4. 2 认识一次函数课堂 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一次函数核心知识，从函数关系式入手，系统梳理一次函数定义（强调k≠0、自变量次数1、常数项b），延伸至正比例函数（特殊形式b=0）及图像性质，构建从基础概念到特殊类型的递进式知识支架。 资料亮点在于考点卡片突出易错点辨析，分层练习（选择、填空、解答）结合定义理解与实际应用，答案解析详尽。通过定义辨析培养抽象能力，应用题型发展推理意识与运算能力，助力课中教学实施与课后学生查漏补缺。

认识一次函数课堂讲义 考点卡片 1 ．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y ＝x+9 时表示 y 是 x 的函数，若写成 x ＝ - y+9 就表示 x 是 y的函数． 2 ．一次函数的定义 ( 1）一次函数的定义： 一般地，形如y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数． ( 2）注意： ①由一次函数的定义可知：函数为一次函数，其解析式为y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0； 自变量的次数为 1 ；常数项 b 可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k ＝0 ，则y ＝b( b 为常数），此时它不是一次函数． 3 ．正比例函数的定义 ( 1）正比例函数的定义： 一般地，形如y ＝kx( k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k 是常数，k≠0 ，k 是正数也可以是负数． 知识拓展：( 2）正比例函数图象的性质 正比例函数y ＝kx( k 是常数，k≠0），我们通常称之为直线y ＝kx． 当 k＞0 时，直线y ＝kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，直线y =kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大而减小． ( 3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点( 1 ，k）的直线是y ＝kx( k 是常数，k≠0）的图象． 课堂巩固练习 一．选择题( 共 5 小题） 1 ．( 2025 春•上海校级月考）下列函数中为一次函数的是 ( ) A ．y B．y ＝kx+1( k 是常数） C ．y D．y ＝x2+2 2 ．( 2025 春•夷陵区期末）下列函数表达式中，y 是 x 的正比例函数的是 ( ) A ．y B ．y C．y ＝2x2 D．y2 ＝2x 3 ．( 2025 春•上海校级月考）下列函数是一次函数的是 ( ) A．y ＝kx+b B．y ＝2x+3 4 ．( 2025 春•让胡路区校级期末）下列函数中，属于正比例函数的是 ( ) A．y ＝2x+3 B ．y C．y ＝ - 0.4x D．y ＝x2 5 ．( 2025•项城市三模）如果y ＝x+2a - 1 是正比例函数，则 a 的值是 ( ) A ． B ．0 C ． D ． - 2 二．填空题( 共 5 小题） 6 ．( 2025 春•潜江期末） 已知函数y ＝( m - 1）x+m2 - 1 是正比例函数，则 m = . 7 ．( 2024 秋•大东区期末）若y ＝mx|m+1| - 2 是关于 x 的一次函数，则 m 的值为 ． 8 ．( 2025 春•渝北区期末）当 k＝ 时，关于 x 的一次函数y ＝( k - 2）x - 4+k2 又是正比例函数． 9 ．( 2025 春•雨花区校级期末） 已知正比例函数y ＝( m - 1）x|m| ，则 m 的值为 ． 10 ．( 2025 春•铁西区校级月考）当 m ＝ 时，函数 y ＝5x+3m+6 是正比例函数，此时 x ＝6 时，z =y2 - 2y+3 中 z 的值： ． 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•东莞市期中） 已知y 与 x 成正比例，且 x ＝ - 2 时，y ＝6． ( 1）求y 与 x 之间的函数表达式； ( 2）若点( a ， - 3）在这个函数的图象上，求 a 的值． 12 ．( 2025 春•紫阳县校级月考） 已知y 关于 x 的函数解析式是y ＝2x+m - 4． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； 学科网（北京）股份有限公司 ( 2）若 m ＝5 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 13 ．( 2025 春•宁乡市期末） 已知y 关于 x 的函数y ＝4x+m - 3． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； ( 2）若 m ＝7 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 14 ．( 2025 春•咸阳月考） 已知函数y ＝( m+3）x|m| - 2+2m 是一次函数，求 m 的值． 15 ．( 2025 春•虞城县期末） 已知y 关于 x 的函数解析式为y ＝3x - 2m+1( m 为常数）． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； ( 2）若 m ＝5 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题( 共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B C A 一．选择题( 共 5 小题） 1 ．( 2025 春•上海校级月考）下列函数中为一次函数的是 ( ) A ．y B．y ＝kx+1( k 是常数） C ．y D．y ＝x2+2 【答案】C 【分析】根据形如y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的函数为一次函数，逐一分析可得答案． 【解答】解：A，y 不符合y ＝kx+b( k≠0），该选项不是一次函数，不合题意； B，y ＝kx+1( k 为常数），不符合y ＝kx+b( k≠0），不一定是一次函数，不合题意； C．y 即y x ，符合y ＝kx+b( k≠0），是一次函数，该选项是一次函数符合题意； D，y ＝x2+2 不符合y ＝kx+b( k≠0），该选项不是一次函数，不合题意故选：C． 2 ．( 2025 春•夷陵区期末）下列函数表达式中，y 是 x 的正比例函数的是 ( ) A ．y B ．y C．y ＝2x2 D．y2 ＝2x 【答案】B 【分析】形如y ＝kx+b( k、b 为常数，k≠0）的函数叫一次函数，当 b ＝0 时，函数也叫正比例函数．根据正比例函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A 、y 中分母含自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B 、y 是正比例函数，故本选项符合题意； C、y ＝2x2 中自变量的次数为 2 次，不是正比例函数，故本选项不符合题意； D 、y2 ＝2x 中因变量的次数为 2 次，不是正比例函数，故本选项不符合题意；故选：B． 3 ．( 2025 春•上海校级月考）下列函数是一次函数的是 ( ) A．y ＝kx+b B．y ＝2x+3 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，即可判断． 【解答】解：A、y ＝kx+b ，当 k ＝0 时，不是一次函数，故不符合题意； B、y ＝2x+3 是一次函数，故符合题意； C、y 不是一次函数，故不符合题意； D 、y x2 − x不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 4 ．( 2025 春•让胡路区校级期末）下列函数中，属于正比例函数的是 ( ) A．y ＝2x+3 B ．y C．y ＝ - 0.4x D．y ＝x2 【答案】C 【分析】一般地，形如y ＝kx( k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y ＝2x+3，y y ＝x2 不符合正比例函数的定义，它们不是正比例函数， y ＝ - 0.4x 符合正比例函数的定义，它是正比例函数，故选：C． 5 ．( 2025•项城市三模）如果y ＝x+2a - 1 是正比例函数，则 a 的值是 ( ) A ． B ．0 C ． D ． - 2 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义可知 2a - 1 ＝0 ，从而可求得 a 的值． 【解答】解： ∵y ＝x+2a - 1 是正比例函数， ∴2a - 1 ＝0． 解得：a 故选：A． 二．填空题( 共 5 小题） 6 ．( 2025 春•潜江期末） 已知函数y ＝( m - 1）x+m2 - 1 是正比例函数，则 m ＝ - 1 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】 由正比例函数的定义可得 m2 - 1 ＝0 ，且 m - 1≠0． 【解答】解： 由正比例函数的定义可得：m2 - 1 ＝0 ，且 m - 1≠0， 解得：m ＝ - 1， 故答案为： - 1． 7 ．( 2024 秋•大东区期末）若y ＝mx|m+1| - 2 是关于 x 的一次函数，则 m 的值为 - 2 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于 0 即可求解． 【解答】解：根据题意得：m≠0 且|m+1| ＝1， 解得：m ＝ - 2． 故答案为： - 2． 8 ．( 2025 春•渝北区期末）当 k＝ - 2 时，关于 x 的一次函数y ＝( k - 2）x - 4+k2 又是正比例函数． 【考点】一次函数的定义；正比例函数的定义． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义可知k - 2≠0 ， - 4+k2 ＝0 ，从而可解得k 的值． 【解答】解： ∵关于 x 的一次函数y ＝( k - 2）x - 4+k2 又是正比例函数， ∴k - 2≠0 ， - 4+k2 ＝0．解得：k＝ - 2． 故答案为：k＝ - 2． 9 ．( 2025 春•雨花区校级期末） 已知正比例函数y ＝( m - 1）x|m| ，则 m 的值为 - 1 ． 【答案】 - 1． 【分析】根据 x 的次数为 1 、系数不等于 0 列式计算即可． 【解答】解：根据 x 的次数为 1 、系数不等于 0 列式得|m| ＝1 ，m - 1≠0， 解得 m ＝ - 1． 故答案为： - 1． 10 ．( 2025 春•铁西区校级月考）当 m ＝ - 2 时，函数y ＝5x+3m+6 是正比例函数，此时 x ＝6 时，z = y2 - 2y+3 中 z 的值： 843 ． 【答案】 - 2 ，843． 【分析】先根据正比例函数的定义求出 m ＝ - 2 ，再把y ＝5x 代入 z＝y2 - 2y+3 ，整理后把 x ＝6 代入计算即可． 【解答】解： ∵函数y ＝5x+3m+6 是正比例函数， ∴3m+6 ＝0， 学科网（北京）股份有限公司 ∴m ＝ - 2， ∴y ＝5x， ∴z＝y2 - 2y+3 =( 5x）2 - 2×5x+3 =25x2 - 10x+3， 当 x ＝6 时， y ＝25×62 - 10×6+3 ＝843．故答案为： - 2 ，843． 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•东莞市期中） 已知y 与 x 成正比例，且 x ＝ - 2 时，y ＝6． ( 1）求y 与 x 之间的函数表达式； ( 2）若点( a ， - 3）在这个函数的图象上，求 a 的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】( 1）首先设y ＝kx ，再把 x ＝ - 2，y ＝6 代入，可得k 的值，进而可得函数解析式； ( 2）把点( a ， - 3）代入函数解析式可得答案． 【解答】解：( 1） ∵y 与 x 的成正比例， ∴设y ＝kx， ∵x ＝ - 2 时，y ＝6， ∴6 ＝ - 2k， 解得：k＝ - 3， ∴y 与 x 之间的函数表达式为：y ＝ - 3x； ( 2） ∵点( a ， - 3）在这个函数的图象上， ∴ - 3 ＝ - 3a， 解得：a ＝1． 12 ．( 2025 春•紫阳县校级月考） 已知y 关于 x 的函数解析式是y ＝2x+m - 4． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； ( 2）若 m ＝5 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 【答案】( 1）m ＝4； ( 2）( - 0.5 ，0）． 【分析】( 1）根据正比例函数的定义可知 m - 4 ＝0 ，求出解即可； ( 2）先求出函数的解析式，令y ＝0 可得答案． 【解答】解：( 1） 由条件可知y 是 x 的正比例函数， ∴m - 4 ＝0， 解得 m ＝4； ( 2）当 m ＝5 时，函数的解析式为y ＝2x+1． 令y ＝0 ，得 2x+1 ＝0 ，解得 x ＝ - 0.5， ∴当 m ＝5 时，该函数图象与 x 轴的交点坐标为( - 0.5 ，0）． 13 ．( 2025 春•宁乡市期末） 已知y 关于 x 的函数y ＝4x+m - 3． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； ( 2）若 m ＝7 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】( 1）根据正比例函数的定义即可得出 m 的值； ( 2）当 m ＝7 时，函数为一次函数，令y ＝0 ，即可得出图象与 x 轴的交点坐标． 【解答】解：( 1） ∵y 关于 x 的函数y ＝4x+m - 3，y 是 x 的正比例函数， ∴m - 3 ＝0， 解得 m ＝3； ( 2）当 m ＝7 时，该函数的表达式为y ＝4x+4， 令y ＝0 ，得 4x+4 ＝0，解得 x ＝ - 1， ∴当 m ＝7 时，函数图象与 x 轴的交点坐标为( - 1 ，0）． 14 ．( 2025 春•咸阳月考） 已知函数y ＝( m+3）x|m| - 2+2m 是一次函数，求 m 的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用一次函数的定义可得|m| - 2 ＝1 且 m+3≠0 ，解得 m 的值即可． 【解答】解： 由题意得|m| - 2 ＝1 且 m+3≠0， 解得：m ＝3． 15 ．( 2025 春•虞城县期末） 已知y 关于 x 的函数解析式为y ＝3x - 2m+1( m 为常数）． ( 1）若y 是 x 的正比例函数，求 m 的值； ( 2）若 m ＝5 ，求该函数图象与 x 轴的交点坐标． 【答案】( 1）m ( 2）( 3 ，0）． 【分析】( 1） 由y 是 x 的正比例函数，可得 - 2m+1 ＝0 ，再进一步求解即可； ( 2） 由 m ＝5 ，可得y ＝3x - 9 ．令y ＝0 ，即 3x - 9 ＝0 ，从而可得答案． 【解答】解：( 1） 由条件可知 - 2m+1 ＝0， 解得m ( 2） ∵m ＝5 ，则y ＝3x - 9． 令 3x - 9 ＝0，解得 x ＝3， ∴该函数图象与 x 轴的交点坐标为( 3 ，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $