专题01三角函数及计算四类题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级下册

专题01 三角函数及计算四类题型 典例详解 类型一、锐角三角函数概念 类型二、特殊角的三角函数值 类型三、三角函数的计算 类型四、网格上的三角函数 压轴专练 类型一、锐角三角函数概念 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 例1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上性质． 令，得出，根据勾股定理求出，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解：令， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 变式1-1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式1-2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的性质证明，根据勾股定理，利用余弦的定义计算即可． 本题考查了余角的性质，勾股定理，余弦的定义，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 变式1-3．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 类型二、特殊角的三角函数值 解题需要熟背的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 例2．（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 变式2-1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式2-2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 类型三、三角函数的计算 例3．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 变式3-1．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 变式3-2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型四、网格上的三角函数 例4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 变式4-1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正切的定义、等面积法等知识点，灵活借助等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：分别过点A和点C作和的垂线，利用面积法求出垂线段的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：分别过点A和点C作和的垂线，垂足分别为M和N， 设正方形网格的边长为1，则， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：． 变式4-2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 1．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级下·山东·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查矩形的性质、求锐角三角函数值和勾股定理，熟练掌握以上知识点并运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分别讨论点在矩形的边和上两种情况． 【详解】第一种情况，当点在矩形的边上，如图所示， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 第二种情况，当点在矩形的边上，如图所示，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 故答案为：或3． 4．（25-26九年级上·福建·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，求一个角的正切值，平行线的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，证明为直角三角形，根据三角函数定义求出． 【详解】解：取格点E，连接、，如图所示： 根据图形可知：， ∴， ∵，，， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 故答案为：2． 6．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 7．（2024·广东·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先按乘方、零指数幂、特殊角三角函数、负指数幂进行运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，根据二次根式的性质化简，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键． 先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数值，以及二次根式的性质化简，再合并同类项即可； 根据特殊角三角函数值计算各项，再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 10．（25-26九年级上·山东威海·阶段练习）已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数及计算四类题型 典例详解 类型一、锐角三角函数概念 类型二、特殊角的三角函数值 类型三、三角函数的计算 类型四、网格上的三角函数 压轴专练 类型一、锐角三角函数概念 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 例1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，于点，，，的值为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）是直角三角形，，，则的长为 ． 类型二、特殊角的三角函数值 解题需要熟背的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 例2．（22-23八年级上·全国·期中）若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 变式2-1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）计算：． 类型三、三角函数的计算 例3．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 变式3-2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 类型四、网格上的三角函数 例4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 变式4-2．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 变式4-3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为 ． 1．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 2．（23-24九年级下·山东·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形中，，点在矩形的边上，且，连接，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·福建·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值是 ． 6．（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 7．（2024·广东·二模）计算： 8．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 9．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 10．（25-26九年级上·山东威海·阶段练习）已知是锐角，且． 求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $