专题02 二次函数的应用（专项训练）数学湘教版九年级下册

专题02 二次函数的应用 题型一、二次函数图形问题 1．如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最小值为 ． 2．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 3．如图，在矩形中，四点依次是边，，，上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），． (1)求S关于x的函数表达式． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 4．【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，点E、F分别在边上（点E不与A、B重合，点F不与A、D重合），且，点G为边的中点，分别连接，设，五边形的面积为S，求S与t之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）如图2，在菱形中，，，点P是菱形内一点，连接，，点E、F分别在边上，连接，，设的长为x，四边形的面积为y． ①求y与x之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 5．九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实验活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒 (1)初步探究，制作一个底面积为的无盖纸盒，需要剪掉的小正方形边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪掉的小正方形的边长：如果没有，请说明理由． 题型二、二次函数动态几何问题 6．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 7．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 8．如图，中， ， ，点P、Q分别在边和边上，其中．过点P作的垂线l交于点R，作关于直线l对称的图形，得到． (1)若点恰为的中点，则 ；当时，与组合而成的轴对称图形的形状是 ． (2)若，则 ①当a为何值时，点恰好落在上？ ②若记与重叠部分的面积为S（），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 10．在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 0 1 2 4 0 3 4 0 12．如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 13．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 题型三、二次函数拱桥问题 14．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 15．如图，以储水池的坝顶平台所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道． (1)求抛物线L的解析式； (2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线，最低点位置不变，求抛物线上水平宽的最大值． 16．某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 17．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 18．我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形． (1)直接写出该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_____（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长5m、高2.4m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 19．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 20．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 题型五、二次函数角度问题 21．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 23．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 24．如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 题型五、二次函数喷水问题 27．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 28．某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 29．背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 30．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 31．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 32．户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 33．综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 34．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 题型六、二次函数投球问题 35．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 36．如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 37．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 38．佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 39．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 40．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1 2.5 3 2.5 1 请根据以上数据，解决问题： ①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______m； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是______． 41．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 42．如图，轴上依次有六个点，且，从点处向右上方沿抛物线发出一个发光的点． (1)在图中补画出轴； (2)当点与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________； (3)在轴上从左到右有两点，且，从点向上作垂直轴，且，在沿轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点能落在（包括端点）上，请写出点横坐标的最大值与最小值． 题型七、二次函数线段、周长问题 43．如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 44．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，且点横坐标为． ①连接，，求面积的最大值； ②过点作轴，垂足为，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为．记，求关于的函数解析式． 45．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标． 46．如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 47．在平面直角坐标系中，抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 题型八、二次函数图形面积问题 48．许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．点、的坐标分别是． (1)直接写出点B的坐标； (2)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）； (3)如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 49．如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有 51．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 52．如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 53．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． (3)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (4)连接，若的面积恰好等于面积的，请求出此时点F的坐标． 题型九、二次函数特殊三角形 54．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 55．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 56．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 57．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十、二次函数特殊四边形 58．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 59．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 61．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 62．已知二次函数，点． (1)若点P在二次函数的图象上，求m的值； (2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； (3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 63．我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 64．如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 题型十一、二次函数相似三角形问题 65．如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 66．【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 67．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，其中点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接交直线于点．点是轴上一点，点是直线上一点，连接．当最大时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 68．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． 图1                       图2 (1)求a，b的值； (2)如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使，P是x轴上一点，且在点B的右侧，，过点M作，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使，若，求直线BF的解析式． 69．【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 70．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、y轴分别交于点A和点，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式； (2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为．轴交直线于点E，点F在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值； (3)M是平面内一点，将绕点M沿逆时针方向旋转后，得到，点A、、B的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点的横坐标． 71．问题探究 （1）如图1，在直角梯形中，，截取，连接，，已知，，． ①求五边形的面积关于的函数解析式； ②当为何值时，； 问题解决 （2）如图2，四边形是一片花海，其中，，，，，，为方便游客观赏，分别在，上取点，，沿，，修建三条步道，根据设计思路，，的面积为，写出与之间的函数关系式，并求出取最小值时的值． 72．综合与实践 项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究 调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为． 解决问题： (1)请直接写出点，的坐标； (2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）； (3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标． 73．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 74．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 75．某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 76．综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ (2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) (3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 仔浩初次投篮时不能命中篮筐． 不能命中篮筐； 77．为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 78．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 79．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 80．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 81．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 82．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． (3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 试卷第2页，共205页 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用 题型一、二次函数图形问题 1．如图，正方形的边长为5，E为上一动点，连接，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，勾股定理求出的长，根据，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为5， ∴，， ∴， 过点D作交于点Q，交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当时，的值最小，为； 故答案为：． 2．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．    (1)设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为 ； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积为最大？最大面积多少平方米？ 【答案】(1) (2)当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）根据图形可知，用篱笆的周长减去3个长即可； （2）设围成的花圃面积为y，根据长方形的面积求出二次函数的解析式，再根据求出x的范围，再根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：的长可用含的代数式表示为． 故答案为：； （2）解：设围成的花圃面积为y， 依题意，得， ， ， ， 当时，y有最大值，y最大． 即当的长是米时，围成的花圃面积为最大，最大面积为平方米 3．如图，在矩形中，四点依次是边，，，上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），． (1)求S关于x的函数表达式． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是； (2)当时，S的值最大，S的最大值为． 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键． （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到S与x的函数关系，并写出x的取值范围． （2）通过对函数关系式配方，化为顶点式，求出函数的对称轴，对称轴在自变量的取值范围内，在对称轴处取得最值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ． ∴S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是； （2）∵，，抛物线开口向下， ∴当时，． ∴当时，S的值最大，S的最大值为． 4．【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，点E、F分别在边上（点E不与A、B重合，点F不与A、D重合），且，点G为边的中点，分别连接，设，五边形的面积为S，求S与t之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）如图2，在菱形中，，，点P是菱形内一点，连接，，点E、F分别在边上，连接，，设的长为x，四边形的面积为y． ①求y与x之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点G为边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可． （2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解． ②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6， ， ， ，， ∵点G为边的中点， ， ， ， ， ∴五边形的面积 ． 即． （2）①如图，过点P作， 在菱形中，，，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， 即． ②∵， ∴，则最小时，最小， 当时，最小，此时，点共线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实验活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒 (1)初步探究，制作一个底面积为的无盖纸盒，需要剪掉的小正方形边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪掉的小正方形的边长：如果没有，请说明理由． 【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为9cm． (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为，此时剪掉的小正方形的边长为10cm． 【分析】（1）分析题目找出等量关系，列方程即可解答． （2）侧面积为四个矩形面积和，二次函数，通过顶点式求最值． 【详解】（1）解：设剪掉的小正方形边长为，由底面积公式得： ， 解得，，， 当时，，不符合题意，舍去， 答：剪掉的小正方形边长为． （2）解：设剪掉的小正方形边长为，侧面积， ， ，抛物线开口向下， 故当时， 最大值为800． 折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为，此时剪掉的小正方形的边长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的最值问题，熟练掌握根据几何图形关系建立方程或函数模型，利用方程求解、二次函数顶点式求最值是解题的关键． 题型二、二次函数动态几何问题 6．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 7．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)x (2)或 x= 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据题意得到，，则，然后根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分和两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； （2）解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或， 当或时，和 相似． 8．如图，中， ， ，点P、Q分别在边和边上，其中．过点P作的垂线l交于点R，作关于直线l对称的图形，得到． (1)若点恰为的中点，则 ；当时，与组合而成的轴对称图形的形状是 ． (2)若，则 ①当a为何值时，点恰好落在上？ ②若记与重叠部分的面积为S（），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围． 【答案】(1)2，等腰三角形 (2)①；②． 【分析】此题考查了对折的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）根据是的中点，证得D是的中点，然后根据对折的性质得出的长；根据三角形中位线的性质即可求得结论； （2）①过作，由于与关于直线l对称，，得出，，然后解直角三角函数即可求得；②与重叠部分有两种情况分别讨论求得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵是的中点，， ∴D是的中点， ∴， 根据对折的性质：； 如图2， ∵， ∴Q、P分别是的中点， ∵， ∴， ∴R是的中点， ∴， ∴， ∴Q、R、在一条直线上， ∴与组合而成的轴对称图形的形状是等腰三角形； 故答案是：2；等腰三角形； （2）①过点作（如图①） ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴ 即， 解得 ②（Ⅰ）当时，重叠部分为△（如图②） ∵ ∴，即 ∴，即（） （Ⅱ）当时，重叠部分为（如图③） ∵，， ∴， ∴ ， ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 即（）． ∴． 9．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 10．在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；当时，S有最大值，最大值为； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可用含t的式子表示出线段的长，进而可得线段的长； （2）求出的面积，根据列出对应的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）由线段垂直平分线的性质得到，则由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，； （2）解：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：当点P在线段的垂直平分线上时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴当时，点P在线段的垂直平分线上． 11．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 12．如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点P在上时，；当点P在上时，； （2）当点P、Q相遇时，，求出相遇时t的值，然后分两种情况讨论：当点P在上时，，，；当点P在上时，，，，分别求出关系式即可； （3）当点P在上时，令；当点P在上时，令，分别解方程即可． 【详解】（1）解：分以下两种情况： 当点P在上时，根据题意得， ∴； 当点P在上时，根据题意得， ∴． 综上，或； （2）解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， 当点P、Q相遇时，， 解得， 分以下两种情况： 当点P在上时，， 根据题意得，，， ； 当点P在上时，，，， ． 综上所述，S与t的函数关系式为； （3）解：当点P在上时，令， 解得或； 当点P在上时，令， 解得（不符合舍去）， 综上，t的值为或． 13．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为． (1)当__________时，为直角三角形； (2)若点在的平分线上，求的值． (3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）证明，由此构建方程即可解决问题． （3）证明，得，得出，根据得二次函数关系式，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴时，是直角三角形． 故答案为：2； （2）解：是等边三角形，四边形为平行四边形 若点F在的平分线上，则平分 ， ， ， 由已知可得， 在中得出， ， ，， ， 解得， （3）解：过点P作平行于，交于点G，如图示， 是等边三角形， ∴， 是等边三角形 ， ， ， ∵， ∴, 又, ∴， ´ ∴， ∴抛物线开口向下， ∵ ∴当时，最大值． 题型三、二次函数拱桥问题 14．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便． 根据所建坐标系，易求、、的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度长． 【详解】解：由题意得，抛物线过点、、， 设， 把代入， 得， 解得， ． 令得， ， 门的高度约为． 故选：B． 15．如图，以储水池的坝顶平台所在直线为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系．水池蓄水部分为抛物线 ，平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米．背水坡向上有一条抛物线形坡道． (1)求抛物线L的解析式； (2)现对水池蓄水部分进行修建，将抛物线L调整为虚线部分的抛物线，最低点位置不变，求抛物线上水平宽的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线的顶点纵坐标为，可设抛物线的解析式为，把代入即可解答； （2）把代入，求得点的坐标，即可求得点关于直线的对称点为，即可解答． 【详解】（1）解：平行于x轴的水面到x轴的距离为2米，储水池最低点处水深为3米， 抛物线的顶点纵坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入， 可得， 解得（负值舍去）， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ， 点关于直线的对称点为， 抛物线上水平宽的最大值为． 16．某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图（1），在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，．如图（2），在比例图上，以直线为轴，抛物线的对称轴为轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． (1)求图（2）中这条抛物线的解析式； (2)如果与的距离，求该大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】(1) (2)该大桥拱内实际桥长为388米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际问题，待定系数法求二次函数的解析式， 掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）结合图形，写出A，B，C三点的坐标，根据抛物线的顶点坐标为， 可设解析式为，再代入点，求出的值，可得抛物线的解析式； （2）根据，求出当时，方程的解， 由求出的长，再根据比例尺求出该大桥拱内实际桥长． 【详解】（1）解：由图知，该抛物线经过点，，， 点为抛物线的顶点， 可设， 代入点，得， 解得， 图（2）中这条抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解方程得，， （）． 根据大桥截面的比例为，可得（）． 该大桥拱内实际桥长为388米． 17．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． /米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 /米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.6 0.88 经过测量，得出了和的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，通过观察发现是关于的 ． （1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 米； （2）求与之间的函数关系式； （3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5，宽为1.5，露出水面高度为1.88的游船．为安全起见，公园要在水面上的两处设置警戒线，并且，要求游船能从两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为多少米． 【答案】图象见解析；二次函数； （1）0.88；（2）；（3）米 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一元二次方程的应用，解决本题的关键是求解出二次函数关系式． 将表格中对应的点在坐标系下描出，可发现该函数图象为抛物线，由此可得是关于的二次函数． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． 【详解】解：图象如下： 由此可得是关于的二次函数． 故答案为：二次函数． （1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米． 18．我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点B的坐标为．若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形． (1)直接写出该二次函数的表达式． (2)判断此纯电货车_____（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． (3)为确保在车棚内能容纳长5m、高2.4m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)抬起的高度至少需要大于米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解； （3）设提高n米，则新抛物线的表达式为：，由题意得，车最左上端对应中的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故纯电货车能完全停到车棚内， 故答案为：能； （3）设提高n米， 则新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端对应中的横坐标为， 当时，，则符合要求， 当时，， 则， 故抬起的高度至少需要大于米． 19．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 20．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 题型五、二次函数角度问题 21．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 22．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图2，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将代入解析式计算得出，即可得解； （2）先求出，结合题意可得，作轴于，设，则，求出，，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限内抛物线上找点，使， ∴， 如图，作轴于， 设，则 ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意）， 经检验，是所列分式方程的解且符合题意，此时， ∴． 23．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 24．如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可得解； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、， ， 解得， 抛物线的解析式为。 （2）解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ，，， ∴,，， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）根据以及抛物线的对称轴是直线，再建立方程组求解即可． （2）如图，连接，过作轴交于，当最大时，最大，求解直线为：，设，则，可得当时，的面积最大，此时最大，，求解，如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点，可得当三点共线时，，此时最小，最小，再进一步求解即可． （3）求解新抛物线为，结合，如图，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，此时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为： ，即， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，线段最值问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点Q，点M，N分别是y轴、抛物线对称轴上一动点，且轴，连接，．当取最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接，点T为抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)：或 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可． （2）如图，延长交轴于，证明，可得，求解直线为，设，利用二次函数的性质求解，连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可． （3）求解平移后的抛物线为：，证明，此时重合，如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，求解直线为：，进一步可得，同理可得： 直线为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，   与y轴交于点C． ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：如图，延长交轴于， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 设， 则，， ∴ ， 当时，增大， ∴， 连接，而直线为，抛物线的对称轴为直线， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 最小值为：． （3）解：∵， 抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，使抛物线经过点P， ∴平移后的抛物线为：， 抛物线的对称轴为直线：， ∴，此时重合， 如图，过作交的延长线于，交的延长线于，过作轴于，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得：， 直线为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，线段和的最值问题，全等三角形的判定与性质，求解两个函数的交点坐标，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型五、二次函数喷水问题 27．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 28．某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 29．背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，；喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米（2）优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点式，待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握数形结合的数学思想． （1）假设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，然后根据函数解析式的性质求出抛物线与横轴的交点坐标即可； （2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，根据函数的性质求出抛物线与横轴的坐标，然后进行求比值即可． 【详解】解：（1）根据题意得，假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为，； 当时，， 解得，（负值已舍） ∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米； （2）根据抛物线得，设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得，， ∵， ∴得， 解得（负值已舍去）， 代入①得， ∴优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴接近黄金比， ∴该小组所设计喷泉的达到美观效果． 30．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 31．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数 (1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； (2)若着火点A高出地面． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______． 【答案】(1)点B的坐标为， (2)①抛物线的解析式为：，对称轴为直线；②， 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， 点B的坐标为， 抛物线L的解析式为经过点， ， 整理得：； （2）①着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ， ， 由（1）得， 抛物线的解析式为：， 水流恰好经过着火点A， 代入得：， 解得：， ， 抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ②消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， 当抛物线经过点时， ， 解得：； 当抛物线经过点时， ， 解得：， 综上可得：， ，， 随b的增大而增大， 当时，c取得最小值为， 的最小值为 故答案为：， 32．户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 【答案】(1)， (2)粘贴的胶带没有被水流喷到的风险，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为，得出，求出，从而得出答案即可． 【详解】（1）解：设山坡的函数表达式为． 过点， ，解得． 山坡的函数表达式为． 点． 右侧拋物线上点的对称点为． 设轴右侧抛物线的函数表达式为． 解得 轴右侧抛物线的函数表达式为． （2）解：粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 理由如下： 设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为， 粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 33．综合与实践 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米． (1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由； (3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质解决具体问题是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可得到答案； （2）将代入中，求出即可判定； （3）由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，将、代入求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入上式，得， 解得， 则抛物线的函数表达式为； （2）解：存在， 理由如下： 将代入中， 得， ， 消防喷淋头喷洒时存在安全隐患； （3）解：将代入中， 得， 解得，， 即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为和， 设， 记顶点为的抛物线为，顶点为的抛物线为， 由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为， 将代入中， 得， 解得（舍去），， 将代入中， 得， 解得（舍去）， ， 综上所述，. 34．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)水流不经过着火点B，比着火点B高出2米；理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）直接求出平移后的解析式，然后代入当时，，求出水流比着火点B高出2米； （3）设抛物线的解析式为：，代入点，，求出，进而根据对称轴，求出即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； （2）解：若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当时，，即水流过点， ， 答：水流不经过着火点B，比着火点B高出2米； （3）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 整理得：， ∵若水流在高度下降之前到达A处着火点， ∴， ∴， 解得： ∴； 若水流在高度下降之前到达A处着火点， 的取值范围为． 题型六、二次函数投球问题 35．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 【答案】(1) (2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． 【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 36．如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． (1)求与的函数关系式； (2)足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】(1) (2)足球能越过人墙，能直接射进球门，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【详解】（1）解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； （2）解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 37．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点和点处，测得距离为．若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面的点处将沙包抛出，小林在点处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中．轨迹中，测得沙包的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 竖直高度 1.0 2.5 3.0 2.5 1.0 请根据以上数据，解决问题： (1)①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______； ②求与满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内接到了沙包，则的取值范围是______． 【答案】(1)（1）①3；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论；②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是，把这两点代入函数解析式分别得到和，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为， ∴抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3m， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 故与满足的函数解析式． （2）∵小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包， ∴此时，接球位置的坐标范围是， 当经过点，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴b的取值范围是． 故答案为：． 38．佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 39．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为，然后运用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，然后用待定系数法求得直线的表达式，然后求得点的纵坐标以及时足球的高度，最后求得答案； （3）建立新的函数，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得； ， 将代入中，得， ∴足球到模拟人墙顶端的距离为：米； ②设足球飞行过程中距斜坡的铅直高度为，则 ∵， ∴有最大值，当时，的最大值为， ∴足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度为． 40．如图，小林和小伟在玩沙包游戏．沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小林和小伟分别站在点O和点A处，测得距离为．若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小伟在距离地面1的B处将沙包抛出，小林在点C处接住，运动轨迹如图中；然后小林跳起将沙包回传，运动轨迹如图中． (1)轨迹中，测得沙包的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 竖直高度y/m 1 2.5 3 2.5 1 请根据以上数据，解决问题： ①抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是______m； ②求y与x满足的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)已知小林跳起将沙包回传的运动轨迹近似满足函数关系式：．小伟在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内接到了沙包，则b的取值范围是______． 【答案】(1)①3；② (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）①根据表中数据即可得到结论； ②设抛物线的解析式为，把代入解方程即可得到结论； （2）根据题意得到接球位置的坐标范围是～，把代入函数解析式得到，解方程得到，把代入函数解析式得到，解方程得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线的最高点坐标为的， 抛物线中，沙包运行的最高点距离地面的高度是3， 故答案为：3； ②设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 设抛物线的解析式为； （2）解：小伟在x轴上方1的高度上，且到点A水平距离不超过1的范围内接到了沙包， 此时，接球位置的坐标范围是～， 当经过时，， 解得：， 当经过时，， 解得：， ， 的取值范围是． 故答案为：． 41．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线， ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：． 42．如图，轴上依次有六个点，且，从点处向右上方沿抛物线发出一个发光的点． (1)在图中补画出轴； (2)当点与上述六个点中的某个点重合时，重合的这个点就会发光，则发光的点是___________； (3)在轴上从左到右有两点，且，从点向上作垂直轴，且，在沿轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点能落在（包括端点）上，请写出点横坐标的最大值与最小值． 【答案】(1)见解析 (2)E (3)点横坐标的最大值为8，最小值为 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． （1）令，则，可得抛物线与y轴交于点，即可求解； （2）由（1）可知抛物线与x轴的另一个交点为，点B为坐标原点，根据，即可解答； （3）判断出当点M与点重合时，点N的横坐标最大，当点G与重合时，点N的横坐标最小，两种特殊位置点N的横坐标的值，可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， 图形如图所示， （2）解：由（1）得：抛物线与x轴的另一个交点为，点B为坐标原点， ∵， ∴， ∴点E的坐标为， ∴发光的点是点E； 故答案为：E （3）解：当点M与点重合时，点N的横坐标最大， ∵， ∴此时点N的横坐标的最大值为8； 当时，， 解得：， ∴抛物线经过点， ∴当点G与重合时，点N的横坐标最小，最小值为； 综上所述，点横坐标的最大值为8，最小值为． 题型七、二次函数线段、周长问题 43．如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)①点P的坐标为或；②最大值为 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式得到点C坐标，然后设点P坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，再设点Q坐标为，则点D坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，点A坐标为，与在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∴． 设点P坐标为， ∵， ． ∴． 当时， ， 当时， ． ∴点P的坐标为或． ②设直线的解析式为， 将代入， 得． 解得． ∴直线的解析式为． 设点Q坐标为， 则点D坐标为． ∴． 当时，有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数——几何综合．解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像及性质，三角形面积公式，二次函数与线段综合． 44．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线下方抛物线上的任意一点，且点横坐标为． ①连接，，求面积的最大值； ②过点作轴，垂足为，过点向抛物线的对称轴作垂线，垂足为．记，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求得直线的解析式，过点作轴交于，设，则，根据列式，利用二次函数的性质求解即可； ②分当和时，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，最大，为； ②， 对称轴为． ，且点在第三象限， ； 当时，， 这时，； 当时，， 这时，； 综合得：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． 45．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出，得到，，根据三角形面积公式即可求出答案； （3）求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象与y轴交于，与x轴交于点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∴， ∵点，点、 ∴，， ∴的面积； （3）解：， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ， ∴由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 46．如图①，是抛物线上任意一点，是过点且与轴平行的直线，过点作直线，垂足为． (1)当时，，；当时，，； (2)对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想； (3)如图②，已知线段，端点在抛物线上滑动，直接写出两点到直线的距离之和的最小值． 【答案】(1)1，1；5，5 (2)；证明见解析 (3)6 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）在二次函数的解析式中，令和4，求出对应y的值，确定P的坐标，从而可求长度； （2）由（1）可猜想：，设，求出比较即可证明； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，由（1）知，，分为不过点和过点两种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，，即，； 当时，，即，； 故答案为：1，1；5，5； （2）解：猜想：，证明如下： 设， 则， ， ∴； （3）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时即为点到直线的距离，即为点到直线的距离． ①当不过点时，连接． 在中，，由（2）得，， ∴； ②当过点时， ， ∴的最小值为6． 47．在平面直角坐标系中，抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，函数图象的最高点为P，点P的纵坐标为24，求二次函数的表达式； (3)若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，且点M在点N的下方．当线段的长度随m的增大而减少时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据对称轴的公式，进行计算即可； （2）根据对称轴是直线，得出时取得最大值，将代入二次函数中，求出，即可得出答案； （3）先求出，得出二次函数解析式为，求出直线与二次函数的两个交点的横坐标为，根据点在点的下方，得出的取值范围是．表示出．根据二次函数的性质，结合线段的长度随的增大而减小，得出的取值范围是，从而得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大， ∴ 将代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数表达式为． （3）解：把代入中，得， 将代入中， 得， 解得， ， 令， 解得， 点在点的下方， 的取值范围是． 点的坐标可分别表示为，， ． ，对称轴为直线， 当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围是． 综上所述，的取值范围是． 题型八、二次函数图形面积问题 48．许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．点、的坐标分别是． (1)直接写出点B的坐标； (2)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）； (3)如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数与坐标轴交点： （1）根据关于轴对称可求B的坐标； （2）根据题意可设抛物线为，代入A的坐标求出a即可； （3）求出平移后抛物线的解析式，令求出其与y轴的交点D，根据平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且可得，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于轴对称，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线对应的函数关系式为； （3）设平移后的抛物线对应的关系式为， 当时，， 此时抛物线与y轴的交点设为， ∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且， ∴， ∴， 解得（负值已舍）或（负值已舍）， ∴m的值为6或． 49．如图，已知抛物线L：与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且， (1)求抛物线L的函数表达式； (2)将抛物线L：的图象向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好经过点，求m的值； (3)连接、，在抛物线上是否存在一点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求函数解析式，明确题意，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． （1）计算出点坐标，待定系数法计算解析式即可； （2）根据平移法则，写出平移后的解析式，代入点坐标计算即可解答； （3）设出点N的坐标，表示出面积，分类讨论计算出点N的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，， 把A，B，C的坐标代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 将向上平移2个单位，向左平移个单位， 得到， 平移后图象过， ， 解得，， ， ； （3）解：存在， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 点N的坐标为或 50．如图，点在的图象上，已知的横坐标分别为，2，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)点在二次函数的图象上，且的面积等于的面积的2倍，则这样的点共有___________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数上坐标点的特点，熟练掌握相关性质，分情况讨论是解题关键． （1）将A，B的横坐标分别代入求出函数y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线的上方，点P在直线的上方，且位于y轴右侧，点P在直线的上方，且位于y轴左侧，三种情况根据分割法求解即可． 【详解】（1）解：点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，2， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 对于直线： ， 当时，， ， ； （3）解：设点P的坐标为， 的面积等于的面积的2倍， 的面积等于， ①当点P在直线的下方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， ∵，方程无解， ②当点P在直线的上方，且位于y轴右侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； ③当点P在直线的上方，且位于y轴左侧时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得， 解得（舍）， 点的坐标为； 综上，函数的图像上存在点P，使的面积等于的面积的2倍，则这样的点P共有2个． 51．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点： (1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，，最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握函数相关性质是解题关键； （1）令，可求出；设抛物线的解析式为：，将代入即可求解； （2）由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称，故；推出当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小；即可求解； （3）作轴，设点，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则； ∴，； 设抛物线的解析式为：， 将代入得：，解得：， ∴； （2）解：由二次函数的对称性可知：点关于对称轴直线对称， 如图所示： ∴； ∴当点是直线与直线的交点时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小； 当时，； 即此时点M的坐标为； （3）解：作轴，如图所示： 设点，则， ， ∵， ∴当，即点时，有最大值，且最大值为． 52．如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数解析式． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设存在点，列出方程求出的值，再利用待定系数法求出点坐标即可 【详解】（1）解：设抛物线方程为将，，三点代入可得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设存在点，由题意可知，以为底，则高为， ， 在中，以为底，则高为， ， 点在轴的下方， ， ， 在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得：， 解得，， 所以点的坐标为：，． 53．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由． (3)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (4)连接，若的面积恰好等于面积的，请求出此时点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当，最大，且最大值为． (4)点F的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线的性质，结合抛物线与x轴的交点的横坐标，确定抛物线的大于0，小于0 的取值范围，根据已知比较解答即可． （3）先确定直线的解析式为：．，则， 则， ，根据抛物线性质解答即可． （4）根据，结合的面积恰好等于面积的，构造一元二次方程解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求线段的最值，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且， 故点C的坐标为， 解得 抛物线的解析式为. （2）解：由抛物线的解析式为， 得， 解得， 故点B的坐标为， 由抛物线开口向下， 故当时，；当或时，， ∵点都在抛物线上，且， ∴，， ∴. （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点A的坐标为，点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵的面积恰好等于面积的， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 故点F的坐标为或． 题型九、二次函数特殊三角形 54．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积取得最大值为 (3)点的坐标为：，， 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； （2）解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； （3）解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 55．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； (5)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) (5)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （4）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （5）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （5）解：∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程，即， 此时． ∴方程无解， 解方程，即， ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出的长是解题的关键，在（4）中确定出是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 56．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 57．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即可； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答即可； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形的性质证明，得，设，分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线 解析式为； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∵直线的解析式为，， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， 故点坐标为，； （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得或， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得或（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或． 【点睛】本题是函数与三角形综合题．熟练掌握待定系数法、一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活应用分类讨论思想，是解题的关键． 题型十、二次函数特殊四边形 58．如图1抛物线与轴交于点，与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别计算当时，x的值，当时，y的值，即可得到答案； （2）先证得为等腰直角三角形，则，结合，可知点P在x轴的上方，如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N，然后利用证明，进而求得点M的坐标，接着利用待定系数法求得直线的表达式，最后联立抛物线方程，即可求得点P的坐标； （3）过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，得到矩形，设，，根据平行四边形的性质可知，，进而推出，，然后根据，得到关于n的一元二次方程，解得n的值即可解答． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 令，得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴，， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为抛物线上一点，且满足， ∴点P在x轴的上方， 如图所示，过点A作，交于点M，过点A作x轴的垂线，过点M作于点L，作轴于点R，过点C作于点N， 则，四边形、、为矩形， ∴， ， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形、、为矩形， ∴，， ∴， ∴ 设直线的表达式为，代入，， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴ 解得，（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：过点A、E作x轴的垂线，过点D、F作y轴的垂线，交于点G、H、I、J，如图所示， 则四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点E、F为第四象限拋物线上的点， ∴设，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点，利用几何性质列出方程是解题的关键． 59．如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值 (3)存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先将点B和点C代入抛物线求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标； （2）过点E作y轴的平行线交直线于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段的长度，最后表示出的面积，从而利用二次函数的性质求得的面积最大值； （3）先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标． 【详解】（1）解：由已知，、代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，顶点坐标为； （2）解：当时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接，经过点E作x轴的垂线，交直线于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴ （3）解：如图（3）， ∵，， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 当为对角线时， ， 解得：， ； 综上所述，存在点M的坐标为或或时，以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 60．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)为直角三角形． (2)，当时，四边形的面积为最大， ． (3)或或或或． 【分析】（1）先求解抛物线为：，可得，，结合，证明，即可得到结论． （2）由题意可得：，如图，连接，结合，再进一步求解即可． （3）设，分情况讨论：当时，如图， 当时，如图，当时，再结合菱形性质建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， 当时，， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点， ∴， 如图，连接， ∴ ， 其中：， ∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为， 此时． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 设， ∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当时，如图， ∴， 解得：， ∴， 当时，如图， ∴， 解得：， ∴或， 如图，当时， ∴， 解得：， ∴或， 综上：或或或或． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，列函数关系式，菱形的性质的应用，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 61．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，点B的坐标为，得点A的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，得，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，则，，由，知是一组对边；分两种情况：①当为对角线时，的中点重合，且，②当为对角线时，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点B的坐标为， 点A的坐标为， 二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， 当时，取得最大值，且最大值为； （3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，则，， ， 当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，是一组对边； 当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（此时M，N与C重合，舍去）或， ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 62．已知二次函数，点． (1)若点P在二次函数的图象上，求m的值； (2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； (3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和特殊四边形等知识，分情况讨论和数形结合是关键． （1）把点P的坐标代入二次函数解析式即可求出答案； （2）由题意可得点P所在的直线为，与抛物线解析式联立得到，由点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点得到，即可求出答案； （3）根据抛物线解析式得到点在抛物线的对称轴上，轴，设，则,轴，轴，得到，，分两种情况：①，②，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点P在二次函数的图象上， ∴， 解得； （2）∵点． ∴点P所在的直线为， 联立得到， 则， ∵点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点， ∴， 解得； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴轴， 设， ∴为矩形的对称中心， ∴,轴，轴， ∴， ∴， ①当时，如图①， ∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点， ∴抛物线与y轴的交点在点M的上方即可， 在中， 当时，， ∴，即 解得或（不合题意，舍去）， ②当时，如图②，同理可知，抛物线与y轴的交点在点N的上方即可， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可知，或． 63．我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意得到，然后利用，可得，代入即可解答； （3）利用菱形的性质分别表示出点的坐标，再列方程求出的值即可解答． 【详解】（1）解：M的解析式是， 的解析式是 把点代入， 得， M的解析式是， 则顶点坐标为； （2）解：对称轴相同 ， 由题可得：与轴交于点，与轴交于点， 点是线段的一个三等分点（）， ， ， 即 ∴对称轴的表达式为 （3）解：∵M，N过， ， 则， （舍去），， ∴， 当，即时， 则M过A，B，D，开口朝下，与不符合，故舍去； 当，则则，两函数是同一函数，此时重合，无法组成菱形，故舍去； 当，即时， 把代入，可得， 解得（舍去）或， ∴ 为菱形， ，， ∴，， ∴，即， 解得（舍去）， ∴ ∴． 64．如图1，已知抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)用含的代数式表示，． (2)如图2，点与点关于抛物线的对称轴对称，点为对称轴上且位于顶点下方的一点，连接，，，若． ①直接写出点的坐标； ②过点作轴的平行线，交抛物线于点，（点在点左侧），将该抛物线沿直线翻折，翻折后抛物线的顶点为，若四边形是正方形，求的值． (3)如图3，若，点，是抛物线上两动点（点在点左侧），运动过程中始终保持，当时，连接，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)①点的坐标为；②； (3)． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点式，将、两点代入，展开后对比系数得出、与的关系． （2）①通过对称性得到角相等，推出直线的表达式，结合对称轴求出点横坐标，代入表达式得坐标；②根据菱形与正方形的关系，结合抛物线方程、根与系数关系及正方形条件列方程求解． （3）先确定抛物线表达式，求出长度，取中点构造平行四边形，利用平行四边形面积关系，结合点坐标求出相关三角形面积，进而得到四边形面积． 【详解】（1）解：抛物线过，， 该抛物线的函数表达式为， 即， ，； （2）解：①如图1，连接交轴于点． 由对称性知， ， ， 直线的函数表达式为， ，， 点的横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； ②如图2，由轴对称性可知四边形为菱形． 当时，菱形为正方形， 设点的坐标为，点的坐标为， 在中，令， 得， 则，是该一元二次方程的两个根， ，， 故， 当时，， ， ， 化简，得， ， 解得（，舍去）， 故； （3）解：， 抛物线为， 则点的坐标为， ， 如图3，取的中点，连接，， ， ，， 四边形、四边形均为平行四边形， ， ， 过点作轴的垂线，过点作轴的平行线，两直线交于点， 设点，则点， 将点代入二次函数的表达式，得 ， 解得， ，， 的中点为， 连接，则， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括抛物线表达式的确定、对称性的应用、菱形与正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形面积的计算等，熟练掌握二次函数的性质和相关几何图形的判定与性质是解题的关键． 题型十一、二次函数相似三角形问题 65．如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据对称轴方程即可求解； （2）由，得到顶点的坐标，与轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得的长度，得到点的坐标，求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，联立方程组求出点的坐标； （3）当时，，得到点的坐标，由勾股定理解出的长度，如图，当时，，得到比例式，由知，求出，解出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组， 得，， ∴； （3）解：①如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 66．【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线上“不动点”的坐标为或 (2)； (3) (4)存在，点坐标为或． 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，令，求出不动点即可； （2）联立得，令，求出的值即可； （3）当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点，则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点，即可求解； （4）分点在抛物线内部和点在抛物线外部两种进行讨论，利用相似三角形的判定与性质求出点M的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得：或， ∴抛物线上“不动点”的坐标为：，； （2）解：联立得，即， 则， 解得； （3）解：由题意，设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线得：， 则，则， ∴直线，当时，， ∴， ∵是的中点， ∴， 把代入，得：； （4）解：存在，理由： ∵，，， ∴，，， 则，即为直角三角形，且， ， ∴，， ∴， 设点， ①当点在抛物线内部时，过点作轴，交轴于点，作交的延长线于点， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点； ②当点在抛物线外部时，过点作轴，交轴于点，作于点， 同法可得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：点坐标为或． 67．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，其中点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接交直线于点．点是轴上一点，点是直线上一点，连接．当最大时，求此时点的坐标以及的最小值； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，如图：过点P作轴交于E，过点B作轴交延长线于F，则，，易得、，再证明可得，可确定符合条件m的值，进而确定点P的坐标；再求出直线的解析式为，如图：作点关于直线的对称点，连接交于点M，易说明的最小值为的长；再说明，进而求得直线的解析式为，进而求得，再根据中点坐标求得，最后运用勾股定理求出的长即可． （3）抛物线沿射线方向平移个单位长度，因为，所以相当于Y沿x轴负方向平移2个单位，沿y轴正方向平移4个单位，可得平移后的抛物线解析式为，再求得直线的解析式为，然后分和是等腰三角形两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 把、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图：过点P作轴交于E，过点B作轴交延长线于F，则，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：作点关于直线的对称点，连接交于点M，则， ∵， ∴当共线时最小，最小值为的长， ∵，、， ∴， ∴， ∴，即， ∵作点关于直线的对称点， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， ∴点， ∴． （3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度，因为，所以相当于沿x轴负方向平移2个单位，沿y轴正方向平移4个单位， ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的函数解析式为， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：当时，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或1， 当时，；当时，； ∴点或不符合题意舍弃． 如图：设是等腰三角形，则， ∴， 设，则，解得：，即， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴点． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与相似三角形的综合、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． 68．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． 图1                       图2 (1)求a，b的值； (2)如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，当时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使，P是x轴上一点，且在点B的右侧，，过点M作，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使，若，求直线BF的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出，过点作轴，垂足为，则； （3）先求，以为一边作，的另一边交的延长线于点．可推导出，，则，作，能证明，再证明，得到，作，垂足为，作轴，垂足为，则，求出，，由，可得方程，求得，再由勾股定理求设，则，求出，从而得到点坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：点在抛物线上， 解得 ． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式是． 是抛物线与轴的交点， 时，，， ． 如答图①，过点作轴，垂足为． 是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为， ， ． （3）解：，由（2）知， ， ， ， ． 如答图②，以为一边作，的另一边交的延长线于点． ． ， ． ，， ，． ． ，． 作，． ． ，， ， ． ． 作，垂足为，作轴，垂足为， ． ． ． ， ． ， ， 设， ． ，． 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 69．【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 70．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、y轴分别交于点A和点，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式； (2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为．轴交直线于点E，点F在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值； (3)M是平面内一点，将绕点M沿逆时针方向旋转后，得到，点A、、B的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2)，且， (3)或 【分析】（1）把点的坐标代入直线解析式求出的值，再把点的坐标代入直线求解即可得到的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）令求出点的坐标，从而得到、的长度，利用勾股定理列式求出的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得，再解直角三角形用表示出、，根据矩形的周长公式表示出，利用直线和抛物线的解析式表示的长，整理即可得到与的关系式，再利用二次函数的最值问题解答； （3）根据将绕点M沿逆时针方向旋转后，与x轴平行，与y轴平行，然后分①当、在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；当、在抛物线上时，表示出、坐标，再根据两点的纵坐标相差的长度列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点，∴． ∴直线的解析式为． ∵直线：经过点，∴， 解得． ∵抛物线经过点和点， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）∵直线：与x轴交于点A，∴点A的坐标为（2，0）．∴． 在中，，∴， ∵轴，∴． ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∴，， ∴． ∵，，且， ∴． ∴． ∵，且， ∴当时，有最大值； （3）∵将绕点沿逆时针方向旋转后， ∴与x轴平行，与y轴平行． ①如图1，当、在抛物线上时，根据条件可设，， 则， 解得； ②当、在抛物线上时，如图2，根据条件可设，， 则，解得． 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出与x轴平行，与y轴平行．注意要分情况讨论． 71．问题探究 （1）如图1，在直角梯形中，，截取，连接，，已知，，． ①求五边形的面积关于的函数解析式； ②当为何值时，； 问题解决 （2）如图2，四边形是一片花海，其中，，，，，，为方便游客观赏，分别在，上取点，，沿，，修建三条步道，根据设计思路，，的面积为，写出与之间的函数关系式，并求出取最小值时的值． 【答案】（1）①；②当为2时，（2），取最小值时的值为5 【分析】本题重点考查​几何图形的面积计算、函数关系式的建立以及最值问题​，​熟练掌握梯形和四边形的性质、面积公式，并能根据条件建立变量之间的函数关系是解题的关键． （1）①分别求出所以直角梯形面积，三角形的面积，三角形的面积，根据五边形的面积为直角梯形面积减去三角形的面积减去三角形的面积计算即可； ②根据①，令求解即可； （2）表示的面积，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①因为，，连，，， 所以直角梯形面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 所以五边形的面积； ②当，即，即，解得或， 又因为，所以（舍）， 所以当为2时，． （2）因为四边形内角和为，，，， 所以， 所以四边形为直角梯形， 直角梯形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， 所以的面积为， 当时，最小， 所以取最小值时的值为5． 72．综合与实践 项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究 调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为． 解决问题： (1)请直接写出点，的坐标； (2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）； (3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标． 【答案】(1)点，的坐标分别为， (2)米 (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意分别确定函数解析式是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解． （2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为，把点代入，待定系数法求得解析式，当时，，即可求解； （3）先求得直线的函数表达式为．当水压最小时，设喷头所在点的坐标为．设水流所在抛物线的函数表达式为，把点，代入，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：令 解得： ∴点，的坐标分别为， （2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为 把点代入，得．解，得． 当水压最大时抛物线的函数表达式为 当时，． 需在保温墙上做防水处理区域的高度为米． （3）设直线的函数表达式为． 把点，代入，得 解，得，． 直线的函数表达式为． 设喷头所在点的坐标为． 当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为 把点代入，得． 解，得，（不合题意，舍去） 把代入，得． 所以点的坐标为 把点代入，得． 解，得（不合题意，舍去），． 把代入，得． 所以点的坐标为． 73．圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 74．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 75．某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 76．综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ (2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) (3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)t的值为 (3)不能，c的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴, 当时，， 时，篮球命中篮筐， 仔浩初次投篮时不能命中篮筐． （2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为：， ∵经过点, ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， 答：t的值为； （3）解：由题意得：仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ∴, 解得：， ∵出手点的坐标为， ， ． 77．为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)水柱不能喷射到护栏上，理由见解析 (3)河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点，理解题中的数量关系是解题的关键． （1）根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； （2）因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； （3）根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 直线的表达式为， 联立方程组，即， 解得不合题意，舍去，， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处． 78．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点式，代值列方程求解即可； （2）先求出，得到，再求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得 二次函数的解析式为，即； （2）直线与坐标轴交于两点， ∴令，得，令，则， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ； 直线是心形叶片的对称轴，且点是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 对于为，当时，为， 解得或， ， ， ， ； （3）把代入得 ， 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，把代入解得， ， 设M点坐标为，则， ， ∴当时，的最大值为． 79．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 80．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 81．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 82．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． (3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点在抛物线上且对称轴为直线建立方程组，求解即可； （2）根据抛物线确定，，得，， ，，，如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，推出，四边形是平行四边形，，，，证明得，求出，设，确定直线的解析式为，得，继而得到，，则当时，取得最大值， 此时，进一步确定，，求出，然后由可得答案； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，先确定，再由平移规律确定新抛物线的解析式，求出，得，证明得，求得，，确定直线的解析式为，由联立可求得点的坐标；再确定直线的解析式为，求得，根据垂直平分线的性质及对称的性质可得，继而得到直线的解析式为，再联立可得点的另一个坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接， ∴，四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值， 此时， ∵抛物线的对称轴为直线，点为该抛物线的顶点， 当时，， ∴， ∵，即，点在点的左侧， ∴点在点的左侧， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得：或， 经检验，或都是原方程的解但不符合题意，故舍去， ∴， ∴， ∵轴，，直线的解析式为， ∴轴，，点的横坐标为，此时对应的， ∴， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 当点、、共线时取“”号，此时取得最小值， 即当线段最大时，的最小值为； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点， ∴，， ∵，，点是线段的靠近点的三等分点，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点为新抛物线与直线的另一交点， 又∵点和点都在上， ∴抛物线向下平移个单位再右平移个单位得到新抛物线，即， 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵，，，， ∴垂直平分， ∴点与点关于点对称，， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，函数图象平移的规律，函数图象的交点坐标，两点之间线段最短等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质及图形的变换是解题的关键． 试卷第2页，共205页 1 / 200 学科网（北京）股份有限公司 $