专题11 一次函数相关应用题（6种类型48道）2026-2027学年北师大版八年级数学上册高频考题单元专练（重庆专用）

专题11 一次函数相关应用题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 一次函数与阶梯计价】 1 【类型2 一次函数与最大利润】 4 【类型3 一次函数相关方案问题】 7 【类型4 新能源相关一次函数问题】 9 【类型5 一次函数与物理综合】 14 【类型6 一次函数相关行程问题】 18 【类型1 一次函数与阶梯计价】 1．为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 2．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 3．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 5．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 6．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 7．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 8．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【类型2 一次函数与最大利润】 9．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 10．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 11．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 12．哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 13．洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 14．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 15．综合与实践 数学兴趣小组到面包房了解面包定型工艺，他们发现定型面包的张师傅头一天将面团发酵，第二天分两步完成定型：第一步是定型；第二步是烘烤．现有甲、乙、丙三种面包需要定型，其定型要求如下： （i）定型时每次只能定型一个面包； （ⅱ）烘烤时可以多个面包同时进行； （ⅲ）定型时可以同时烘烤其他面包； （ⅳ）每个面包定型和烘烤所需时间如下表所示： 类型 甲 乙 丙 定型时间/分钟 2 7 6 烘烤时间/分钟 2 10 3 任务1：已知甲、乙、丙三种面包各定型1个． (1)若按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要______分钟； (2)若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照______的顺序定型． 任务2： (3)若甲、乙、丙三种面包每个的利润分别为6元、10元、8元．某日，张师傅需要定型这三种面包共40个，且甲面包的定型数量是乙面包的2倍，三种面包的定型数量均为正整数．请帮张师傅安排三种面包的定型数量，使当天的总利润最大，并求出最大总利润． 16．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【类型3 一次函数相关方案问题】 17．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 18．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 19．某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． (1)分别直接写出，关于x的函数解析式； (2)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 20．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 21．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 22．某学校积极响应号召，绿化校园．计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元. (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 23．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 24．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【类型4 新能源相关一次函数问题】 25．随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的关系图象分别为图中的线段，． (1)快充小时可充电________，慢充小时可充电________； (2)直接写出与所满足的关系式； (3)若将一辆剩余电量为的新能源汽车先慢充，再快充，共用小时充满，直接写出慢充和快充各用多长时间？ 26．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 27．项目式学习（购车选择） 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用： A型电动车每百公里耗电度电，每度电元； B型燃油车每百公里耗油升，每升油价元； 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 行驶公里数（公里） 每公里耗能费用（元） 购车费用与耗能费用总和（元） A型电动车 B型燃油车 项目任务： (1)计算：每公里耗能费用分别为元、元，购车费用与耗能费用总和分别为元，元：________，________，________，________； (2)购车选择：比较两种车型的总费用，并给出购车建议； (3)追加任务：小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，需要投入多少费用？（备注：．行驶路程超过万公里，网约车强制报废；．网约车每年平均行程万公里；．电动车保险费：元/年；．电动车保养费：元/万公里） 28．实验目的：探究新能源纯电动汽车续航里程与环境降温幅度的函数变化关系． 实验过程：选取两台不同的新能源纯电动汽车甲、乙，车辆满电初始续航里程均为，分别置于两套独立极寒舱内，设置冷却工况，模拟低温环境．极寒舱从初始常温匀速降低温度，记录不同降温幅度下车辆仪表显示剩余续航，探究低温对续航衰减的规律． 实验结论：当环境降温幅度较小时，低温不会造成续航衰减；当降温幅度超过临界值后，纯电动汽车续航随降温幅度增大逐步衰减；降温幅度达到饱和值后，剩余续航不再继续减少． 【建立模型】 极寒测试过程中，汽车甲、乙仪表显示的剩余续航与环境降温幅度之间的函数关系如图所示． 【解决问题】 (1)当降温幅度时，直接写出汽车甲、乙的剩余续航里程； (2)当时，求汽车甲剩余续航y关于降温幅度x的函数解析式； (3)当汽车甲降温幅度时，该车剩余续航为；若要让汽车乙的剩余续航同样等于，则汽车乙对应的降温幅度为，请求出m、n的值． 29．综合与实践 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 素材1 工程师对某品牌的A款新能源汽车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电池能量为的两台A款新能源汽车同时充电，绘制了如图所示的电池能量（单位：）与充电时间（单位：h）之间的函数图象，其中线段表示用快充时与的函数关系；线段表示用慢充时与的函数关系． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电池能量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），充至电池能量达到． 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求小明家的A款新能源汽车本次充电共用多少小时？ 30．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） A 家用充电2800 0.55（综合平均价） B 公共充电0 1.12（含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） (1)请分别求出方案A和方案B的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与； (2)已知该款车百公里耗电16千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 31．某家庭计划购入新车，为了确定购买新车的能源类型，对同价位的A型纯电动车与B型燃油车的年度使用成本（仅考虑保险、保养、能耗三项）进行了调查，得到数据如下： A型纯电动车：年度保险费元，年度保养费元，每行驶电费元； B型燃油车：年度保险费元，年度保养费元，每行驶油费元． 设年度行驶里程为，A型纯电动车年度使用成本为元，B型燃油车年度使用成本为元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当行驶里程为多少千米时，购买A型纯电动车和B型燃油车的年度使用成本一样？ (3)该家庭决定购买用车成本更低的车型，如何根据年度行驶里程选择购买车辆的类型？ 32．固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如表： 耗电时间x（小时） 0 12 20 28 … 显示的剩余电量y（） 100 76 60 44 … (1)根据如表，求显示的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的函数关系式； (2)如图呈现了该电池的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段，两次实验的耗电速率恒定； ①结合（1）及图像信息：点B坐标为______，充电30分钟后显示的剩余电量y（）为______； ②当该电池显示剩余电量y（）的值为60时，求充电和第二次耗电过程中对应时间x（小时）． 【类型5 一次函数与物理综合】 33．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度与时间之间的关系的图象如图②所示． (1)点A的坐标为________； (2)求所在直线的函数表达式； (3)当小球滚动时，求小球的速度． 34．已知弹簧在其弹性限度内，它的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）的关系可表示为的形式，其中称为弹力系数，测得弹簧的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图所示．求长度（厘米）与所挂重物质量（千克）的函数关系式，并写出弹力系数． 35．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．小晨准备了若干个同种型号的玻璃杯，分别装进不同高度的自来水，用一根筷子分别敲击每个玻璃杯的杯口，同时用测音高的软件测量出频率，得到玻璃杯不同水位高度与振动频率之间的关系图象，如图所示． (1)求关于的函数表达式；（不写范围） (2)已知音阶“”的频率是，玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度是时，所使用的水量为；当水位每升高时，则所使用的水量增加．若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，则玻璃杯中应装水多少毫升？ 36．如图1是某物理实验装置的一部分，初始位置时，甲、乙两容器中的液面在同一水平线上，实验过程中测得乙容器中液体的总体积随着甲容器下方升降垫的升高先匀速增加，最后保持不变．设升降垫增加的高度为，乙容器中液体的总体积为，则与之间的函数关系如图2所示． 根据函数图象解答下列问题： (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)当乙容器中液体的总体积为时，求升降垫增加的高度． 37．某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 38．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 油温 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）________一次函数关系；（填“符合”或“不符合”） (2)根据以上判断，求关于的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 39．在一次物理实验课上，嘉嘉和琪琪一起探究弹簧长度与所挂物体质量之间的关系．她们把一根弹簧（最大承受质量）的上端固定，在其下方悬挂物体．下表记录的是弹簧长度（）与所挂物体质量（）的部分对应值． 所挂物体质量/ … 弹簧长度/ … 观察表中数据，解答下列问题： (1)不挂物体时，弹簧长度为________，当所挂物体质量为时，弹簧长度为________； (2)设所挂物体质量为（单位：），弹簧长度为（单位：）： ①物体质量每增加，弹簧长度增加________； ②请写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当所挂物体质量为时，弹簧长度为多少？ 40．【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在溢水杯中盛满液体，将一个质地均匀的长方体小铝块悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，缓慢浸入到液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 总结公式：①当小铝块位于液面上方时，． ②当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中发现：弹簧测力计的示数与小铝块下降的高度之间的关系如图2所示． 【解决问题】 (1)当小铝块位于液面上方时，弹簧测力计的示数______；当小铝块完全浸入液面下方时，弹簧测力计的示数______． (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． (3)当小铝块受到的浮力为时，小铝块受到的拉力为______，弹簧测力计悬挂的小铝块下降的高度为______． 【类型6 一次函数相关行程问题】 41．图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y与时间x的关系．他离开家，回到家．请你根据这个折线图回答下列问题： (1)何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？ (2)何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？ (3)刘伟骑了多少千米？ (4)刘伟在和的平均速度各是多少？ (5)刘伟返家时的平均速度是多少？ (6)时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家？ 42．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 43．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 44．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 45．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 46．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； (2)快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 47．如图1，A，B两地之间有M，C两处景点，假期期间，佳佳与琪琪两家相约出行，分别从A，B两地同时出发，驾车前往C景点游玩．佳佳从A地驾车到达M景点，停留游玩后，保持原速度继续行驶到达C景点．琪琪从B地出发，先以的速度行驶，随后提速至原速的倍行驶至C景点，比佳佳早到佳佳、琪琪离C景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为_____________，_____________，_____________； (2)请求出琪琪加速后，与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当佳佳与琪琪之间的距离为时，求的值． 48．已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一次函数相关应用题 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 一次函数与阶梯计价】 1 【类型2 一次函数与最大利润】 9 【类型3 一次函数相关方案问题】 19 【类型4 新能源相关一次函数问题】 26 【类型5 一次函数与物理综合】 37 【类型6 一次函数相关行程问题】 45 【类型1 一次函数与阶梯计价】 1．为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 【答案】(1)42元 (2) (3) 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； 综上： （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 2．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量（） 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 5 4 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式； (2)小刚一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)10元 【分析】（1）根据题中分段计价的方式求出函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求函数表达式，按照题意求出费用即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意， 当时，； 当时，； （2）解：小刚一次性购买所付的费用为元； 小刚分两次购买（每次购买）所付的费用为元； 小刚一次性购买所付的费用比分两次购买（每次购买）所付的费用少元． 3．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 4．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 5．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 6．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 7．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 8．小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数， (2)元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意，得，化简为即可求解； （2）根据题意，当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 【类型2 一次函数与最大利润】 9．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 10．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中． 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2)2300元 (3) 【分析】（1）根据题意列函数解析式即可； （2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可； （3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为； （2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 即商场能获得的最大利润为2300元； （3）解：设利润为W元，根据题意得： ， 当，即时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，，不符合题意，舍去； 当，即时，W随x的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最小值， ∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为． 11．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 12．哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． (1)若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【答案】(1)，，m为正整数 (2)当时，最大收益为元；当时，最大收益为元；当时，最大收益为元 【分析】（1）根据总利润=两种商品的利润之和，列出解析式即可解决问题； （2）结合（1）可得，分三种情形讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品件， A型商品每件利润为（元），B型商品每件利润为（元）． 由题意：， ∴， ∵， ∴； ∴该客商销售这批商品的利润与m之间的函数解析式是： ，m为正整数． （2）解：由（1）得： ①当时，即时，随m的增大而增大，所以时，最大利润为元； ②当时，即时最大利润为17500元； ③当时，即时，随m的增大而减小， ∵， 所以时，最大利润为元． 13．洛阳依托文旅特色打造夜间文旅消费市场，鼓励商户拓展线下外摆经营．商户小王借此售卖牡丹手工皂与牡丹瓷书签两款特色文创产品，两款文创的进价、售价如下表： 类型 牡丹手工皂 牡丹瓷书签 进价/（元/件） 售价/（元/件） 小王计划购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件进行销售，设小王购进牡丹手工皂件，两种商品全部销售完后获得的总利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍，当购进两种商品各多少件时，可使得两种商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 【分析】（1）先求出小王购进牡丹瓷书签件，再根据总利润手工皂总利润书签总利润即可求解； （2）先根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵小王购进牡丹手工皂与牡丹瓷书签两种商品共件，购进牡丹手工皂件， ∴小王购进牡丹瓷书签件， ∴由题意可得， 整理得：（，且为整数）； （2）∵牡丹瓷书签的进货数量不少于牡丹手工皂的倍， ∴，解得， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∴， ∴当购进牡丹手工皂件，牡丹瓷书签件时，总利润最大，最大总利润为元． 14．某经销商欲购进甲、乙两种水果．甲、乙两种水果的售价分别为12元和18元，甲种水果的进价为8元，乙种水果的进货总金额（单位：元）与乙种水果的进货量（单位：）之间的关系如图所示． (1)直接写出关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种水果共，并能全部售出，其中乙种水果的进货量不低于，且不高于．设销售完这两种水果所获总利润为（单位：元）． ①求关于的函数解析式； ②请为该经销商设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1)与之间的函数表达式为： (2)①与乙种产品进货量之间的函数表达式为：；②当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 【分析】（1）先根据图像特点判断函数类型，再利用待定系数法对两段一次函数分别求解即可．注意分段函数的书写格式． （2）依据‘利润售价成本’，根据乙种产品进货量的不同范围，分别求出总利润的函数表达式，并根据一次函数的增减性，结合取值范围，求最大总利润，即可得到获得最大总利润的进货方案． 【详解】（1）解：（1）当时，设，根据题意可得，， 解得：； ． 当时，设， 根据题意可得，，解得：， ． 与之间的函数表达式为：． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ，解得． 当时，， ， 随值的增大而减小． 当时，的最大值为元； 当时，， ， 随值的增大而增大． 当时，的最大值为元， 综上，与乙种产品进货量之间的函数表达式为：， 当购进甲产品千克，乙产品千克时，总利润最大为元． 15．综合与实践 数学兴趣小组到面包房了解面包定型工艺，他们发现定型面包的张师傅头一天将面团发酵，第二天分两步完成定型：第一步是定型；第二步是烘烤．现有甲、乙、丙三种面包需要定型，其定型要求如下： （i）定型时每次只能定型一个面包； （ⅱ）烘烤时可以多个面包同时进行； （ⅲ）定型时可以同时烘烤其他面包； （ⅳ）每个面包定型和烘烤所需时间如下表所示： 类型 甲 乙 丙 定型时间/分钟 2 7 6 烘烤时间/分钟 2 10 3 任务1：已知甲、乙、丙三种面包各定型1个． (1)若按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要______分钟； (2)若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照______的顺序定型． 任务2： (3)若甲、乙、丙三种面包每个的利润分别为6元、10元、8元．某日，张师傅需要定型这三种面包共40个，且甲面包的定型数量是乙面包的2倍，三种面包的定型数量均为正整数．请帮张师傅安排三种面包的定型数量，使当天的总利润最大，并求出最大总利润． 【答案】(1)19 (2)乙—丙—甲 (3)定型甲种面包2个，定型乙种面包1个，定型丙种面包37个，当天总利润最大，最大总利润为318元 【分析】（1）根据定型和烘烤要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可； （2）根据甲、乙、丙定型和烘烤的时间，结合加工要求分情况解答即可； （3）设定型乙种面包个，则定型甲种面包个，定型丙种面包个．设总利润为w元，根据题意列出一次函数解析式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：定型的同时可以烘烤其他多个产品， ∵定型甲需要2分钟，定型乙需要7分钟，可在定型乙的同时烘烤甲产品， ∴定型1个甲1个乙并烘烤1个甲产品共需要9分钟，即分钟； ∵定型丙的同时烘烤乙，烘烤乙需要10分钟，定型丙需要6分钟， ∴定型丙后还需烘烤乙1分钟， ∵烘烤丙需要3分钟， ∴按照“甲—乙—丙”的顺序定型，那么至少需要分钟， （2）由（1）知按照“甲—乙—丙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 同理：按照“甲—丙—乙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“乙—甲—丙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“乙—丙—甲”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“丙—甲—乙”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 按照“丙—乙—甲”的顺序定型，并完成烘烤，那么至少需要分钟； 若使定型甲、乙、丙三种面包的总时间最短，则应按照“乙—丙—甲”的顺序定型 （3）设定型乙种面包个，则定型甲种面包2x个，定型丙种面包个． 设总利润为w元，则，    ∵， ∴w随x的减小而增大， ∴当时，w最大，w的最大值为， 此时，． 答：定型甲种面包2个，定型乙种面包1个，定型丙种面包37个，当天总利润最大，最大总利润为318元． 16．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【分析】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 【类型3 一次函数相关方案问题】 17．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪1500元，每完成一单外卖业务再提成3元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成6元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一，方案二中骑手的月工资分别为元，元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)若李明是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（x为正整数），（x为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二．理由如下: ①当时，，解得， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ②当时，，解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ③当时，，解得， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出，关于的函数解析式； （2）分别列出、、三种关系式求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得关于的函数解析式为（为正整数）， 关于的函数解析式为（为正整数）； （2）略 18．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 19．某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． (1)分别直接写出，关于x的函数解析式； (2)根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 【答案】(1)， (2)当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可； （2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 即． （2）解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示， 当时，， 解得， 则， ∴与的交点坐标为， 即当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 20．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 21．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1) (2) (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，当时，； （2）解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 22．某学校积极响应号召，绿化校园．计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元. (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1) （且为整数） (2) 当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设购买A种树苗x棵，则设购买B种树苗棵，根据总费用A种树苗单价A种树苗数量 B种树苗单价B种树苗数量列式求解即可； （2）根据购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴， 解得， ∴（x为整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 23．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）略 24．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； (2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择方案二更优惠， 当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． （2）略 【类型4 新能源相关一次函数问题】 25．随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的关系图象分别为图中的线段，． (1)快充小时可充电________，慢充小时可充电________； (2)直接写出与所满足的关系式； (3)若将一辆剩余电量为的新能源汽车先慢充，再快充，共用小时充满，直接写出慢充和快充各用多长时间？ 【答案】(1)； (2) (3)慢充用时小时，快充用时0.75小时 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）设慢充用时小时，则快充用时小时，由题意得，，再解方程即可． 【详解】（1）解：快充小时可充电；慢充小时可充电； （2）解：设 代入，得， 解得 ∴； （3）解：设慢充用时小时，则快充用时小时， 由题意得， 解得 则快充用时（小时） 答：慢充用时1.25小时，快充用时0.75小时． 26．新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)计算这辆汽车充电结束时的总费用； (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数解析式； (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）先求出谷时的充电单价，再求出低谷用电费用，加上6即可求解； （2）令y等于高峰充电费用6加上低谷充电费用即可求解； （3）求出低谷充电的时间即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴低谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）解：由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，； （3）解：由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 27．项目式学习（购车选择） 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用： A型电动车每百公里耗电度电，每度电元； B型燃油车每百公里耗油升，每升油价元； 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 行驶公里数（公里） 每公里耗能费用（元） 购车费用与耗能费用总和（元） A型电动车 B型燃油车 项目任务： (1)计算：每公里耗能费用分别为元、元，购车费用与耗能费用总和分别为元，元：________，________，________，________； (2)购车选择：比较两种车型的总费用，并给出购车建议； (3)追加任务：小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，需要投入多少费用？（备注：．行驶路程超过万公里，网约车强制报废；．网约车每年平均行程万公里；．电动车保险费：元/年；．电动车保养费：元/万公里） 【答案】(1)，，， (2)当时，选择B型燃油车更划算；当时，两种车型总费用相同，选择任意一种均可；当时，选择A型电动车更划算； (3)需要投入的费用是元 【分析】（1）根据题意求得和的值，根据“购车费+每公里耗能费×行驶公里数”分别求得和； （2）分，和，列式计算即可求解； （3）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：（元）， （元）， ， ； （2）解：令，则， 解得，选择B型燃油车更划算； 令，则， 解得，两种车型总费用相同，选择任意一种均可； 令，则， 解得，选择A型电动车更划算； （3）解：1、强制报废最大里程：60万公里，年均行程10万公里→使用年限：年， 2、保险费：5000元/年→总保险费：元， 3、保养费：120元/万公里→总保养费：元， 4、购车费：155000元， 5、能耗费：每公里0.09元，总里程60万公里→元， 总投入费用求和：元． 28．实验目的：探究新能源纯电动汽车续航里程与环境降温幅度的函数变化关系． 实验过程：选取两台不同的新能源纯电动汽车甲、乙，车辆满电初始续航里程均为，分别置于两套独立极寒舱内，设置冷却工况，模拟低温环境．极寒舱从初始常温匀速降低温度，记录不同降温幅度下车辆仪表显示剩余续航，探究低温对续航衰减的规律． 实验结论：当环境降温幅度较小时，低温不会造成续航衰减；当降温幅度超过临界值后，纯电动汽车续航随降温幅度增大逐步衰减；降温幅度达到饱和值后，剩余续航不再继续减少． 【建立模型】 极寒测试过程中，汽车甲、乙仪表显示的剩余续航与环境降温幅度之间的函数关系如图所示． 【解决问题】 (1)当降温幅度时，直接写出汽车甲、乙的剩余续航里程； (2)当时，求汽车甲剩余续航y关于降温幅度x的函数解析式； (3)当汽车甲降温幅度时，该车剩余续航为；若要让汽车乙的剩余续航同样等于，则汽车乙对应的降温幅度为，请求出m、n的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据函数图象可得答案； （2）当时，设汽车甲剩余续航y关于x的函数解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）求解，，当时，设汽车乙剩余续航关于x的函数解析式为．，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当降温幅度时，汽车甲、乙的剩余续航里程分别为：，． （2）解：当时， 设汽车甲剩余续航y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入， ， 解得：， ∴当时，汽车甲剩余续航y关于x的函数解析式为． （3）解：当时，， 当时， 设汽车乙剩余续航关于x的函数解析式为．（、为常数，且）， 将坐标和分别代入 ， 解得：， ∴当时， 汽车乙剩余续航关于x的函数解析式为， 当时， 解得：， ∴． 29．综合与实践 背景 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 素材1 工程师对某品牌的A款新能源汽车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电池能量为的两台A款新能源汽车同时充电，绘制了如图所示的电池能量（单位：）与充电时间（单位：h）之间的函数图象，其中线段表示用快充时与的函数关系；线段表示用慢充时与的函数关系． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电池能量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），充至电池能量达到． 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求小明家的A款新能源汽车本次充电共用多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时 【分析】（1）运用待定系数法去求解函数关系式即可； （2）可求慢充1小时后电量为，改为快充后，设还需要小时才能充到，由题意得，求出，即可求解总时间． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 把点、代入得， 解得 ∴与的函数关系式为； 设与的函数关系式为 把点、代入得， 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：把代入得， 改为快充后，设还需要小时才能充到， 由题意得，， 解得 ∴总时间为：（小时）， 答：小明家的电动车本次充电共用小时． 30．小明家购买了一辆新能源纯电动汽车，正面临家用充电桩与公共充电桩两种充电方式的选择，经过调研，他收集到以下信息： 方案 一次性安装费用/元 电费/（元/千瓦时） A 家用充电2800 0.55（综合平均价） B 公共充电0 1.12（含服务费均价） （注：家用充电桩需一次性安装费，公共充电站无需安装费，但电价含服务费） (1)请分别求出方案A和方案B的总费用（单位：元）关于充电量（单位：千瓦时）的函数关系式与； (2)已知该款车百公里耗电16千瓦时，预计小明家的车每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，通过计算说明哪种充电方案更合算． 【答案】(1)； (2)解：6年的总行驶里程为：（公里）， 6年的总充电量为：（千瓦时）， 当时，方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）， ， 方案A更合算. 【分析】（1）根据两种方案，分别列出函数关系式即可； （2）求出6年的总充电量，代入函数关系式，求出函数值，比较大小即可. 【详解】（1）解：根据题意得： 方案A的充电费用与充电量的函数关系式为：， 方案B的充电费用与充电量的函数关系式为： （2）略 31．某家庭计划购入新车，为了确定购买新车的能源类型，对同价位的A型纯电动车与B型燃油车的年度使用成本（仅考虑保险、保养、能耗三项）进行了调查，得到数据如下： A型纯电动车：年度保险费元，年度保养费元，每行驶电费元； B型燃油车：年度保险费元，年度保养费元，每行驶油费元． 设年度行驶里程为，A型纯电动车年度使用成本为元，B型燃油车年度使用成本为元． (1)分别写出，关于的函数解析式； (2)当行驶里程为多少千米时，购买A型纯电动车和B型燃油车的年度使用成本一样？ (3)该家庭决定购买用车成本更低的车型，如何根据年度行驶里程选择购买车辆的类型？ 【答案】(1)解：由题意可得：，， ，； (2)解：由题意可得：， 解得：， 答：当行驶里程为2800千米时，购买A型纯电动车和B型燃油车的年度使用成本一样. (3)解：①当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 答：当年度行驶里程大于2800千米时，A型纯电动车年度使用成本低，选择A型纯电动车；当年度行驶里程等于2800千米时，A型纯电动车年度使用与B型燃油车年度使用成本一样；当年度行驶里程小于2800千米时，B型燃油车年度使用成本低，选择B型燃油车 【分析】（1）根据A型纯电动车年度使用成本保险费保养费行驶所需的电费；B型燃油车的年度使用成本保险费保养费行驶所需的油费回答即可； （2）根据购买A型纯电动车和B型燃油车的年度使用成本一样列方程求解即可； （3）分三种情况回答即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 32．固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如表： 耗电时间x（小时） 0 12 20 28 … 显示的剩余电量y（） 100 76 60 44 … (1)根据如表，求显示的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的函数关系式； (2)如图呈现了该电池的剩余电量y（）与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段，两次实验的耗电速率恒定； ①结合（1）及图像信息：点B坐标为______，充电30分钟后显示的剩余电量y（）为______； ②当该电池显示剩余电量y（）的值为60时，求充电和第二次耗电过程中对应时间x（小时）． 【答案】(1) (2)①；；②当该电池显示剩余电量的值为60时，充电时对应时间为小时，第二次耗电对应时间为小时． 【分析】（1）由显示的剩余电量与耗电时间的关系为一次函数，设，用待定系数法即可解答； （2）①依据题意，由为，从而当时，，进而可以得解；由题意与平行，可求得段函数关系式为：，代入即可解答； ②根据前文得到的相关信息，分别求解即可． 【详解】（1）解：由显示的剩余电量与耗电时间的关系为一次函数，设， 把，代入得：， ， ； （2）解：①由题意，直线的解析式为， 当时，． 的坐标为． 由题意得与平行，设段函数关系式为：， 把代入得：， ． 段函数关系式为：． 令，得， 充电30分钟后显示的剩余电量为． ②充电时，半小时充电， 设充电小时后，到， 可得， 解得 小时， 充电后：， ， 当该电池显示剩余电量的值为60时，充电时对应时间为小时，第二次耗电对应时间为小时． 【类型5 一次函数与物理综合】 33．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示，小球滚动过程中的速度与时间之间的关系的图象如图②所示． (1)点A的坐标为________； (2)求所在直线的函数表达式； (3)当小球滚动时，求小球的速度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为， 当时，， 点A的坐标为； （2）解：设所在直线的函数表达式， 将和代入，得， 解得， 所在直线的函数表达式； （3）解：当时，， 小球的速度． 34．已知弹簧在其弹性限度内，它的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）的关系可表示为的形式，其中称为弹力系数，测得弹簧的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图所示．求长度（厘米）与所挂重物质量（千克）的函数关系式，并写出弹力系数． 【答案】与的函数关系式为，弹力系数． 【分析】把，；，代入中，即可得出答案． 【详解】解：把，；，代入中， 得， 解得， 与的函数关系式为，弹力系数． 35．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．小晨准备了若干个同种型号的玻璃杯，分别装进不同高度的自来水，用一根筷子分别敲击每个玻璃杯的杯口，同时用测音高的软件测量出频率，得到玻璃杯不同水位高度与振动频率之间的关系图象，如图所示． (1)求关于的函数表达式；（不写范围） (2)已知音阶“”的频率是，玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度是时，所使用的水量为；当水位每升高时，则所使用的水量增加．若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，则玻璃杯中应装水多少毫升？ 【答案】(1) (2)毫升 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求出的值，根据题意乘以20即可得． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点，代入得：， 解得， 则关于的函数表达式为． （2）解：将代入得：， 解得， ∴当玻璃杯中的水位高度为时，发出的音阶为， ∵当玻璃杯中的水位高度是时，所使用的水量为；当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴玻璃杯中应装水为， 答：玻璃杯中应装水毫升． 36．如图1是某物理实验装置的一部分，初始位置时，甲、乙两容器中的液面在同一水平线上，实验过程中测得乙容器中液体的总体积随着甲容器下方升降垫的升高先匀速增加，最后保持不变．设升降垫增加的高度为，乙容器中液体的总体积为，则与之间的函数关系如图2所示． 根据函数图象解答下列问题： (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)当乙容器中液体的总体积为时，求升降垫增加的高度． 【答案】(1) (2)升降垫增加的高度为 【分析】（1）设与之间的函数关系式为：，把，代入，再进一步求解即可； （2）把代入进一步求解即可. 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：. （2）解：当乙容器中液体的总体积为时， ∴， 解得：， ∴当乙容器中液体的总体积为时，升降垫增加的高度为. 37．某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 【答案】(1) (2)毫升 【分析】（1）先确定频率与水位高度满足一次函数关系，再由待定系数法求解即可； （2）先求出音阶为所对应的，再求出与的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：，再计算其余各组数据可得，每增加，大约减少，故频率与水位高度满足一次函数关系， 设， ∵； ∴ 解得 ∴频率与水位高度的函数关系式为； （2）解：当发出的音阶为，则， 则， 解得， 由题意得，， 当时，（毫升） 答：应该在玻璃杯中装毫升的水． 38．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 油温 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）________一次函数关系；（填“符合”或“不符合”） (2)根据以上判断，求关于的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)符合 (2) (3) 【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）符合一次函数关系； （2）解：设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； （3）解：当时， 答：推算沸点的温度为． 39．在一次物理实验课上，嘉嘉和琪琪一起探究弹簧长度与所挂物体质量之间的关系．她们把一根弹簧（最大承受质量）的上端固定，在其下方悬挂物体．下表记录的是弹簧长度（）与所挂物体质量（）的部分对应值． 所挂物体质量/ … 弹簧长度/ … 观察表中数据，解答下列问题： (1)不挂物体时，弹簧长度为________，当所挂物体质量为时，弹簧长度为________； (2)设所挂物体质量为（单位：），弹簧长度为（单位：）： ①物体质量每增加，弹簧长度增加________； ②请写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当所挂物体质量为时，弹簧长度为多少？ 【答案】(1)15； (2)①；② (3) 【分析】（1）直接读取表格数据可得结果； （2）① 根据表格即可解答； ②根据“弹簧长度原长伸长量”，列函数关系式即可； （3）将代入（2）②中函数关系式求解即可； 【详解】（1）解：根据表格可得，不挂物体即质量为时，弹簧长；质量为时，弹簧长； （2）解：① 观察表格：质量每增加，弹簧长度的增量恒为，因此增加； ②原长为，挂物体时增加， 因此得函数关系式； 结合题意，弹簧最大承受，质量不为负，因此自变量取值范围是； （3）解：将代入函数，得， 即弹簧长度为． 40．【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图1，在溢水杯中盛满液体，将一个质地均匀的长方体小铝块悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，缓慢浸入到液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 总结公式：①当小铝块位于液面上方时，． ②当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中发现：弹簧测力计的示数与小铝块下降的高度之间的关系如图2所示． 【解决问题】 (1)当小铝块位于液面上方时，弹簧测力计的示数______；当小铝块完全浸入液面下方时，弹簧测力计的示数______． (2)当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． (3)当小铝块受到的浮力为时，小铝块受到的拉力为______，弹簧测力计悬挂的小铝块下降的高度为______． 【答案】(1)6；3 (2)弹簧测力计的示数关于的函数解析式为 (3)4，8 【分析】（1）根据图形求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意求解即可． 【详解】（1）解：当小铝块位于液面上方时，浮力为0，拉力等于重力， 从图像看，时，； 当小铝块完全浸入液面下方时，排液体积不变，浮力不变，拉力稳定在； （2）解：设关于的函数解析式为， 将和代入得， 解得， ∴关于的函数解析式为； （3）解：根据，，， ∴， 将代入，得， 解得． 【类型6 一次函数相关行程问题】 41．图中的折线表示刘伟骑车离家的距离y与时间x的关系．他离开家，回到家．请你根据这个折线图回答下列问题： (1)何时刘伟离家最远？这时刘伟离家多远？ (2)何时刘伟开始第一次休息？休息多长时间？这时刘伟离家多远？ (3)刘伟骑了多少千米？ (4)刘伟在和的平均速度各是多少？ (5)刘伟返家时的平均速度是多少？ (6)时刘伟离家多远？回家路上，何时刘伟距家？ 【答案】(1)刘伟在期间离家最远，此时离家； (2)开始第一次休息，休息时长为30分钟，此时离家； (3)； (4)平均速度为，平均速度为； (5)； (6)时刘伟离家，回家路上，时刘伟距家． 【详解】（1）略； （2）解：时刘伟离家距离不再增加，开始第一次休息；到时继续骑行，休息时长为30分钟，此时离家； （3）解：时刘伟离家，时离家，这段时间骑行的距离为； （4）解：共1.5小时，骑行了，平均速度为； 共2小时，骑行的总距离是，平均速度为； （5）解：返家从开始，到家，总时长2小时，返程总路程，平均速度为； （6）解：时刘伟离家； 返程速度为，距家时，已经骑行的路程为， 对应的返程用时为小时小时44分钟， 因此时间为加1小时44分钟，即． 42．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，已知A、B两地相距，一辆货车从A地出发经C地匀速驶往B地，途中在C地装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地出发经C地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求图中m的值及轿车的速度； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)求出轿车行驶过程中，能否与货车同时到达B地？ 【答案】(1)； (2) (3)能 【分析】（1）根据速度路程时间，计算即可得出结果； （2）采用待定系数法，分段计算即可得出结果； （3）在中，当时，，求出的值即可得出结果． 【详解】（1）解：由图象可得，轿车的速度为， ∴； （2）解：①设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， 由图象可得； 设， ∵图象经过点和点， ∴， 解得， ∴， ∴综上所述，； （3）解：在中，当时，， 解得， ∴轿车在行驶过程中能与货车同时到达B地． 43．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图像． (1)，； (2)求甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式； (3)在乙车行驶过程中，当两车之间的距离为50km时，直接写出x的值． 【答案】(1)1，40 (2) (3)， 【分析】（1）结合题意，观察图象，根据路程、速度、时间的数量关系确定结果； （2）用待定系数法求函数解析式； （3）先求出乙车的函数解析式，再根据甲乙之间距离为50km，列方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵甲车途中休息了0.5h， ∴， 观察图象可知，甲车的行驶速度为：， 当时间时，行驶的路程为：； （2）解：观察图象可知，甲车休息后行驶路程y（km）与时间x（h）满足一次函数关系， 设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设， 将、代入得， 解得， ∴； ， 化简得， 解得，． 44．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】（1）根据图象直接求解即可； （2）先求出小明的速度，然后结合图象得出，即可确定点的坐标，再写出表示的实际意义即可； （3）根据题意得出爸爸的速度是（米分钟），然后分两段时间写出函数关系式即可； （4）根据题意直接计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 45．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)120； (2) (3)或或 【分析】（1）根据函数图象所给的信息可得答案； （2）求出大巴士交通管制停留后的速度，再用120加上大巴士交通管制停留后行驶的距离即可得到对应的函数解析式； （3）求出小巴士去目的地的速度和返回学校的速度，以及大巴士行驶过程中的速度，再分三种情况：大巴士交通管制停留前，两车相距、大巴士停留过程中，两车相距和大巴士交通管制停留后，两车相距，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，大巴士遇到交通管制时已经行驶了，因交通管制，在中途停留了； （2）解：大巴士交通管制停留后的速度为， ∴； （3）解：大巴士行驶过程中的速度为， ∴， 小巴士去目的地的速度为，返回学校的速度为， 小巴士去时的解析式：，小巴士返回解析式：， 当大巴士交通管制停留前，两车相距时，则，解得； 当大巴士停留过程中，两车相距时，则，解得； 当大巴士交通管制停留后，两车相距时，则， 解得； 或， 解得（舍去）； 综上所述，在大巴士到达目的地前，两车出发或或时，两车相距． 46．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)出发地到派送点的路程是__________米，小李在便利店停留了__________分钟； (2)快递员小李出发多长时间，距离派送点250米？ 【答案】(1)1500，4； (2)分钟. 【分析】（1）根据函数图象进行回答即可； （2）观察图象可知，距离派送点250米的时间在12至14分钟之间，求出这个时间段内小李的速度，再根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由图象可知：出发地到派送点的距离是1500米，小李在便利店停留了：（分钟）； （2）解：由图象可知，出发12分钟时，距离出发地600米， 出发12分钟后的速度为（米/分钟）， 设小李出发t分钟，距离派送点250米，根据题意列方程得 解得. 所以快递员小李出发分钟，距离派送点250米． 47．如图1，A，B两地之间有M，C两处景点，假期期间，佳佳与琪琪两家相约出行，分别从A，B两地同时出发，驾车前往C景点游玩．佳佳从A地驾车到达M景点，停留游玩后，保持原速度继续行驶到达C景点．琪琪从B地出发，先以的速度行驶，随后提速至原速的倍行驶至C景点，比佳佳早到佳佳、琪琪离C景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为_____________，_____________，_____________； (2)请求出琪琪加速后，与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当佳佳与琪琪之间的距离为时，求的值． 【答案】(1)800；240； (2) (3) 【分析】（1）由函数图像可知，，，然后结合图形求的长即可；再根据速度、时间、路程的关系以及图像即可确定a、b的值； （2）设琪琪加速前行驶了，则琪琪加速后行驶了，根据题意列方程可得，即琪琪加速前行驶了；再结合题意列出函数解析式即可； （3）先求得当佳佳与琪琪之间的距离为时，；再根据题意列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图像可知，，， ， 由题意得，佳佳一共花了到达景点，且驾车的时间为， ∴佳佳的速度为 ∴佳佳驾车的路程为 ， ∵琪琪比佳佳早到 ∴琪琪一共花了到达景点 ． （2）解：设琪琪加速前行驶了，则琪琪加速后行驶了， 由题意得，解得， ∴琪琪加速前行驶了 ∴琪琪加速前一共行驶了， ∴琪琪加速后，与的函数解析式为． （3）解：当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距； 当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距， 当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距， ∴当佳佳与琪琪之间的距离为时，， ，解得． 48．已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】先求出小时行驶路程为，再通过“速度路程时间”即可求解； 根据题意得当时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可； 分当，时，当时，当时，当时，当时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小张乘车从成都出发，先以行驶小时， ∴小时行驶路程为， ∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为（千米时）； 小李的速度为（千米时）； （2）解：如图，当时，小张第一次与小李相遇， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， ∴小张第一次与小李相遇时， 解得， 答：小张出发小时后，第一次与小李相遇； （3）解：如图， 当时，设小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 解得， ∴当时，小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 当时，设小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴，解得， ∴小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， ∵设备最大通讯距离为千米， ∴， ∴当，时， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ， 或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴通讯时间为（小时）； ∴通讯总时间为（小时）； 答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为小时． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $