇函数， 且，所以，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四面体 中， 平面， 是 的中点，是 的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面． （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）法一，通过取 中点，取 的四等分点，使，证明，根据线面平行判定定理证明平面； 法二，连接 并延长交 于 ,过点作 交 于点,由证明，再由推出即可证得； （2）根据相关数据证明 ，利用条件建系，写出相关点坐标，求出直线 的方向向量与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 方法一：如图，取 中点，因是中点， 且， 取 的四等分点，使， 又，则，且 ， 四边形为平行四边形， ,又平面，且平面， 平面. 方法二： 如图，连接 并延长交 于 ，连接 ， 在中，过点作 ，交 于点， 因为是的中点，则， 又 是 的中点，则，得 在中，因，故， 又平面 平面， 平面. 【小问2详解】 由，知 . 以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴， 分别以所在直线为 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又，得，， 则，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 因为， 所以直线 与平面所成角的正弦值为． 16. 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为. （1）若三人中有两人过关，求丙过关的概率； （2）记甲､乙､丙三人中过关的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意可知，这是一个条件概率，先求有两人过关的概率，再利用条件概率求解即可. （2）根据题意 的所有可能取值为，根据题意，逐一求出相应的概率即可得到分布列，再求数学期望即可. 【小问1详解】 记甲､乙､丙三人过关分别为事件，记三人中恰有两人过关为事件 则 ， 又 ， 所以， 故若有两人过关，丙过关的概率为. 【小问2详解】 由题意可知， 的所有可能取值为， 则， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 故， 即 的数学期望为. 17. 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线 与双曲线交于 ， 两点. （1）若直线 经过坐标原点，且直线 ， 的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线 的交点为，且，证明：直线与直线 的斜率之和为0. 【答案】（1）1 （2）证明如下： 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. 联立直线 方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ，. 于是， 同理可得，. 因为，所以 整理得，，而，所以. 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积,,进而根据等量关系化简即可求解. 【小问1详解】 当直线 经过坐标原点时， ， 两点关于原点对称. 设，，， 于是，. 因为 ， ，三点都在双曲线， 所以，两式作差，，所以 . 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 18. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 【答案】（1） ， ， ， ， （2）（ⅰ）4950； （ⅱ）当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时， ，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【小问1详解】 由1，2，3，4构成的逆序对有 ， ， ， ， ， ． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 ； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为 或 ． 综上，符合条件的数列组合有： ， ， ， ， ． 【小问2详解】 （ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为 ． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． 【小问3详解】 在数列，，…，中，若与后面 个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19. 若函数在上恒有成立（其中为的导函数），则称这类函数为 类函数. （1）若函数，试判断是否为 类函数； （2）若函数且恒成立，求函数的单调区间； （3）若函数是 类函数，当，时，证明： 【答案】（1）是 类函数 （2）的增区间为，减去间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用 类函数的定义判断即可； （2）由题意可得，构造函数求得，进而可求的单调区间； （3），利用已知可得在上是减函数，计算可得结论. 【小问1详解】 因为，所以在上恒成立， 所以，故是 类函数. 【小问2详解】 由，可得， 由，得， 因为，所以可得， 令，则， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 所以，所以，所以， 因为， 因为，所以， 所以，解得或， 所以的增区间为，减去间为. 【小问3详解】 函数在上的每一点处都有导数，且恒成立， 设，则在上恒成立， 所以在上是减函数， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以， 所以两式相加可得 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成式的一种方法，构造函数，利用函数单调性是一种常用方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. （ ） A. 0 B. 1 C. 2024 D. 2025 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知空间向量，，若，则 （ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 定义：如果集合 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合 的 一个划分.已知集合，则集合 的所有划分的个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 14 D. 16 5. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子” 多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为，外部八根小圆木的直径均为，所有圆木的高度均为 ，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线 与直线交于 ，两点，要求弓形部分面积，先构造直线，与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级，；再用同样的方法在切点 ，两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一层级三角形面积的，那么求出的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线，直线，则抛物线 与直线围成的弓形面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ） A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧 B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面 C. 无论点N在何位置．总有 D. MN长度的取值范围为 11. ．则（ ） A. 若有两个解，则． B. 若有最小值，则． C. 若有最小值，则． D. 若有两个解，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式中展开式中项的系数为______ 13. 如图，圆与 轴的正半轴的交点为 ，点在圆上，且点 位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为__________． 14. 已知函数，正数 ， 满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四面体 中， 平面， 是 的中点，是 的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面． （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值． 16. 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为. （1）若三人中有两人过关，求丙过关的概率； （2）记甲､乙､丙三人中过关的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 17. 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线 与双曲线交于 ， 两点. （1）若直线 经过坐标原点，且直线 ， 的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线 的交点为，且，证明：直线与直线 的斜率之和为0. 18. 将 个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意 ，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． （1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； （2）计算以下数列的逆序数． （ⅰ） ； （ⅱ）； （3）已知数列，，…，的逆序数为 ，求，，…，的逆序数． 19. 若函数在上恒有成立（其中为的导函数），则称这类函数为 类函数. （1）若函数，试判断是否为 类函数； （2）若函数且恒成立，求函数的单调区间； （3）若函数是 类函数，当，时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $