8.1.1函数的零点（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

该高中数学课件聚焦函数零点概念、与方程解的关系及零点存在定理，通过“函数与方程关系”问题链导入，以二次函数为支架过渡到一般函数，帮助学生构建前后知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象素养，如由二次函数零点抽象出一般概念，例题用零点存在定理推理证明三次函数零点，练习结合图象判断零点个数。题型分类系统，小结提炼转化与数形结合方法，助力学生提升解题能力，方便教师教学实施。

8.1　二分法与求方程近似解 8.1.1函数的零点 苏教版2019高一数学（必修一）第八章 函数应用 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系. 2.了解零点存在定理，会判断函数零点的个数. 3.通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养. 情景导入 函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等关系成立的某种状态.我们可以从事物变化过程中考察某个状态，也可以通过对若干状态的考察来认识变化的过程，这样就产生了函数与方程的思想. 本节将着重研究函数与方程的关系. ● 函数与方程有什么关系? ● 如何运用函数的知识研究方程的解? 新知探究 前面我们学习过，使二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的值为0的实数 x 称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点.因此，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点就是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标. 一般地，我们把使函数 y＝f(x) 的值为0的实数 x称为函数 y＝f(x) 的零点. 因此,函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解.从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴交点的横坐标. 对于函数 f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点这个问题，可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决，我们还可以进行下面的思考： 如图，因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2，3] 上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2，3)上存在零点. 一般地,我们有函数零点存在定理: 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a) f(b) <0,则函数y=f(x) 在区间(a,b) 上有零点. 课本例题 例1 证明：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点. 解：因为 f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0， f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0. 且函数 f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(－2，－1)上存在零点. 例2 求证：函数 f(x)＝2x＋2x－3 有零点. 解： 因为f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0， f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0， 且函数 f(x) 在区间[0，1] 上的图象是不间断的，所以函数 f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数 f(x) ＝2x＋2x－3 有零点. 可通过画出函数 y=2和y=3-2.x的图象，大致判断零点的位置. 如果 x0 是二次函数 y＝f(x) 的零点，且 m＜x0＜n，那么 f(m)f(n)＜0一定成立吗? 思考 课本练习 1. 画出函数y＝x2＋x－2的图象，并指出函数y＝x2＋x－2的零点. 由题可知该函数为二次函数，表示的图象是抛物线，其中a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴 x＝－＝－，顶点坐标(－，－)，与x轴交点(－2，0)，(1，0)， 画出函数大致草图如： 由图象可知： 函数 y＝x2＋x－2 的零 点为 x＝1或 x＝－2. 2. 求下列函数的零点： (1) y＝2x＋3； 解 由 y＝0 得 2x＋3＝0，解得 x＝－，所以函数的零点是－. (2) y＝x2＋4x； 解 由 y＝0 得 x2＋4x＝0，解得 x＝0或 x＝－4，所以函数的零点是0或－4. 解 由 y＝0 得 3x－9＝0，解得 x＝2，所以函数的零点是 2. (3) y＝3x－9； (4) y＝log x. 解 由 y＝0 得 log x ＝0，解得 x＝1，所以函数的零点是 1 . 3. 已知数 f(x)＝3x－x2，那么方程 f(x)＝0 在区间[－1，0] 上有实数解吗?为什么? 解：方程f(x)=0在区间[-1,0]上有实数解 ∵函数f(x)=-x²在区间[-1,0]上连续，且 f(-1)= -1<0,f(0)=1-0=1>0 ∴函数f(x)= - 在区间[一1,0]上有零点 即方程f(x)=0在区间[一1,0]上有实数解 4. 证明：(1)函数 f(x) ＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点； 证明：方程 x2＋6x＋4＝0的判别式∆＝62－4×4 ＝20＞0， ∴方程 f(x)＝0 有两个不同的实数解， ∴ 函数 f(x)＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点. (2) 函数 f(x)＝x3＋3x－1 在区间(0，1)上有零点. 证明：∵ f(0)＝03＋3×0－1＝－1＜0，f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0， 且函数f(x)在区间[0，1] 上的图象是不间断的， ∴ f(x) 在区间 (0，1) 上有零点. 5. 函数 f(x)＝4x3＋x－15 在区间 [1，2] 上是否存在零点? 为什么? 解 函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2]上存在零点， ∵ f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0. ∴ f(1)f(2)＜0 又∵函数 f(x)＝4x3＋x－15的图象在区间[1，2]上是一条连续不断的曲线 ∴函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2] 上存在零点. 6. 求证：函数 f(x)＝2x＋x 在 R 上有零点. 证明∵f(x)=+x, ∴.f(-1)=-1=<0, f(0)= +0=1>0，∴f(-1)·f(0) <0, ∵函数f(x)= +x的图象是连续不断的， ∴由零点存在性定理得:函数f(x)= +x在区间(-1,0)上至少有1个零点， ∴函数f(x)= +x在R上有零点. 题型分类讲解 题型一　求函数的零点 1.(1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________. (2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为________. 解析　(1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1， ∴f(x)＝x2－2x－3的零点为3，－1. (2)由题意知f(2)＝4－2m－3＝0，∴m= 3，－1 2.函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_____________________. 解析　函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，等价于方程x2－mx＋3＝0有两个不等实根. (2)函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则实数m的取值范围为___________. 解析　法一　f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点， 则x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的实数根， 3.(1)若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________. (2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________. 解析　(1)∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2， ∴2a＋b＝0⇒b＝－2a， ∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1). 1，10 (2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10. 题型二　判断或证明函数零点的存在性 4.求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点. 证明　法一　∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)， ∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点. 法二　由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16， 又∵f(x)的图象在[－3，0]上是一条连续曲线， ∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点. 5.证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点. f(0)＝20＋0＝1>0， 且函数f(x)在R上的图象是不间断的，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点， 从而f(x)＝2x＋x在R上有零点. 题型三　函数零点个数问题 6.求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数. 解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0， 且f(x)在(0，1)上的图象是不间断的， ∴f(x)在(0，1)上必定存在零点. 又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数. 故函数f(x)有且只有一个零点. 法二　在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图. 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点. A.0 B.1 C.2 D.3 C 题型四　判断函数零点所在的区间 8.(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是(　　) A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1) C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞) A 解析　易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不间断的曲线， 又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点， 即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A. A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞) C 由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4). 9.根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) C 解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0. 由于f(1)f(2)<0， ∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)内. 课堂小结 1.理解2个知识点——零点的含义、零点存在定理 (1)在函数零点存在定理中，要注意三点：①函数的图象是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点. (2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.掌握2种方法 (1)转化法：函数的零点可转化为方程的根，还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标. (2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题. 3.规避1个误区 零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标. 即m＝eq \f(x2－3,x)＝x－eq \f(3,x)在(1，2)上有唯一实根， 即函数y＝m与y＝x－eq \f(3,x)的图象有唯一交点. ∵y＝x－eq \f(3,x)在(1，2)上递增，∴y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))， ∴m∈. ∴Δ＝m2－12>0，∴m>2eq \r(3)或m<－2eq \r(3). {m|m>2或m<－2} ∵－ax(2x＋1)＝0⇒x＝0，x＝－， ∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－eq \f(1,2). 0，－ 证明　∵f(－1)＝－1＝－<0， 解析　如图，在同一平面直角坐标系中画出y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)(x＞0，且x≠1)的图象，由图知y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)的零点有2个. 7.函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)的零点的个数是(　　) ∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq \f(3,2)－2＝－eq \f(1,2)<0， (2)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) 解析　∵f(x)＝－log2x， $