精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数、根式的性质求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设，故，而， 所以. 故选：D 2. 海上丝绸之路的起点城市一泉州，有着丰厚的文化底蕴，作为国家级非遗的蟳埔女簪花围习俗，是福建博大精深的海洋文化“百花园”中的一朵香花．某机构随机调查了18位“簪花围”体验者对这一活动的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的下四分位数，则a的值不可能为（ ） A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 【答案】D 【解析】 【分析】首先可得这组数据的下四分位数为从小到大排列的第个数，即可得到的取值范围，即可判断. 【详解】因为，所以这组数据的下四分位数为从小到大排列的第个数， 依题意可得，所以不可能为. 故选：D 3. 椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为钝角转化为，求出四点坐标，用数量积的坐标公式得到关于，的不等式，不等式两边同时除以得到关于离心率的不等式，解不等式即可得到离心率的取值范围. 【详解】如图， 设椭圆的标准方程为，． 由题意，得，，， 则，． 因为为向量与的夹角，且为钝角， 所以，所以． 又，所以， 两边同时除以得，解得或， 因为，所以. 故选：A． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系和正弦的二倍角公式可求解. 【详解】因为，，可得， 所以， 所以. 故选：D. 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥的母线和高，根据侧面积公式得到方程，求出母线，进而求出圆锥的高，利用圆锥体积公式求出答案. 【详解】圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为，高为， 则，解得，由勾股定理得， 故圆锥的体积为. 故选：A 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义，及特殊三角函数值、任意角概念即可得答案. 【详解】由，则，但，不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 7. 设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围. 【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为， 当，则在定义域上递减，则， 此时，若，即时，最小值为； 若，即时，无最小值； 当，则在定义域上为常数，而，故最小值为； 当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值. 综上，. 故选：B 8. 函数的最小正周期为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，故选C． 【名师点睛】函数的性质： (1). (2)最小正周期 (3)由求对称轴. (4)由求增区间;由求减区间. 二、单选题（本大题共3小题） 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 复数为纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项. 【详解】因为，，则，，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，复数对应的点位于第四象限，故C错误； 为纯虚数，故D正确． 故选：AD. 10. 已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 抛物线C关于x轴对称 C. 过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D. 点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 11. 已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据令结合为奇函数推导即可；对B，根据结合为奇函数，再令推导即可；对C，求出判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得，进而判断即可. 【详解】对A，由，令可得，又为奇函数，故，，故A错误； 对B，由及可得， 又为奇函数，则，令则， 故.故B正确； 对C，由及可得，当时不成立，故C错误； 对D，由AB可得且周期为2，故，故，故D正确； 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题） 12. 是等比数列的前项和，已知，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得，即，求出的值，由题意再结合等比数列的定义即可求解. 【详解】， ，即， 因为，所以， 解得或， 又， 所以，即， 所以或-3. 故答案为：或. 13. 10个人分成甲､乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为______.（用数字作答） 【答案】210 【解析】 【分析】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组. 【详解】从10个人中选出4人为甲组，则剩下的人即为乙组，共有种分法. 故答案为：210. 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）利用余弦定理求解； （2）利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得： ，即， 因为，所以，则； 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由余弦定理得：，即， 解得，则； 【小问3详解】 由得：， 则， 所以， . 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. 17. 甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. （1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. （2）若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 【答案】（1） （2）分布列： X 2 4 5 最大值为 【解析】 【分析】（1）由甲选手恰好在第4局赢得比赛可得各场比赛结果，即可得答案； （2）由题可得X的值可能为2，4，5，据此可得分布列及，后由基本不等式结合二次函数单调性可得最大值. 【小问1详解】 若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； 【小问2详解】 因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. 18. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数m，n的值； （2）证明：当时，； （3）设a为实数，讨论函数的单调性. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可构造方程求得结果； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值可证得结论； （3）求导后，分别在和的情况下，根据正负可求得单调性. 【小问1详解】 由，知：； ，，，， ，，，. 【小问2详解】 由（1）知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. 【小问3详解】 由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年高三上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 海上丝绸之路的起点城市一泉州，有着丰厚的文化底蕴，作为国家级非遗的蟳埔女簪花围习俗，是福建博大精深的海洋文化“百花园”中的一朵香花．某机构随机调查了18位“簪花围”体验者对这一活动的满意度评分情况，得到如下数据：a，60，70，70，71，73，74，74，75，76，77，79，80，83，85，87，93，100．若a恰好是这组数据的下四分位数，则a的值不可能为（ ） A. 71 B. 72 C. 73 D. 74 3. 椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期为 A. B. C. D. 二、单选题（本大题共3小题） 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 复数对应的点位于第二象限 D. 复数为纯虚数 10. 已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为2 B. 抛物线C关于x轴对称 C. 过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D. 点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11. 已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 是等比数列的前项和，已知，则__________． 13. 10个人分成甲､乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为______.（用数字作答） 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. （1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. （2）若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 18. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. （1）求实数m，n的值； （2）证明：当时，； （3）设a为实数，讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $