专题09 相交线与平行线（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题09 相交线与平行线 1．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，将纸片沿着DE折叠压平，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 3．（2024九年级下·江西赣州·竞赛）如图，从点发出的光线经平面镜反射后得到反射光线，直线为法线，设，那么之间的数量关系式是 ． 4．（2020八年级·山东·竞赛）如图，一长方形直尺放在一直角三角板上，则图中与的关系是 ． 5．（2023七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，已知，则 ． 6．（2023七年级·广东深圳·竞赛）图中有 对同位角（其中）． 7．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 8．（2023七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 9．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）如图所示，若，则的度数是多少？ （2）已知三角形的三边长分别为a，，c，化简：． 10．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 11．（2023八年级上·湖北恩施·竞赛）直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 12．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知三条直线相交于同一点，如图所示，根据图示信息，下列结论全对的一组是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，若恰好平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 5．（2024七年级·全国·竞赛）若与是对顶角， 与互补， 且的余角为， 那么的度数为 6．（2024七年级·全国·竞赛）一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后（第一次拐弯后，行驶了一段路程再第二次拐弯），行驶方向仍与原来的行驶方向平行．已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯，那么第二次向右拐弯的最小度数是 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，一副三角板按图示方式叠放在一起，现固定，将绕公共顶点按顺时针方向旋转一定的角度，则的某一边与的某一边相平行的情况共有 种．    8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ． 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在中，，平分交于点，于点，于点F，交于点，已知，则 度． 11．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 12．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，在线段的延长线上有一个动点，连接，已知平分．请问：当点运动时，的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如果发生变化，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相交线与平行线 1．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，将纸片沿着DE折叠压平，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合折叠性质得，再结合邻补角互补得，则，然后整理得，再把代入计算，得，最后由三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵折叠 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 解得， ∵在中，， ∴， 故选：A． 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024九年级下·江西赣州·竞赛）如图，从点发出的光线经平面镜反射后得到反射光线，直线为法线，设，那么之间的数量关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律（入射角等于反射角），熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系． 根据光的反射定律，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， 即 ∴ ∴ 故答案为：． 4．（2020八年级·山东·竞赛）如图，一长方形直尺放在一直角三角板上，则图中与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查直尺和三角板中角度间的关系，涉及平行线性质、外角性质等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 先由长方形对边平行得到，再由三角形外角性质得到，最后等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则由平行线的性质可得， 是图中小直角三角形的一个外角， ， 即， ， 故答案为：． 5．（2023七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，已知，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作， ∵， ∴， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 6．（2023七年级·广东深圳·竞赛）图中有 对同位角（其中）． 【答案】32 【分析】本题考查了同位角的识别，理解同位角的定义是解题的关键． 在每条直线上有两个交点就有四对同位角，数一下每条直线上交点个数，得到同位角的对数，再加在一起得到结果． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，在截线上有两个交点，有四对同位角， 图中直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 图中共有对同位角． 故答案为：． 7．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 ③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 8．（2023七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，易得；再根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和可得即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，，． 9．（2023八年级上·安徽合肥·竞赛）（1）如图所示，若，则的度数是多少？ （2）已知三角形的三边长分别为a，，c，化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形三边关系，能灵活运用平行线的性质进行推理以及根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负是解此题的关键． （1）过E作，过F作，过G作，过H作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：（1）如图， 过E作，过F作，过G作，过H作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∴； （2）∵的三边长分别是a、b、c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边， 则，，， ∴ ． 10．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛到灯塔的距离为20海里 (2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 答：海岛到灯塔的距离为20海里； （2）解：如图，过点作于点， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， （小时）． 答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短． 11．（2023八年级上·湖北恩施·竞赛）直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 【答案】(1)135 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，平行公理的推论，补角的定义，熟练运用平行线的性质，角的平分线的性质是解题的关键． （1）过点Q作，则，利用平行线的性质求解即可； （2）利用补角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，过点Q作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，    故答案为：135； （2）证明：， ， 平分， ． ∵ ． ∵， ．    12．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】过点作，根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； 过点作，可得，利用平行线的性质可得：，同理可得：，根据规律可得：； 过点作，可得：，根据平行线的性质可得：，由可得：，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 同理：， 以此类推，可得：； 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， 由可知， ． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知三条直线相交于同一点，如图所示，根据图示信息，下列结论全对的一组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等以及平角的定义，由题意求出，即可求解． 【详解】解：由图可知：， 由对顶角相等可得：，故A正确，B、C、D错误； 故选：A 2．（2024七年级·全国·竞赛）如图，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，若恰好平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、矩形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．先根据矩形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用平行线的性质可得，然后利用折叠的性质可得，，，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得：，， ，， ∵恰好平分， ， ∴， ， ， 故选：C． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键． 如图所示，作交于，作，根据平行线的性质可求出的度数，根据垂直的性质可求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于，作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 5．（2024七年级·全国·竞赛）若与是对顶角， 与互补， 且的余角为， 那么的度数为 【答案】/120度 【分析】本题考查余角，补角，对顶角的计算．根据互为余角是指两个角的和为，互为补角是指两个角的和为，对顶角相等即可． 【详解】解： 的余角为， ， 与互补， ， 与是对顶角， ． 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后（第一次拐弯后，行驶了一段路程再第二次拐弯），行驶方向仍与原来的行驶方向平行．已知这辆汽车在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯，那么第二次向右拐弯的最小度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出图示即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴第二次向右拐弯的最小度数是：， 故答案为：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，一副三角板按图示方式叠放在一起，现固定，将绕公共顶点按顺时针方向旋转一定的角度，则的某一边与的某一边相平行的情况共有 种．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质；根据题意，画出图形即可判断，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如下列图形所示，粗线表示的是相平行的线段，与平行的各有一种，与平行的有三种，共有种， 故答案为：．    8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，平行线分别交射线于点，交射线于点，点在射线上，且不与点、或重合．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，过作，与相交于点，由得到，进而得到，，即，再由即可求解，掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键． 【详解】过作，与相交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在一片高新技术经济开发区的旁边修了一条公路，已知公路的第一个拐角，第二个拐角，第三个拐角记为，如果公路段与公路段恰好平行，那么的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，先延长，交于点，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图，在中，，平分交于点，于点，于点F，交于点，已知，则 度． 【答案】40 【分析】设，则，，，解得，． 【详解】解：设， ∵， ∴ ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：40. 11．（2024七年级·全国·竞赛）（1）如图1，，且，求证：；           　图1 （2）如图2，，且，求的值．           　图2 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握和灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）作出辅助线，由平行线的性质可得角相等，结合条件即可证明； （2）作出辅助线，类比（1）的推导即可完成． 【详解】（1）证明：作， ， ， ， ， ， ； （2）解：作， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， 又， 设，则， ， ． 12．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，在线段的延长线上有一个动点，连接，已知平分．请问：当点运动时，的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如果发生变化，请说明理由． 【答案】 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的定义，二元一次方程的应用，设，，由角平分线的定义可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 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