精品解析： 2025年山东省德州市中考数学真题

2025年德州市初中学业水平考试 数学试题 本试题分选择题40分，非选择题110分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选余其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 4. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中， ．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 ，与 交于点D，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形 的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形 周长相等，的面积是矩形 面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 10. 我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ） A. 7组 B. 21组 C. 28组 D. 42组 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图， 是 的外角，射线 在 的内部，添加一个条件_______，使得 ．（写出一种情况即可） 13. 把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 14. 已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 15. 如图，中， ， ，，分别以 为直角边，以B为直角顶点向外作 和 ，且，M，N分别是的中点，连接 ．若，则 的长度为_______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡 的坡角，缆车的行驶路线 与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 18. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好： ；合格： ；不合格： ． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 19. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架 （如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽 ． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 20. 如图，，点M在线段 上，将沿直线 折叠，点B恰好落在点处． （1）求a的值； （2）求直线 的解析式； （3）若直线与直线 的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 21. 如图，点D是的内心，连接 并延长交的外接圆于点E， 与交于点F，连接 ． （1）设，则 ；（用含 的式子表示） （2）求证： ； （3）若，求 的长． 22. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求 的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求 的长． 23. 已知点O是正方形 的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边 于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年德州市初中学业水平考试 数学试题 本试题分选择题40分，非选择题110分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选余其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 4. 已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 5. 如图，在中， ．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 ，与 交于点D，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出 和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出 ，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知， 是线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选： ． 6. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 7. 如图，矩形 的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形 周长相等，的面积是矩形 面积的一半，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交 轴于 点，用勾股定理求出长即可． 【详解】解：过D点作轴，交 轴于 点，如图： 与矩形 周长相等，， ， 的面积是矩形 面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． 8. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到 ，根据垂径定理求出 ，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点 重合，小圆与相切于 ，连接， ∵小圆与相切于 ， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 9. 如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ） A. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B. 这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D. 这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由 表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价 总价 数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了 个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价 总价 数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 10. 我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ） A. 7组 B. 21组 C. 28组 D. 42组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把 看作整体 ，得到的正整数解有 组；再分析 分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中 的值可以为： ， ， ，9，11，13 ∴的正整数解有 组， 又∵的正整数解有 组； 的正整数解有 组； 的正整数解有 组； 的正整数解有 组； 的正整数解有 组； 的正整数解有 组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12. 如图， 是 的外角，射线 在 的内部，添加一个条件_______，使得 ．（写出一种情况即可） 【答案】 或或（答案不唯一，填一个即可） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ （同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴ （内错角相等，两直线平行）． 故答案为： 或或（答案不唯一，填一个即可）． 13. 把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 14. 已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 15. 如图，中， ， ，，分别以 为直角边，以B为直角顶点向外作 和 ，且，M，N分别是的中点，连接 ．若，则 的长度为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算 ，易得，继而得到，再根据 和 得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求 即可． 【详解】连接，过 作交 的延长线于 ， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和 ，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡 的坡角，缆车的行驶路线 与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线 的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点 作于 ，根据正弦的定义求出 ； （2）过点 作于 ，根据矩形的性质求出 ，进而求出 ，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于 ， 在 中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点 作于 ， 则四边形 为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线 的长约为 ． 18. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好： ；合格： ；不合格： ． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】（1） 补全统计图如下： （2）27； ； ； （3）6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【解析】 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为： 人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得，合格的人数为： 人， ∴优秀的人数为： 人； 【小问2详解】 根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴ ， ∵优秀： ； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴ ， ， 故答案为：27； ； ； 【小问3详解】 6月份达到“优秀”的人数为： 人， 3月份达到“优秀”的人数为： 人， ∴ 人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 19. 综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架 （如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽 ． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的 分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长 为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边 ，宽为纵向边 ，黄金分割比中长 宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长 为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时， 最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的 分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 20. 如图，，点M在线段 上，将沿直线 折叠，点B恰好落在点处． （1）求a的值； （2）求直线 的解析式； （3）若直线与直线 的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设 ，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线 折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 设 ， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线 的解析式为 ， ∴， 解得， 故直线 的解析式为 ． 【小问3详解】 由（1）得： ， ∴直线与直线 的交点在直线 的左侧， 如图所示： 当 时，， ∴， ∵直线与直线 的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 21. 如图，点D是的内心，连接 并延长交的外接圆于点E， 与 交于点F，连接 ． （1）设，则 ；（用含 的式子表示） （2）求证： ； （3）若，求 的长． 【答案】（1）或 （2） 证明：连接 ， ∵点D是的内心， ∴ ，， ∵，， ， ∴， ∴ ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 解得． 故 的长为． 22. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求 的取值范围； （2）若对于任意实数 ，都有，此时抛物线与直线交于两点，求 的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②或； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到 和 的关系，根据对于任意实数 ，都有，得出对任意实数 都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出 的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和 ， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数 ，都有， ∴对任意实数 都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 23. 已知点O是正方形 的中心，点P，E分别是对角线 ，边 上的动点（均不与端点重合），作射线． （1）将射线绕点P逆时针旋转90°，交边 于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】（1）①证明：过点P作、 ，如图所示： 则 四边形 是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②为定值，该定值为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、 ，根据四边形 是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、 ，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接 ，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到， 是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②过点P作、 ，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； 【小问2详解】 解：过点P作、，连接 ，如图所示： 四边形 是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $