精品解析：山东省东营市东营区行知学校2025-2026学年上学期上学期九年级数学第一次月考试题

东营区行知实验学校2025-2026学年第一学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数为该二次函数图像上的点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，满分28分） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 12. 若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 13. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线，则的值为______． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 15. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 16. 已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行__________米才能停下来． 17. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 18. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算、化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中满足． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 21. 如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 22. “加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）求A，B两种软件y与x之间的关系； （2）______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） （3）2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 23. 二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； （3）若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ 25. 已知二次函数． （1）当二次函数的图象经过点时， ①求该二次函数的表达式； ②若点、在x轴上方的抛物线上，求的取值范围； （2）当时，函数值y的最大值满足，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东营区行知实验学校2025-2026学年第一学期质量检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倒数与相反数的定义可得答案． 【详解】解：的倒数是 的相反数是 的倒数的相反数是 故选： 【点睛】本题考查的是倒数与相反数的定义，掌握倒数与相反数的定义是解题的关键． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3． 【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确； B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误； C、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误； D、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误； 故选A． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 4. 已知二次函数为该二次函数图像上的点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数解析式得到对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴的距离越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：由得该抛物线图象开口向上，对称轴为直线， ， ， 故选A． 5. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 7. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 8. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 当时，， 则， 当时，，， 则， 故选：B． 9. 若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3）， ∴， ∴a=1， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过Q（m，n）， ∴即， ∴ ， ∵， ∴的最小值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键． 10. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①②；时，，判断③；根据函数增减性，判断④；根据当时，函数值最小，判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，，物线与y轴交于负半轴，，，， ∴，故①正确； ②，，故②正确； ③根据对称性可知，当时，，，故③不正确； ④∵对称轴是直线，所以和时，y值相等， ∴若，是抛物线上两点，则，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，函数值最小，故，故⑤正确； 故选：B 二、填空题（共8小题，满分28分） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与x轴有两个交点则判别式的值大于零是解题的关键． 根据抛物线与x轴有两个交点可知判别式的值大于零且二次项系数不为0，据此列式不等式组计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，解得：且． 故答案为：且． 13. 在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，函数图象上的点，二次函数的对称轴；由已知条件得 ，由二次函数的对称轴得，将代入可求，即可求解；能根据已知条件用表示出、是解题的关键． 【详解】解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ； 故答案：． 14. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 15. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝80t﹣2.5t2，则飞机着陆后滑行__________米才能停下来． 【答案】640 【解析】 【分析】要求飞机滑行多少米才能停下，即要求飞机滑行距离的最大值，根据已知二次函数解析式求s的最大值即可． 【详解】s=－2.5(t2－32t) =－2.5(t－16)2+640， 当t=16时，s有最大值640． 所以飞机着陆后滑行640米才能停下来． 故答案为：640． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，将飞机滑行多少距离停止转化为二次函数的最值是解题关键． 17. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 18. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算、化简求值： （1）； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算求值即可； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 即， 原式． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）23米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出仓库的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设仓库的宽为x米，则仓库的长为米， 根据题意，仓库的面积， ∵，解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为23米． 22. “加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）求A，B两种软件y与x之间的关系； （2）______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） （3）2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）5； （3）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得， 解得，（舍去）， ∵，不合题意， 故2024年两种软件累计利润和不能达到60万元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得两函数的交点坐标，再利用数形结合可求解；令，求得的值即可； （3）解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：解方程， 得，， 观察图象，当时，直线在二次函数的图象的上方，且都在轴的上方， ∵ ∴5月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高； 当时，（万元）； 故A，B两种软件9月份的利润和是万元； 【小问3详解】 略 23. 二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； （3）若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，利用中点坐标公式，列出方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M， 由（1）知二次函数的解析式为， 令，得， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时，， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设，，，， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时； 综上可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、求线段的最值、平行四边形的性质、中点坐标公式，解题的关键是综合运用上述知识，第3问难度较大，注意分类讨论，避免漏解． 24. 如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？ （2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米. 【解析】 【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG>3，则看不见老鼠，若DG≤3，则可以看见老鼠； (2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG =sin37°，即可求出CG的长度. 【详解】(1)能看到； 由题意得，∠DFG=90°-53°=37°， 则=tan∠DFG， ∵DF=4米， ∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3(米)， 故能看到这只老鼠； (2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)， 又=sin∠ACG=sin37°， 则CG==9.5(米)， 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段. 25. 已知二次函数． （1）当二次函数的图象经过点时， ①求该二次函数的表达式； ②若点、在x轴上方的抛物线上，求的取值范围； （2）当时，函数值y的最大值满足，求b的取值范围． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先把代入，进行计算，得，即可作答． ②依题意，把代入，得，因为在x轴上方的抛物线，故时，，同理把代入，得，因为在x轴上方的抛物线，时，则，即可作答． （2）依题意二次函数的开口向下，对称轴为直线，因为当时，函数值y的最大值满足，再进行分类讨论，然后列式化简，即可作答． 【小问1详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得． ∴， ②∵点、在x轴上方的抛物线上， ∴把代入， 得 ∴， 整理得， 则， 解得 ∵ ∴开口向下， 故时， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 整理得， 则， 解得， ∵， ∴开口向下， 故时，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， 当时， 有最小值，且为， 当时， 有最大值，且为， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵二次函数，且， ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，函数值y的最大值满足， ∴当时，则在时，函数值y的最大值为， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴ ∴当时，则在时，函数值y的最大值为， ∴， ∴（舍去）， ∴当时，即 则在时，函数值y的最大值为， ∴， ∴， ∵ ∴无解， 或在时，函数值y的最大值为， ∴， ∴， ∵ ∴无解， 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $