第四章一次函数：一次函数在几何中的应用 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了一次函数的定义、图像性质、解析式求法及几何应用，通过知识精讲中的定义辨析、性质表格，以及例题精析分类型（比较大小、解析式与交点、面积及线段长），构建知识内在逻辑网络。 其亮点在于采用“基础例题-变式训练-综合应用”分层设计，如类型二通过平移、垂直等情境题培养几何直观，类型三用割补法求面积发展推理意识，家庭作业与检测题覆盖不同难度，助力学生巩固知识，教师精准教学。

一次函数在几何中的简单应用 一、教学目标 1、掌握一次函数与一元一次方程之间的关系 2、掌握用待定系数法求一次函数的解析式及交点问题 3、掌握一次函数中求三角形面积及线段长 二、教学重难点 1、根据两点求解析式，与方程结合 2、利用直接法和割补法求面积 三、知识精讲 知识点1 一次函数与正比例函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。 知识点2 一次函数的图象与性质 （1） 一次函数图象是一条直线； （2）已知两点可以作图，也可求出解析式； （3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； （4）一次函数的图象与性质 正比例函数和一次函数图像和性质如表： 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 四、例题精析 类型一：一次函数比较大小 例1、已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线上，则y1，y2的值的大小关系是 　 　． 【变式练习】 1． 已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1　 　y2．（填“＜”或“＞”或“＝”） 2．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点， 若x1＜x2，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”“＝”） 3． 已知点A（m+1，y1），B（m，y2）都在一次函数y＝﹣3x+2的图象上，那么y1与y2的大小关系是 y1　 　y2（填“＞”，“＝”“＜”）． 4．点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　 　y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）． 类型二：求一次函数的解析式及交点问题 例1、 将直线向下平移4个单位后得到直线AB,A为x轴的交点， 且点B(0,—4),则直线AB的 函数表达式为 ,线段AB的长为 例2、 已知一个一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点(8,2),则此一次函数的解析式为 例3、若直线y=-4x+1与直线y=kx-1 垂直，则k= ;若一直线经过点 A(2,3),且与直线 垂直，则其解析式为 例4如图所示，A，B，C．的坐标分别为A（-3，0），B（0，6），C （0，1）D（2，0），试求直线AB与直线 CD的交点坐标． C 【变式练习】 1. 已知函数 y=kx+b(k≠0)的图象与y 轴的交点的纵坐标为-2,且当x=-2时，y=1, 那么此函数的解析式为 2. 如图，直线AB:y=2x-4 交 x 轴于点A, 交y 轴于点B, 直线OC交 AB于点C，且 CO=CA, 则直线OC的解析式为 3一次函数 y=2x+b的图象沿y 轴平移3个单位长度后得到一次函数 y=2x+1 的 图 象， 则b 的值为 4已知直线y= -2x+5, 则将其向右平移1个单位长度后与两坐标轴围成的三角形的面积为 5已知直线l₁:y=kx , l₂:y=2x+3, 若两直线垂直，则直线l₁的解析式为 6、直线与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式是 。 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象过点A(a,3), 与 x 轴相交于点B. (1)求点A,B的坐标； (2)过点A的直线交x轴的正半轴于点D,若AB=AD,求直线AD的函数关系式及点B到直线AD的距离. 类型三：求三角形的面积及线段长 例1.如图，已知l1：y=2x+m经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线l2：y=kx+b经过点（2，-2）且与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于点D． （1）求直线l1，l2的解析式； （2）若直线l1与l2交于点P，求S△ACP：S△ACD的值 【变式练习】 1、如图，等腰三角形ABO中，底边OA在y轴的正半轴上，且OA=3，点B在第二象限．若直线y=-x+1恰好经过点B，则△ABO的面积是 。 2.如图，直线l₁ 过 点A(0,3) 和点D(3,0), 直线 与 x 轴交于点C, 两直线 l₁,l2 相交于点B. (1)求直线l₁ 的解析式和点B 的坐标； (2)求△ABC的面积 3、如图,已知直线L1经过点A(−1,0)与点B(2,3),另一条直线L2经过点B,且与x轴相交于点P(m,0). (1)求直线L1的解析式。 (2)若△APB的面积为3,求m的值. 4、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，4）． （1）求直线AB的解析式； （2）已知：C（m，2﹣m）在直线AB的下方，△ABC的面积为10，求m． 5．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2）和点B（a，3）且点B在正比例函数y＝﹣3x的图象上． （1）求一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若点C的坐标为（4，﹣2），求△BOC的面积； （3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝S△BOC，求点P的坐标． 6．如图，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在直线l上，连接OC． （1）求直线l的解析式； （2）点P为x轴上一动点，若△ACP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标． 五、课堂总结： 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 六、家庭作业 1．在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且2OC＝OB． （1）求直线AC的表达式； （2）若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得S△AMB＝2S△ABC，求出此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使∠CMP＝45°，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． 2．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）则k＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）关于x的不等式kx+b＞x+1的解集是 　 　； （3）四边形AOCD的面积 　 　； （4）在平面内是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以CD为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 课堂过关检测 时间： 姓名： 1．已知（3，y1）和（﹣1，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．以上都有可能 2．已知（﹣1，y1），（1.8，y2），（2，y3）是直线y＝﹣3x+m（m为常数）上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 3．关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 4．已知直线y＝kx+6与坐标轴所围成的图形的面积为18，则k＝　 　． 5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线上，则y1，y2的值的大小关系是 　 　． 6．如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． （1）求一次函数y2的函数解析式； （2）求△ABC的面积． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $