精品解析：甘肃省酒泉市安西县西湖学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中考试卷 八年级数学 （满分：120分；时间：120分钟：范围：第十五章第15.3完，P1-P93） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框，、、、分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条应钉在（ ） A. 、两点之间 B. 、两点之间 C. 、两点之间 D. 、两点之间 【答案】A 【解析】 【分析】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．根据三角形的稳定性进行判断． 【详解】A．若钉在、两点之间构成了三角形，能固定窗框，故符合题意； B．若钉在、两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； C．若钉在，两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； D．若钉在，两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； 故选A． 3. 如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：A．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； B．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； C．已知，补充，，可以根据证明，故符合题意； D．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意， 故选：C． 4. 在中，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．先判断为等边三角形，然后由等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：D． 5. 下列说法，正确的是（　　） A. 每个定理都有逆定理 B. 真命题的逆命题都是真命题 C. 每个命题都有逆命题 D. 假命题的逆命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项 【详解】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误； B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确； D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的相关概念及定理，熟练掌握和运用命题、逆命题及逆定理的相关概念是解决本题的关键． 6. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 7. 如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解: ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点．D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一判定即可解答． 【详解】解：， ，， 是的平分线，是的平分线， ，， ，， ，都是等腰三角形，故①正确； ，，即有，故②正确； 显然,故，故③错误； 的周长，故④正确； 根据题意，无法得到，故⑤错误， 综上所述，①②④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是______． 【答案】第三边 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴它第三边的取值范围是， 故答案为：第三边． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 11. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 12. 如图，已知为上一点，连接，连接交于点恰为的中点，若，则的值是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 由平行线的性质得出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】解：∵， ， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：5． 13. 如图，在中，，，点D在边上，并且，连接，则的大小为____________度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差即可得．熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：4． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 如图，在中，，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，， ． 16. 如图，在中，是的中点，交于点，连接．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 且， ， ∴， 在和中， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由中点得，由平行线的性质得，从而即可证明结论成立。 【详解】略 17. 如图，要在公路上建一个运输站，使它到铁路上的两点距离相等．这个运输站应建在何处？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作垂线等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，作垂线是解题的关键． 依题意得，为线段的垂直平分线与公路的交点，然后作垂线即可． 【详解】略 18. 如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：平分， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的概念和平行线的性质，以及等腰三角形的判定；解题的关键是通过转换证明角相等，然后根据等角对等边证明结论． 根据角平分线的概念得到，结合平行线的性质即可证得，从而得到结论． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形），图中是格点三角形，点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，为所作． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换． （1）分别找到点A、B、C的对应点分别为、、，顺次连接即可； （2）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在等边中，点为内部一点，过点作交于点，交于点．试判定的形状，并说明你的理由． 【答案】 解：是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定；根据等边三角形的性质可得，根据平行线的性质得出，进而即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 【答案】 证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是的垂直平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定．根据角平分线的性质可得，可证明，推出，据此即可证明是的垂直平分线． 【详解】略 22. 如图，在等边三角形中，点分别在边上，连接，有，过点作，交的延长线于点．求证：点为线段的中点． 【答案】 证明：是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ． ， ， ，即， ， ， 点为线段的中点． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．先证明等边三角形，得到，且得到，再利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到，从而得到，继而得证． 【详解】略 23. 如图所示，在和中，，． （1）求证：； （2）若的延长线交于点，交于点，，求的度数． 【答案】（1） 证明： 在和中 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理． （1）根据得到，证明，选择证明即可． （2）根据三角形全等的性质和三角形内角和定理，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得： 在中 24. 如图，在中，点是上一点，连接是的中线． （1）若是的中线，，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，中点定义，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理是解题的关键． （1）直接根据中线的定义求解即可得解； （2）先证明是等腰三角形，进而得，，进而利用三角形的外角性质即可得解． 【小问1详解】 解： 是的中线，， ， 是的中线， ． 【小问2详解】 解：， ， 是等腰三角形， 是的中线， 平分， ， ， ． 25. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2）池塘宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：池塘宽度为． 26. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接两点都在线段上，连接，过作交延长线于点，若．求证：； （2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，过作交于点，若，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）利用可证得，进而可求证结论； （2）在上截取，连接，利用可得，进而可得，再根据等腰三角形的判定及性质即可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 的长是2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试卷 八年级数学 （满分：120分；时间：120分钟：范围：第十五章第15.3完，P1-P93） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框，、、、分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，则这根木条应钉在（ ） A. 、两点之间 B. 、两点之间 C. 、两点之间 D. 、两点之间 3. 如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 在中，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列说法，正确的是（　　） A. 每个定理都有逆定理 B. 真命题的逆命题都是真命题 C. 每个命题都有逆命题 D. 假命题的逆命题都是假命题 6. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点．D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_______． 11. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 12. 如图，已知为上一点，连接，连接交于点恰为的中点，若，则的值是_______． 13. 如图，在中，，，点D在边上，并且，连接，则的大小为____________度． 14. 如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 如图，在中，，求的长． 16. 如图，在中，是的中点，交于点，连接．求证：． 17. 如图，要在公路上建一个运输站，使它到铁路上的两点距离相等．这个运输站应建在何处？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，已知是的一个外角，平分，且，求证：为等腰三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形），图中是格点三角形，点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 20. 如图，在等边中，点为内部一点，过点作交于点，交于点．试判定的形状，并说明你的理由． 21. 如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 22. 如图，在等边三角形中，点分别在边上，连接，有，过点作，交的延长线于点．求证：点为线段的中点． 23. 如图所示，在和中，，． （1）求证：； （2）若的延长线交于点，交于点，，求的度数． 24. 如图，在中，点是上一点，连接是的中线． （1）若是的中线，，求的长； （2）若，求的度数． 25. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 26. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接两点都在线段上，连接，过作交延长线于点，若．求证：； （2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，过作交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $