精品解析：重庆市名校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联合考试数学试卷

重庆市名校联盟2025-2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2026届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 21 D. 27 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（ ） A. 64 B. 96 C. 128 D. 192 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值为 C. 在上单调递增 D. 若为偶函数，则最小值为 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ） A. t的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______． 13. 已知，则______． 14. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． （1）若，求； （2）若，且数列为递增数列，求． 16. 向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 17. 在中，角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，为边上一点，，求的面积． 18. 已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）当时，设的极大值是，求的最小值． 19. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市名校联盟2025-2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2026届） 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式即得集合B，然后利用并集定义求解即得. 【详解】，又， 所以. 故选：C 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再利用共轭复数的概念求得，进而由复数模计算公式求结果. 【详解】由题意，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 21 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【详解】因为，，， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 联立，解得， 所以的最小值为27. 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用诱导公式及二倍角余弦公式求得，再结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【详解】由，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（ ） A. 64 B. 96 C. 128 D. 192 【答案】D 【解析】 【分析】先根据求出数列的首项，再通过推导出数列的通项公式，最后将代入通项公式求出的值. 【详解】由题意，当时，，解得， 对于，由和，相减得：， 故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：， 因此，. 故选：D 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得， 即函数的定义域为， 又由函数当时，单调递减， 则不等式可化为， 可得不等式组，解得，即不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】求解函数不等式的方法： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 7. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得大小关系. 【详解】因为，故， 而， 而， 故， 故选：D. 8. 已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得、，构造并应用导函数研究其单调性，进而得，结合得，即可得. 【详解】由，可得，即， 由，可得，即， 令，则，故在上单调递增， 所以，则，即， 而，故，可得， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以，又，， 所以，所以， 所以向量与的夹角的余弦值为，故A正确；B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值为 C. 在上单调递增 D. 若为偶函数，则最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，看图求周期即可；对于选项B，先求出解析式，再求；对于选项C，先求出的减区间，再做出判断即可；对于选项D，求出为偶函数时的取值，进而求出最小值. 【详解】由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A选项错误； 由于，则，由图知， 所以该函数的一条对称轴为. 将代入得出，解得， 所以， 所以，故B选项正确； 令解得. 当时，在上单调递减，故C选项错误； 若为偶函数，则为偶函数， 所以,解得， 则当时，取最小值，最小值为，故D选项正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ） A. t的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出给定函数的图象，确定的范围判断A，结合正弦函数、对数函数图象可得判断B；再由，借助和的单调性求出取值范围从而判断CD. 【详解】函数的图象，如图： 对于A，函数的图象与直线交于4点，则，A正确； 对于B，由，得，而，即， 则，即，且，由，得或， 由，得，B错误； 对于C，，设，求导得， 函数在上单调递增，则，即，C正确； 对于D，，由， 得，则，， ，而对勾函数在上单调递增，则， 因此，所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】由题设，则， 且时，， 所以曲线在处的切线方程为，则. 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由，即可求值. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为： 14. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得， 所以函数关于直线对称，所以， 又因为函数关于点中心对称，所以， 所以，从而， 所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，，，． （1）若，求； （2）若，且数列为递增数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量的运算和等比数列通项公式基本量的运算列式求解公比，然后代入等比数列求和公式求解即可； （2）根据等比数列前n项和概念和等比数列通项公式基本量的运算求得公比，然后代入等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 ，①， 又，②， 由①②得：或（舍去）， 又，； 【小问2详解】 ， ，或， 又数列为递增数列，， 代入得， 又，. 16. 向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令得，，所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得， 或， 所以的取值范围是. 17. 在中，角的对边分别为，且的周长为． （1）求； （2）若，，为边上一点，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出，再求出的面积. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由为边上一点，及（1）得，且， 即有，则，解得， 所以的面积. 18. 已知函数，． （1）求的极小值； （2）若，． （ⅰ）讨论的单调性； （ⅱ）当时，设的极大值是，求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式求出单调区间，进而按照极值定义求解即可； （2）（ⅰ）求出导函数，按照、和分类讨论求解即可； （ⅱ）根据（ⅰ）求出的极大值是，利用导数求解其最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为，， 令得， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 故的极小值为. 【小问2详解】 （ⅰ），定义域为， ， 因为，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）可得当时，在上单调递减， 在，上单调递增； 故时，取得极大值，即， 则， 因为，所以， 令得，解得，即， 令得，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以的最小值为. 19. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，． 【答案】（1）， （2） （3） 由（2）可知，当时，. 设，， 则； 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以. 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后结合余弦函数性质求解导函数不等式即可求解. （2）先构造函数得，然后按照和分类讨论，研究函数单调性，进而分析的范围即可判断. （3）由（2）可知，当时，.设，， 利用导数法得在区间上单调递减，可得时，，可得，进而利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 当时，， 对求导得， 令，得，即， 解得，； 故函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 对求导得， 记，令，则， ，由得，所以函数在上单调递增， 所以的最大值为，所以， ①当时，， 所以在上单调递减，所以； ②当时，因为， 即，使得当时，， 则在上单调递增，所以，与矛盾. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $