第五单元 方程（解决问题专项）数学北京版五年级上册

第五单元 方程 （16个类型题讲练+三大难度分层练 共47题） 第一部分：类型题讲练 一、核心考察题型 1. 基础方程题型 简单一元一次方程 题型：如解方程 4x+12=60、m+2m=96、8x−x=147 等，直接考察等式性质（加减乘除运算）和基础解法。 示例：解 x−120=62，两边加120得 x=182。 方程的识别与判断 题型：判断哪些式子是方程（如 x−1=0 是方程，2+x>1 是不等式）。 关键：方程需满足“含未知数+等式”两个条件。 方程的验证 题型：将解代入原方程验证是否成立，如解 3x=24 得 x=8，代入后 3×8=24 成立。 2. 应用题中的方程建模 实际问题等量关系 题型：行程问题（如相遇问题）、价格问题、工程问题、年龄问题等。 示例： 相遇问题：两车相向而行，4.2小时后相遇，总路程441km，客车每小时比货车多行5km。设货车速度为 x km/h，则客车速度为 x+5 km/h，方程为 (x+x+5)×4.2=441，解得 x=50。 价格问题：买6支彩笔和6本笔记本共18元，彩笔每支1.8元，设笔记本每本 x 元，方程为 6×1.8+6x=18。 几何问题 题型：长方形周长、面积问题。如长方形周长为 c m，长为 a m，宽为 (c−2a)÷2 m。 生活场景问题 题型：分配问题、倍数问题等。如“甲数是乙数的3倍，甲比乙多12”，设乙数为 x，方程为 3x−x=12。 3. 方程的性质与变形 等式性质应用 题型：方程两边同时加减、乘除同一个非零数，如解 6y−4=44 时，先加4得 6y=48，再除以6得 y=8。 方程变形技巧：移项、合并同类项、系数化为1等。 二、解题技巧 1. 基础解方程技巧 利用等式性质：方程两边同时进行相同运算，保持等式成立。 示例：解 3x+5=20，两边减5得 3x=15，再除以3得 x=5。 分步求解：将复杂方程分解为简单步骤，如先合并同类项，再移项求解。 检验解的正确性：将解代入原方程，检查左右两边是否相等。 2. 应用题解题步骤 审题与设未知数：明确问题中的未知量，用字母表示（如设“每本笔记本 x 元”）。 找等量关系：分析问题中的数量关系，建立方程。如“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”。 解方程：运用等式性质或代数方法求解。 验证与作答：检查解是否符合实际情境，写出完整答案（如“每本笔记本2元”）。 3. 特殊题型技巧 相遇问题：利用速度、时间、路程的关系建立方程，如 (v甲​+v乙​)×t=s。 工程问题：通过工作效率、工作时间、工作总量的关系列方程，如 工作总量=工作效率×工作时间。 比例问题：利用比例关系建立方程，如“甲:乙=3:2”可转化为 3x=2y。 4. 方程组的解法 代入法：从一个方程解出一个变量，代入另一个方程求解。 加减法：通过加减消元法求解方程组，如解 {x+y=102x−y=5​ 时，两式相加得 3x=15，解得 x=5，再代入求 y=5。 三、典型例题分析 例题1：解方程 3x+5=20 步骤：两边减5得 3x=15，再除以3得 x=5。 例题2：小明和小红共有100元，小明比小红多20元，求两人各有多少钱？ 设：小红有 x 元，则小明有 x+20 元。 方程：x+(x+20)=100，解得 x=40，小明有60元。 例题3：一辆汽车每小时行 a 千米，7小时行多少千米？ 表达式：7a 千米。 类型1 用字母表示数、数量关系 典型例题1：（24-25五年级上·河南·期中）娜娜参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完320个字，又打了20.5分钟，平均每分钟打x个字。 （1）用式子表示娜娜一共打了多少个字？ （2）当x＝28时，娜娜这篇作文一共有多少个字？ 思路分析：根据“工作总量＝工作效率×工作时间”表示出娜娜20.5分钟的打字个数，一共的打字个数＝已经打完字的个数＋20.5分钟的打字个数，最后把字母的值代入含有字母的式子求出结果，据此解答。 变式训练：（24-25五年级上·河北保定·期中）全体五年级师生去春游，恰好坐满了x辆大客车和x辆中巴车，每辆大客车可乘坐乘客46人，每辆中巴车可乘坐乘客20人。 （1）用含有字母的式子表示五年级师生的总人数。 （2）算一算，当时，五年级师生共有多少人？ 类型2 用字母表示运算定律及计算公式 典型例题2：（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 思路分析：（1）当两个长方形拼在一起，减少的长度最多，则周长最少，把两个长方形的长重合在一起时周长最小；减少的长度最少，则周长最大，把两个长方形的宽重合在一起时周长最大；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出大长方形的周长最少、最多，据此解答。 （2）把m＝16，n＝12代入（1）的算式，即可解答。 变式训练：（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 类型3 用字母表示稍复杂的数量关系 典型例题3：（23-24五年级上·山东菏泽·期末）要修一段公路，平均每天修c米，修了6天，还剩b米。 （1）用含有字母的式子表示这段公路有多少米。 （2）根据这个式子，求c＝50，b＝200时，公路长多少米？ 思路分析：（1）根据题意可得出数量关系：平均每天修路的长度×修的天数＋还剩的长度＝这条公路的全长，据此用含有字母的式子表示这段公路的全长。 （2）把c＝50，b＝200代入（1）的式子中，计算出得数即可。 变式训练：（23-24五年级下·江苏·期中）某出租车公司规定：乘车起步价为6元（3千米以内），3千米以外的每千米按2.5元收费（不足1千米按1千米收费）。小明乘出租车行了m千米（m＞3，且为整数）。 （1）用式子表示小明应付的钱数。 （2）当m＝11时，小明应付多少钱。 类型4 含有字母式子的化简与求值 典型例题4：（24-25五年级上·河南郑州·期中）甲乙两船分别从两地同时相对开出，经过t小时相遇，甲船平均每小时行38千米，乙船平均每小时行a千米。 （1）用字母表示两地的距离。 （2）如果a＝50，t＝1.5，此时两地的距离是多少千米？ 思路分析：（1）已知甲船平均每小时行38千米，乙船平均每小时行a千米，经过t小时相遇。根据“路程＝速度和×相遇时间”可表示出两地的距离为（38＋a）×t千米。 （2）把a＝50，t＝1.5代入（38＋a）×t中即可计算出两地的距离。 变式训练：（24-25五年级上·北京西城·期末）妈妈想给小红的书桌配一把学生座椅，她查阅了相关资料。 （1）某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是（    ）厘米。小红的身高是150厘米。用上面的式子计算，最适宜她的座椅高度是（    ）厘米。 （2）专卖店有一把高度为32厘米的学生座椅，把它推荐给身高为多少厘米的学生最为适宜？（列式解答） 类型5 等式的认识及列等量关系式 典型例题5：（24-25五年级下·云南红河·期末）长颈鹿和梅花鹿同属鹿类，身高却有着天壤之别。长颈鹿身材极为高大，而梅花鹿体型小巧玲珑。请你算一算：下图中梅花鹿的身高是多少米？（写出数量关系并用方程解答） 数量关系： 思路分析：已知长颈鹿的身高是梅花鹿的3.5倍，据此设梅花鹿的身高是米，则长颈鹿的身高是3.5米； 已知长颈鹿的身高比梅花鹿的高3.6米，用长颈鹿的身高减去梅花鹿的身高即是它们身高相差的3.6米，据此得出数量关系，按数量关系列出方程，并求解。 变式训练：（24-25五年级上·重庆·期末）方程2x＋7＝13不能表示下面哪个事件中的等量关系（    ）。 A．一本图画书x元，笑笑带了13元，想买2本图画书，还差7元。 B．一本练习册共13页，安安每天写2页，写了x天，还剩7页未写。 C．弟弟今年x岁，姐姐年龄是弟弟年龄的2倍大7岁，姐姐今年13岁。 D．买x个包子和一份肠粉共13元，一个包子2元，一份肠粉7元。 类型6 等式的性质1 典型例题6：（24-25五年级下·福建厦门·期中）天平上左盘装有两个大小相同的小球、一个大球和一个正方体。下图表示将球从天平左盘取走的过程和天平右盘砝码的变化情况，a、b、c表示三个砝码的质量。根据图中的信息，下面表示大球质量的式子中，正确的是（    ）。 A．a－b B．2b－a－c C．a－b－c D．a＋b－2c 思路分析：A．a表示2个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；b表示1个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；所以a－b表示一个小球的质量； B．2b表示2个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去a（2个小球、1个大球、1个正方体），再减去c（1个正方体），可知2b－a－c表示一个大球的质量； C．由选项A可知a－b表示一个小球的质量，再减去c（1个正方体），则a－b－c表示1个小球与1个正方体的质量之差； D．a＋b表示3个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去2c（2个正方体）后剩下3个小球、2个大球的质量之和。 变式训练：（23-24五年级上·全国·周测）天平左边放1个梨和1个李子，右边放6个李子时天平刚好保持平衡。若两边都拿掉1个李子，天平还会平衡吗？1个梨和几个李子一样重？ 类型7 等式的性质2 典型例题7：（22-23四年级下·山东泰安·期中）小明的体重是54千克，小明的体重是小华的1.2倍。小华的体重是多少千克？（列方程解答） 思路分析：将小华的体重设为x千克，求一个数的几倍是多少用乘法计算，那么列出方程1.2x＝54，运用等式的性质解方程即可；等式的性质：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 变式训练：（24-25五年级上·全国·单元测试）在美国加利福尼亚州发现了一棵高达142米的巨杉，大约比非洲猴面包树的8倍还高14米，猴面包树大约有多高？ 类型8 应用等式的性质1解方程 典型例题8：（24-25五年级上·河北·课后作业）列方程并求解。 一只鸵鸟奔跑的速度是54.3千米/时，比在路上行驶的一辆卡车的速度快8.6千米/时。卡车的速度是多少千米/时？ 思路分析：分析题目，等量关系为：卡车的速度＋8.6＝鸵鸟的速度，据此设卡车的速度是x千米/时，再列出方程，最后根据等式的基本性质解出方程即可。 变式训练：（2024四年级下·辽宁·专题练习）王老师去书店买了1本《草房子》和3本《格林童话》一共花了98.4元，每本《格林童话》24.2元，每本《草房子》多少元？（用方程解答） 类型9 应用等式的性质2解方程 典型例题9：（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 思路分析：解决本题的关键是求出两人每次相遇的间隔时间，相遇时，两人的总路程是（100×2）米，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出两人每次相遇间隔的时间，设两人在这段时间内共相遇x次，根据每次相遇间隔的时间×相遇次数＝总时间，列出方程解答即可。 变式训练：（23-24五年级下·重庆璧山·期末）蚂蚁运粮。粮食基地与蚂蚁洞口相距200厘米，蚂蚁哥哥从基地向蚁洞搬运粮食，蚂蚁弟弟同时从洞口出发去迎接，相遇时哥哥把粮食交给弟弟然后又原路返回基地搬运，弟弟把粮食搬运到洞口存放又去迎接哥哥。哥哥每秒走的路程是弟弟的1.5倍，他们经过40秒第一次相遇。问： （1）哥哥和弟弟每秒分别走多少厘米？ （2）从开始搬运粮食起到哥哥和弟弟第二次相遇时，经过了多少秒？ 类型10 应用等式的性质1和2解方程 典型例题10：（25-26五年级上·全国·单元测试）2024年1月17日，“天舟七号”货运飞船在长征七号运载火箭的托举下，进入太空。“天舟七号”货运飞船此次携带的货物多达260余件，包括龙年春节年货、新鲜果蔬大礼包等。“天舟六号”货运飞船运输物资总重比“天舟七号”货运飞船运输物资总重的1.05倍少80千克，（    ），“天舟七号”货运飞船运输物资总重约多少千克？（先选一个条件，再解答） ①“天舟七号”和“天舟六号”一共运输了11400千克物资。 ②“天舟七号”比“天舟六号”少运输了200千克物资。 思路分析：设“天舟七号”货运飞船运输物资总重约x千克，则“天舟六号”货运飞船运输物资总重为（1.05x－80）千克，如果选择条件，根据等量关系式：“天舟六号”货运飞船运输物资总重＋“天舟七号”货运飞船运输物资总重＝11400千克，列出方程并解方程；如果选择条件，根据等量关系式：“天舟六号”货运飞船运输物资总重－“天舟七号”货运飞船运输物资总重＝200千克，列出方程并解方程。 变式训练：（25-26五年级上·全国·单元测试）重阳节是中国民间传统节日，自古以来都有登高望远的习俗。某旅行社推出了重阳节登山一日游，收费标准如下，妙妙和同学一起报名了，且每人都点了一盒重阳糕，一共花费了375元，这一行有多少人？（列方程解答） 人数 收费标准 1~3人 按标准价，每人40元（重阳糕一盒25元） 3人以上 超过3人的部分：每人30元（重阳糕一盒15元） 类型11 解含括号的方程 典型例题11：（24-25五年级上·河北邯郸·期末）网约专车是一种新型打车商业模式，叫车付钱都能在网上实现。某专车收费标准如下表。（不足千米按千米计算）王经理从公司乘豪华型专车去机场，共付车费76.5元。那么他公司到机场的距离最远是多少千米？ 路程 收费标准（舒适型） 收费标准（豪华型） 3千米内（含3千米） 10元 18元 3千米以上部分 2.7元/千米 3.9元/千米 思路分析：根据豪华型专车收费标准，车费76.5元包含行驶3千米的车费18元及行驶3千米以上部分的车费。设公司到机场的最远距离是千米，根据18元＋行驶3千米以上部分的车费＝76.5元，列方程解答。 变式训练：（24-25五年级上·河北·单元测试）甲、乙两个修路队共同修一段长为125千米的路，甲队平均每天修4千米，修了2天后，乙队加入又共同修了13天后全部完工。乙队平均每天修多少千米？ 类型12 解等号两边都有未知数的方程 典型例题12：（23-24五年级上·全国·单元测试）学校组织春游，需租用汽车若干辆，如果每辆汽车坐40人，则有20人没有上车；如果每辆汽车坐45人，则可空出一辆汽车，并且有一辆车还可再坐10人。问有多少辆汽车？共有多少名学生？ 思路分析：根据题意可知，学生的总人数一定，可以假设有x辆汽车。可得出等量关系：40×汽车的辆数＋20＝45×（汽车的辆数－1）－10，据此列出方程，并求解。 变式训练：（23-24五年级上·全国·单元测试）小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 类型13 方程的检验 典型例题13：（22-23五年级下·江苏泰州·期中）2021年5月29日，我国成功发射天舟二号货运飞船，飞船此行的主要任务是把航天员和空间站所需的物资送上天，物资包括货包和推进剂两大类，其中货包的质量约是推进剂的倍，货包的质量比推进剂多吨，货包和推进剂的质量各是多少吨？先列方程解答，再检验。） 思路分析：设推进剂的质量是x吨，货包的质量约是推进剂的2.4倍，则货包的质量为2.4x吨，货包的质量比推进剂多2.8吨，即货包的质量－推进剂的质量＝2.8吨，列方程：2.4x－x＝2.8，解方程，求出推进剂的质量，进而求出货包的质量，再进行检验，据此解答。 变式训练：（22-23六年级下·浙江温州·期末）备受瞩目的第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行。作为主会场的“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，它比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。那么奥体中心游泳馆的总建筑面积约多少公顷？ （1）用方程解答： （2）你的解答正确吗？请你检验，并把检验的过程写下来。 类型14 列方程解含一个未知数的问题 典型例题14：（24-25五年级上·河北沧州·期中）张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 思路分析：我们需要先设白布或花布的长度，根据已知条件列出方程求出白布和花布实际的米数，再分别计算出正确价格和错误价格，通过比较两者得出是张阿姨多付还是布店亏了，以及具体的差价。设未知数并列出方程：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。算错单价时，白布的米数×花布每米的价钱＋花布的米数×白布每米的价钱＝74元，可列方程，解出，即张阿姨买了8米白布，花布买了20－8＝12（米）。再用3.5×8＋4×12算出正确价格，然后与74元比较、相减即可得解。 变式训练：（24-25五年级上·山东枣庄·期中）如图是王阿姨的超市购物小票，你能算出王阿姨购买了多少千克香肠吗？ 类型15 列方程解含两个未知数的问题 典型例题15：（25-26五年级上·全国·单元测试）操场在校园中是不可缺少的、最为重要的开放空间。规划设计时充分考虑操场空间的功能和设施。如图为该操场尺寸。 （1）若沿着长方形操场的四周等间距设置25块体育知识科普栏（科普栏宽度忽略不计），则间距应该设置为多少米？ （2）请你根据图中要求试求此时位于长和宽上的科普栏间距应该分别设置为多少米？ 要求 1.操场共设置30块科普栏； 2.每边的两个端点上均设置，每边上的科普栏均等间距设置； 3.每个长边上的科普栏数量比每个短边上多5个（含端点处）。 思路分析：（1）因为要沿着长方形操场四周等间距设置25块科普栏，所以属于封闭曲线上植树问题，间隔数＝科普栏数，所以间距＝总长÷块数，总长＝（长＋宽）×2； （2）每边的两个端点上均设置，那么设置的总数＝（长边的块数＋短边的块数）×2－4，根据数量关系列方程求出两边的数量；又因为每条边两端均设置，且科普栏等间距设置，所以每条边上为两端都栽的植树问题。所以间隔数＝科普栏－1，宽边上科普栏间距＝宽÷间隔数，长边上科普栏间距＝长÷间隔数。 变式训练：（25-26五年级上·全国·单元测试）在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 类型16 列方程解决稍复杂的实际问题 典型例题16：（24-25五年级上·广东湛江·期中）某食堂运进大米、面粉和面条共13.2吨，已知大米的重量比面粉的3倍少0.6吨，面粉的重量比面条的3倍多0.2吨，该食堂运进大米、面粉和面条各多少吨？ 思路分析：设面条重量为x吨。面粉重量比面条的3倍多0.2吨，因此面粉重量为（3x＋0.2）吨；大米重量比面粉的3倍少0.6吨，将面粉重量代入，得大米重量为：3×（3x＋0.2）－0.6吨，三种食材总重量为13.2吨，因此列方程：x＋（3x＋0.2）＋3×（3x＋0.2）－0.6＝13.2，然后解方程即可。 变式训练：（23-24五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙、丁四人同时出发，甲、乙、丙三人从教室去图书馆，丁从图书馆回教室。甲每分钟走70米，乙每分钟走55米，丁分别在出发后8分钟、9分钟、10分钟与甲、乙、丙三人相遇。丙每分钟走多少米？ 第二部分：难度分层训练 1．（24-25五年级上·山东德州·期中）第一箱橘子重a千克，第二箱橘子重b千克，如果从第一箱中取出4千克，放入第二箱，那么第一箱和第二箱质量相等。列等式是（    ）。 A．a＋4＝b－4 B．（a＋b）÷2 C．a－4＝b＋4 D．2a－2b＝4 2．（24-25五年级上·广东佛山·期中）下面的选项中，不能用方程“3x＋2＝20”来表示的是（    ）。 A．买3kg苹果，每千克苹果x元，付出20元，找回2元 B．保温杯一圈长xcm，用一根20cm长的细绳绕保温杯3圈，还多出2cm C．3 个小球的总质量比一个大球轻2g，每个小球重xg，每个大球重20g D．飞机每分钟飞行xkm，3分钟飞行了20km 3．（24-25五年级上·河北沧州·期中）甲数、乙数和丙数是三个连续的偶数，甲数最小。如果乙数是a，那么甲数是( )，丙数是( )。 4．（24-25五年级上·山东聊城·期中）研究表明，10岁到50岁的人每天需要的睡眠时间（单位：时）与年龄（单位：岁）有关，并且可以用这个式子计算：睡眠时间＋年龄×0.1＝11.1，李叔叔每天睡8小时，正好满足睡眠时间要求，李叔叔今年多少岁？（用方程解） 5．（24-25五年级上·广东佛山·期中）“ 一剪之趣夺神功，美在民间永不朽”是对佛山剪纸的称赞。姐妹二人在家学 习剪纸，计算姐妹二人各用了多少张蜡光纸。 （1）解决这个问题，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） ①姐姐用的张数是妹妹的2.5倍。   ②姐姐和妹妹一共用了21张。 ③姐姐比妹妹多用了9张。 （2）根据选择的信息列方程解答。 1．（24-25五年级上·山东德州·期中）下列选项中，能用“1.5a＝12”表示的是（    ）。 A．一块长方形麦田的长是a千米，宽是1.5千米，周长是12千米 B．一台小型收割机每天收割1.5公顷玉米，12天一共收割a公顷玉米 C．每千克冬小麦种子a元，买了1.5千克，一共花了12元 D．把一根12米长的木头锯成1.5米长的小段，一共锯了a次 2．（24-25五年级上·山东德州·期中）一套课桌椅的价格是169元，一张课桌的价格比一把椅子的3倍少8元，如果设一把椅子的价格是x元，那么列方程为（    ）。 A．3x－8＝169 B．x＋3x－8＝169 C．3x＋8＝169 D．3x÷8＝169 3．（24-25五年级上·浙江绍兴·期中）有两根同样长的铁丝，第一根用去2.3米，第二根用去7.5米，第一根余下的长度正好是第二根的2.3倍，这两根铁丝原来的长度各都是( )米。 4．（24-25五年级上·山东德州·期中）两艘轮船同时从青岛码头出发，各往南北方向行驶。甲船每小时行驶30千米，乙船每小时行驶42千米，航行几小时后两轮船相距252千米？（列方程解答） 5．（25-26五年级上·全国·单元测试）驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 1．（23-24五年级下·福建厦门·期末）杠称是我国古代计量物体重量的工具，战国时期的《墨经》最早记录了杠称的原理。在称杆上安装吊绳作为支点，一端挂上重物，另一端挂上砝码或秤锤（称为“权”），支点到权一端的距离称为“标”，支点到重物端的距离称“本”，杠称的两端平衡就可以知道物体的重量（如图1）；移动支点的位置，“权”的位置和数量也随之变化（如图2）。 根据以上信息，图3中“权”的位置应该在（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24五年级下·江苏南京·期中）如图，在长方形中有一个等腰直角三角形，长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，空白部分甲的周长比涂色部分乙的周长多（    ）厘米。 A． B．m C．2m D．3m 3．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 4．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人步行的速度分别为100米/分，90米/分，80米/分。甲在A地，乙、丙在B地，三人同时出发，甲和乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B两地之间的距离。 5．（24-25五年级上·河北·单元测试）妈妈给了亮亮10元6角钱，正好可以买3千克香蕉和2千克苹果，结果亮亮把香蕉和苹果的数量弄颠倒了，因此少花了0.7元钱。香蕉和苹果每千克的价钱各是多少元？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 方程 （16个类型题讲练+三大难度分层练 共47题） 第一部分：类型题讲练 一、核心考察题型 1. 基础方程题型 简单一元一次方程 题型：如解方程 4x+12=60、m+2m=96、8x−x=147 等，直接考察等式性质（加减乘除运算）和基础解法。 示例：解 x−120=62，两边加120得 x=182。 方程的识别与判断 题型：判断哪些式子是方程（如 x−1=0 是方程，2+x>1 是不等式）。 关键：方程需满足“含未知数+等式”两个条件。 方程的验证 题型：将解代入原方程验证是否成立，如解 3x=24 得 x=8，代入后 3×8=24 成立。 2. 应用题中的方程建模 实际问题等量关系 题型：行程问题（如相遇问题）、价格问题、工程问题、年龄问题等。 示例： 相遇问题：两车相向而行，4.2小时后相遇，总路程441km，客车每小时比货车多行5km。设货车速度为 x km/h，则客车速度为 x+5 km/h，方程为 (x+x+5)×4.2=441，解得 x=50。 价格问题：买6支彩笔和6本笔记本共18元，彩笔每支1.8元，设笔记本每本 x 元，方程为 6×1.8+6x=18。 几何问题 题型：长方形周长、面积问题。如长方形周长为 c m，长为 a m，宽为 (c−2a)÷2 m。 生活场景问题 题型：分配问题、倍数问题等。如“甲数是乙数的3倍，甲比乙多12”，设乙数为 x，方程为 3x−x=12。 3. 方程的性质与变形 等式性质应用 题型：方程两边同时加减、乘除同一个非零数，如解 6y−4=44 时，先加4得 6y=48，再除以6得 y=8。 方程变形技巧：移项、合并同类项、系数化为1等。 二、解题技巧 1. 基础解方程技巧 利用等式性质：方程两边同时进行相同运算，保持等式成立。 示例：解 3x+5=20，两边减5得 3x=15，再除以3得 x=5。 分步求解：将复杂方程分解为简单步骤，如先合并同类项，再移项求解。 检验解的正确性：将解代入原方程，检查左右两边是否相等。 2. 应用题解题步骤 审题与设未知数：明确问题中的未知量，用字母表示（如设“每本笔记本 x 元”）。 找等量关系：分析问题中的数量关系，建立方程。如“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”。 解方程：运用等式性质或代数方法求解。 验证与作答：检查解是否符合实际情境，写出完整答案（如“每本笔记本2元”）。 3. 特殊题型技巧 相遇问题：利用速度、时间、路程的关系建立方程，如 (v甲​+v乙​)×t=s。 工程问题：通过工作效率、工作时间、工作总量的关系列方程，如 工作总量=工作效率×工作时间。 比例问题：利用比例关系建立方程，如“甲:乙=3:2”可转化为 3x=2y。 4. 方程组的解法 代入法：从一个方程解出一个变量，代入另一个方程求解。 加减法：通过加减消元法求解方程组，如解 {x+y=102x−y=5​ 时，两式相加得 3x=15，解得 x=5，再代入求 y=5。 三、典型例题分析 例题1：解方程 3x+5=20 步骤：两边减5得 3x=15，再除以3得 x=5。 例题2：小明和小红共有100元，小明比小红多20元，求两人各有多少钱？ 设：小红有 x 元，则小明有 x+20 元。 方程：x+(x+20)=100，解得 x=40，小明有60元。 例题3：一辆汽车每小时行 a 千米，7小时行多少千米？ 表达式：7a 千米。 类型1 用字母表示数、数量关系 典型例题1：（24-25五年级上·河南·期中）娜娜参加作文大赛，需要提交电子版文档。她用电脑录入这篇作文，已经打完320个字，又打了20.5分钟，平均每分钟打x个字。 （1）用式子表示娜娜一共打了多少个字？ （2）当x＝28时，娜娜这篇作文一共有多少个字？ 思路分析：根据“工作总量＝工作效率×工作时间”表示出娜娜20.5分钟的打字个数，一共的打字个数＝已经打完字的个数＋20.5分钟的打字个数，最后把字母的值代入含有字母的式子求出结果，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知，娜娜一共打了（320＋20.5x）个字。 （2）当x＝28时。 320＋20.5x ＝320＋20.5×28 ＝320＋574 ＝894（个） 答：当x＝28时，娜娜这篇作文一共有894个字。 变式训练：（24-25五年级上·河北保定·期中）全体五年级师生去春游，恰好坐满了x辆大客车和x辆中巴车，每辆大客车可乘坐乘客46人，每辆中巴车可乘坐乘客20人。 （1）用含有字母的式子表示五年级师生的总人数。 （2）算一算，当时，五年级师生共有多少人？ 【答案】（1）66x人 （2）396人 【技巧点拨】（1）每辆大客车可乘坐的人数×大客车数量＋每辆中巴车可乘坐的人数×中巴车数量＝总人数，据此用字母表示出五年级师生的总人数； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【规范解答】（1）46×x＋20×x＝66x（人） 答：五年级师生的总人数是66x人。 （2）66x ＝66×6 ＝396（人） 答：当时，五年级师生共有396人。 类型2 用字母表示运算定律及计算公式 典型例题2：（24-25五年级上·江苏徐州·期末）用两个长m分米，宽n分米的长方形拼成一个大长方形。 （1）用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长最少是多少分米，最多是多少分米？ （2）当，时，这个大长方形的周长最多是多少分米？ 思路分析：（1）当两个长方形拼在一起，减少的长度最多，则周长最少，把两个长方形的长重合在一起时周长最小；减少的长度最少，则周长最大，把两个长方形的宽重合在一起时周长最大；根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出大长方形的周长最少、最多，据此解答。 （2）把m＝16，n＝12代入（1）的算式，即可解答。 【规范解答】（1）周长最少，把两个长方形的长重合在一起。 长是m分米；宽是n×2＝2n（分米）。 周长： （m＋2n）×2 ＝（2m＋4n）分米 周长最多，把两个长方形的宽重合在一起。 长：m×2＝2m（分米），宽是n分米。 周长： （2m＋n）×2 ＝（4m＋2n）分米 答：大长方形的周长最少是（2m＋4n）分米，最多是（4m＋2n）分米。 （2）当m＝16，n＝12时： 周长最多是： 16×4＋12×2 ＝64＋24 ＝88（分米） 答：这个大长方形的周长最多是88分米。 变式训练：（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 【答案】（1）2.4x＋1.8 （2）8千米 【技巧点拨】（1）行驶千米数－3千米＝超出3千米的部分，乘对应收费标准，再加上起步价就是付的钱数，据此用字母表示出付的钱数。 （2）付的钱数－起步价，先求出超出起步价的钱数，除以对应收费标准，求出超出3千米的距离，再加上3千米即可。 【规范解答】（1）y＝（x－3）×2.4＋9＝2.4x－7.2＋9＝2.4x＋1.8 它们之间的关系可以用式子表示为y＝2.4x＋1.8。 （2）（22.5－9）÷2.7＋3 ＝13.5÷2.7＋3 ＝5＋3 ＝8（千米） 答：他家到医院最多有8千米。 类型3 用字母表示稍复杂的数量关系 典型例题3：（23-24五年级上·山东菏泽·期末）要修一段公路，平均每天修c米，修了6天，还剩b米。 （1）用含有字母的式子表示这段公路有多少米。 （2）根据这个式子，求c＝50，b＝200时，公路长多少米？ 思路分析：（1）根据题意可得出数量关系：平均每天修路的长度×修的天数＋还剩的长度＝这条公路的全长，据此用含有字母的式子表示这段公路的全长。 （2）把c＝50，b＝200代入（1）的式子中，计算出得数即可。 【规范解答】（1）c×6＋b＝（6c＋b）米 答：这段公路有（6c＋b）米。 （2）当c＝50，b＝200时 6c＋b ＝6×50＋200 ＝300＋200 ＝500（米） 答：公路长500米。 变式训练：（23-24五年级下·江苏·期中）某出租车公司规定：乘车起步价为6元（3千米以内），3千米以外的每千米按2.5元收费（不足1千米按1千米收费）。小明乘出租车行了m千米（m＞3，且为整数）。 （1）用式子表示小明应付的钱数。 （2）当m＝11时，小明应付多少钱。 【答案】（1）[6＋2.5（m－3）] 元      （2）26元 【技巧点拨】（1）从题意可知小明乘出租车的路程超过3千米，他的车费由起步价和超过部分价钱两部分组成。起步价为6元，超过部分的路程是（m－3）千米，每千米按2.5元收，即[2.5（m－3）]元。将这两部分相加即可。 （2）将m＝11代入含字母的式子即可。 【规范解答】（1）小明应付的钱为[6＋2.5（m－3）] 元 （2）当m＝11时： 6＋2.5（m－3） ＝6＋（11－3）×2.5 ＝6＋8×2.5 ＝6＋20 ＝26 答：当m＝11时，小明应付26元。 类型4 含有字母式子的化简与求值 典型例题4：（24-25五年级上·河南郑州·期中）甲乙两船分别从两地同时相对开出，经过t小时相遇，甲船平均每小时行38千米，乙船平均每小时行a千米。 （1）用字母表示两地的距离。 （2）如果a＝50，t＝1.5，此时两地的距离是多少千米？ 思路分析：（1）已知甲船平均每小时行38千米，乙船平均每小时行a千米，经过t小时相遇。根据“路程＝速度和×相遇时间”可表示出两地的距离为（38＋a）×t千米。 （2）把a＝50，t＝1.5代入（38＋a）×t中即可计算出两地的距离。 【规范解答】（1）用字母表示两地的距离是（38＋a）×t千米。 （2）当a＝50，t＝1.5时， （38＋a）×t ＝（38＋50）×1.5 ＝88×1.5 ＝132 答：如果a＝50，t＝1.5，此时两地的距离是132千米。 变式训练：（24-25五年级上·北京西城·期末）妈妈想给小红的书桌配一把学生座椅，她查阅了相关资料。 （1）某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是（    ）厘米。小红的身高是150厘米。用上面的式子计算，最适宜她的座椅高度是（    ）厘米。 （2）专卖店有一把高度为32厘米的学生座椅，把它推荐给身高为多少厘米的学生最为适宜？（列式解答） 【答案】（1）0.25a＋2；39.5 （2）（32－2）÷0.25＝120（厘米） 【技巧点拨】（1）分析题目，座椅的高度＝学生的身高×0.25＋2，据此把学生的身高代入列式计算即可； （2）根据座椅的高度＝学生的身高×0.25＋2可知，学生的身高＝（座椅的高度－2）÷0.25，据此把32代入列式计算即可。 【规范解答】（1）a×0.25＋2＝（0.25a＋2）厘米 150×0.25＋2 ＝37.5＋2 ＝39.5（厘米） 某学生的身高是a厘米，最适宜这个学生的座椅高度是（0.25a＋2）厘米。小红的身高是150厘米。用上面的式子计算，最适宜她的座椅高度是39.5厘米。 （2）（32－2）÷0.25 ＝30÷0.25 ＝120（厘米） 答：把椅子推荐给身高为120厘米的学生最为适宜。 类型5 等式的认识及列等量关系式 典型例题5：（24-25五年级下·云南红河·期末）长颈鹿和梅花鹿同属鹿类，身高却有着天壤之别。长颈鹿身材极为高大，而梅花鹿体型小巧玲珑。请你算一算：下图中梅花鹿的身高是多少米？（写出数量关系并用方程解答） 数量关系： 思路分析：已知长颈鹿的身高是梅花鹿的3.5倍，据此设梅花鹿的身高是米，则长颈鹿的身高是3.5米； 已知长颈鹿的身高比梅花鹿的高3.6米，用长颈鹿的身高减去梅花鹿的身高即是它们身高相差的3.6米，据此得出数量关系，按数量关系列出方程，并求解。 【规范解答】数量关系：长颈鹿的身高－梅花鹿的身高＝长颈鹿比梅花鹿高3.6米 解：设梅花鹿的身高是米，则长颈鹿的身高是3.5米。 3.5－＝3.6 2.5＝3.6 2.5÷2.5＝3.6÷2.5 ＝1.44 答：梅花鹿的身高是1.44米。 变式训练：（24-25五年级上·重庆·期末）方程2x＋7＝13不能表示下面哪个事件中的等量关系（    ）。 A．一本图画书x元，笑笑带了13元，想买2本图画书，还差7元。 B．一本练习册共13页，安安每天写2页，写了x天，还剩7页未写。 C．弟弟今年x岁，姐姐年龄是弟弟年龄的2倍大7岁，姐姐今年13岁。 D．买x个包子和一份肠粉共13元，一个包子2元，一份肠粉7元。 【答案】A 【技巧点拨】根据各选项的数量关系，列出方程，再与方程“2x＋7＝13”进行比较，选出不同的即可。 【规范解答】A．等量关系是：2本图画书的价钱－7元＝笑笑带的钱数，方程为：2x－7＝13，符合题意； B．等量关系是：安安x天写的页数＋剩下的页数＝13页，方程为：2x＋7＝13，不符合题意； C．等量关系是：弟弟年龄×2＋7岁＝姐姐年龄，方程为：2x＋7＝13，不符合题意； D．等量关系是：x个包子的价钱＋一份肠粉的价钱＝13元，方程为：2x＋7＝13，不符合题意。 故答案为：A 类型6 等式的性质1 典型例题6：（24-25五年级下·福建厦门·期中）天平上左盘装有两个大小相同的小球、一个大球和一个正方体。下图表示将球从天平左盘取走的过程和天平右盘砝码的变化情况，a、b、c表示三个砝码的质量。根据图中的信息，下面表示大球质量的式子中，正确的是（    ）。 A．a－b B．2b－a－c C．a－b－c D．a＋b－2c 思路分析：A．a表示2个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；b表示1个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；所以a－b表示一个小球的质量； B．2b表示2个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去a（2个小球、1个大球、1个正方体），再减去c（1个正方体），可知2b－a－c表示一个大球的质量； C．由选项A可知a－b表示一个小球的质量，再减去c（1个正方体），则a－b－c表示1个小球与1个正方体的质量之差； D．a＋b表示3个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去2c（2个正方体）后剩下3个小球、2个大球的质量之和。 【规范解答】A．a－b表示1个小球的质量，不符合题意； B．2b－a－c表示1个大球的质量，符合题意； C．a－b－c表示1个小球与1个正方体的质量之差，不符合题意； D．a＋b－2c表示3个小球与2个大球的质量之和，不符合题意。 所以，表示大球质量的式子中，正确的是2b－a－c。 故答案为：B 变式训练：（23-24五年级上·全国·周测）天平左边放1个梨和1个李子，右边放6个李子时天平刚好保持平衡。若两边都拿掉1个李子，天平还会平衡吗？1个梨和几个李子一样重？ 【答案】会；1个梨和5个李子一样重。 【技巧点拨】由题意可知，1个梨＋1个李子＝6个李子，两边都拿掉1个李子，因为原来重量相等，拿掉的重量也相等，则剩下的重量也会相等，据此解答。 【规范解答】1个梨＋1个李子＝6个李子 1个梨＋1个李子－1个李子＝6个李子－1个李子 1个梨＝5个李子 答：天平还会平衡；1个梨和5个李子一样重。 类型7 等式的性质2 典型例题7：（22-23四年级下·山东泰安·期中）小明的体重是54千克，小明的体重是小华的1.2倍。小华的体重是多少千克？（列方程解答） 思路分析：将小华的体重设为x千克，求一个数的几倍是多少用乘法计算，那么列出方程1.2x＝54，运用等式的性质解方程即可；等式的性质：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【规范解答】解：设小华的体重是x千克。 1.2x＝54 1.2x÷1.2＝54÷1.2 x＝45 答：小华的体重是45千克。 变式训练：（24-25五年级上·全国·单元测试）在美国加利福尼亚州发现了一棵高达142米的巨杉，大约比非洲猴面包树的8倍还高14米，猴面包树大约有多高？ 【答案】16米 【技巧点拨】由题意可知：猴面包树的高度×8＋14＝巨杉的高度，设猴面包树的高度大约为x米，依据这个等量关系式，即可列方程求解。 【规范解答】解：设猴面包树的高度大约为x米。 8x＋14＝142 8x＋14－14＝142－14 8x＝128 8x÷8＝128÷8 x＝16 答：猴面包树大约有16米。 【考点剖析】找出题中的等量关系式是解答本题的关键。 类型8 应用等式的性质1解方程 典型例题8：（24-25五年级上·河北·课后作业）列方程并求解。 一只鸵鸟奔跑的速度是54.3千米/时，比在路上行驶的一辆卡车的速度快8.6千米/时。卡车的速度是多少千米/时？ 思路分析：分析题目，等量关系为：卡车的速度＋8.6＝鸵鸟的速度，据此设卡车的速度是x千米/时，再列出方程，最后根据等式的基本性质解出方程即可。 【规范解答】解：设卡车的速度是x千米/时。 x＋8.6＝54.3 x＋8.6－8.6＝54.3－8.6 x＝45.7 答：卡车的速度是45.7千米/时。 变式训练：（2024四年级下·辽宁·专题练习）王老师去书店买了1本《草房子》和3本《格林童话》一共花了98.4元，每本《格林童话》24.2元，每本《草房子》多少元？（用方程解答） 【答案】25.8元 【技巧点拨】根据题意，设每本《草房子》的价格为x元，先用24.2×3求出3本《格林童话》所花费的钱数，再加上1本《草房子》价格x元，即为一共花费的钱数，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：设每本《草房子》的价格为x元。 24.2×3＋x＝98.4 72.6＋x＝98.4 72.6＋x－72.6＝98.4－72.6 x＝25.8 答：每本《草房子》25.8元。 类型9 应用等式的性质2解方程 典型例题9：（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 思路分析：解决本题的关键是求出两人每次相遇的间隔时间，相遇时，两人的总路程是（100×2）米，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出两人每次相遇间隔的时间，设两人在这段时间内共相遇x次，根据每次相遇间隔的时间×相遇次数＝总时间，列出方程解答即可。 【规范解答】2分＝120秒 两人每次相遇间隔的时间：100×2÷（2＋3） ＝200÷5 ＝40（秒） 解：设两人在这段时间内共相遇x次。 40x＝120 40x÷40＝120÷40 x＝3 答：两人在这段时间内共相遇3次。 变式训练：（23-24五年级下·重庆璧山·期末）蚂蚁运粮。粮食基地与蚂蚁洞口相距200厘米，蚂蚁哥哥从基地向蚁洞搬运粮食，蚂蚁弟弟同时从洞口出发去迎接，相遇时哥哥把粮食交给弟弟然后又原路返回基地搬运，弟弟把粮食搬运到洞口存放又去迎接哥哥。哥哥每秒走的路程是弟弟的1.5倍，他们经过40秒第一次相遇。问： （1）哥哥和弟弟每秒分别走多少厘米？ （2）从开始搬运粮食起到哥哥和弟弟第二次相遇时，经过了多少秒？ 【答案】（1）哥哥：3厘米；弟弟：2厘米 （2）120秒 【技巧点拨】（1）设弟弟每秒走x厘米，则哥哥每秒走（1.5x）厘米，根据路程＝速度和×相遇时间，列出方程，解方程即可解答。 （2）从开始搬运到第一次相遇，它们一共走了200厘米；第一次相遇后哥哥返回到基地，弟弟返回到洞口，它们行走的路程之和为200厘米；弟弟重新从洞口出发，哥哥重新从基地出发，它们第二次相遇时，一共走了200厘米。因此从开始搬运粮食起到哥哥和弟弟第二次相遇时，它们一共行走了（200＋200＋200）厘米，根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入相应数值计算，据此解答。 【规范解答】（1）解：设弟弟每秒走x厘米，则哥哥每秒走（1.5x）厘米。 （1.5x＋x）×40＝200 （1.5x＋x）×40÷40＝200÷40 1.5x＋x＝5 2.5x＝5 2.5x÷2.5＝5÷2.5 x＝2 哥哥：2×1.5＝3（厘米） 答：哥哥每秒走3厘米，弟弟每秒走2厘米。 （2）从开始到第二次相遇，它们一共行走的路程：200＋200＋200＝600（厘米） 600÷（2＋3） ＝600÷5 ＝120（秒） 答：从开始搬运粮食起到哥哥和弟弟第二次相遇时，经过了120秒。 类型10 应用等式的性质1和2解方程 典型例题10：（25-26五年级上·全国·单元测试）2024年1月17日，“天舟七号”货运飞船在长征七号运载火箭的托举下，进入太空。“天舟七号”货运飞船此次携带的货物多达260余件，包括龙年春节年货、新鲜果蔬大礼包等。“天舟六号”货运飞船运输物资总重比“天舟七号”货运飞船运输物资总重的1.05倍少80千克，（    ），“天舟七号”货运飞船运输物资总重约多少千克？（先选一个条件，再解答） ①“天舟七号”和“天舟六号”一共运输了11400千克物资。 ②“天舟七号”比“天舟六号”少运输了200千克物资。 思路分析：设“天舟七号”货运飞船运输物资总重约x千克，则“天舟六号”货运飞船运输物资总重为（1.05x－80）千克，如果选择条件，根据等量关系式：“天舟六号”货运飞船运输物资总重＋“天舟七号”货运飞船运输物资总重＝11400千克，列出方程并解方程；如果选择条件，根据等量关系式：“天舟六号”货运飞船运输物资总重－“天舟七号”货运飞船运输物资总重＝200千克，列出方程并解方程。 【规范解答】①解：设“天舟七号”货运飞船运输物资总重约x千克。 1.05x－80＋x＝11400 2.05x－80＝11400 2.05x－80＋80＝11400＋80 2.05x＝11480 2.05x÷2.05＝11480÷2.05 x＝5600 答：“天舟七号”货运飞船运输物资总重约5600千克。 ②1.05x－80－x＝200 0.05x－80＝200 0.05x－80＋80＝200＋80 0.05x＝280 0.05x÷0.05＝280÷0.05 x＝5600 答：“天舟七号”货运飞船运输物资总重约5600千克。 变式训练：（25-26五年级上·全国·单元测试）重阳节是中国民间传统节日，自古以来都有登高望远的习俗。某旅行社推出了重阳节登山一日游，收费标准如下，妙妙和同学一起报名了，且每人都点了一盒重阳糕，一共花费了375元，这一行有多少人？（列方程解答） 人数 收费标准 1~3人 按标准价，每人40元（重阳糕一盒25元） 3人以上 超过3人的部分：每人30元（重阳糕一盒15元） 【答案】7人 【技巧点拨】根据，本题首先测算出3人的时候需要花费元，因此判断这一行人肯定在3人以上。这样就需要用到条件“超过3人的部分：每人30元（重阳糕一盒15元）”，即195元是肯定有的，并且还需要用（30＋15）乘超过3人的人数得到3人以上的金额，而总的花费是375元。据此设这一行有x人，可以列出方程式，求解即可。 【规范解答】解：（40＋25）×3＝195（元），195＜375，所以这一行人超过了3人，设这一行有x人。 195＋（30＋15）×（x－3）＝375 195＋45×（x－3）＝375 195＋45×（x－3）－195＝375－195 45×（x－3）＝180 45×（x－3）÷45＝180÷45 x－3＝4 x－3＋3＝4＋3 x＝7 答：这一行有7人。 类型11 解含括号的方程 典型例题11：（24-25五年级上·河北邯郸·期末）网约专车是一种新型打车商业模式，叫车付钱都能在网上实现。某专车收费标准如下表。（不足千米按千米计算）王经理从公司乘豪华型专车去机场，共付车费76.5元。那么他公司到机场的距离最远是多少千米？ 路程 收费标准（舒适型） 收费标准（豪华型） 3千米内（含3千米） 10元 18元 3千米以上部分 2.7元/千米 3.9元/千米 思路分析：根据豪华型专车收费标准，车费76.5元包含行驶3千米的车费18元及行驶3千米以上部分的车费。设公司到机场的最远距离是千米，根据18元＋行驶3千米以上部分的车费＝76.5元，列方程解答。 【规范解答】解：设公司到机场的最远距离是千米 答：公司到机场的距离最远是18千米。 变式训练：（24-25五年级上·河北·单元测试）甲、乙两个修路队共同修一段长为125千米的路，甲队平均每天修4千米，修了2天后，乙队加入又共同修了13天后全部完工。乙队平均每天修多少千米？ 【答案】5千米 【技巧点拨】根据题意可知，修一段长125千米的路，是由甲队先修了2天，再由甲、乙两队合修13天一起完成，得出等量关系：甲平均每天修的长度×2＋（甲平均每天修的长度＋乙平均每天修的长度）×13＝这段路的全长，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设乙队平均每天修千米。 4×2＋（4＋）×13＝125 4×2＋4×13＋13＝125 8＋52＋13＝125 60＋13＝125 60＋13－60＝125－60 13＝65 13÷13＝65÷13 ＝5 答：乙队平均每天修5千米。 类型12 解等号两边都有未知数的方程 典型例题12：（23-24五年级上·全国·单元测试）学校组织春游，需租用汽车若干辆，如果每辆汽车坐40人，则有20人没有上车；如果每辆汽车坐45人，则可空出一辆汽车，并且有一辆车还可再坐10人。问有多少辆汽车？共有多少名学生？ 思路分析：根据题意可知，学生的总人数一定，可以假设有x辆汽车。可得出等量关系：40×汽车的辆数＋20＝45×（汽车的辆数－1）－10，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设有辆汽车。 40＋20＝45（－1）－10 40＋20＝45－45－10 40＋20＝45－55 40＋20－40＝45－55－40 20＝5－55 5－55＝20 5－55＋55＝20＋55 5＝75 5÷5＝75÷5 ＝15 共有学生： 40×15＋20 ＝600＋20 ＝620（名） 答：有15辆汽车，共有620名学生。 变式训练：（23-24五年级上·全国·单元测试）小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 【答案】5本 【技巧点拨】根据“小军原有书的本数是小力的3倍”，可以设小力原来有本，那么小军原来有3本； 根据“小军所有的书是小力的2倍”，可得出等量关系：（小力原有书的本数＋6）×2＝小军原有书的本数＋7，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设小力原来有本，那么小军原来有3本。 2（＋6）＝3＋7 2＋12＝3＋7 2＋12－2＝3＋7－2 12＝＋7 ＋7＝12 ＋7－7＝12－7 ＝5 答：小力原来有5本书。 类型13 方程的检验 典型例题13：（22-23五年级下·江苏泰州·期中）2021年5月29日，我国成功发射天舟二号货运飞船，飞船此行的主要任务是把航天员和空间站所需的物资送上天，物资包括货包和推进剂两大类，其中货包的质量约是推进剂的倍，货包的质量比推进剂多吨，货包和推进剂的质量各是多少吨？先列方程解答，再检验。） 思路分析：设推进剂的质量是x吨，货包的质量约是推进剂的2.4倍，则货包的质量为2.4x吨，货包的质量比推进剂多2.8吨，即货包的质量－推进剂的质量＝2.8吨，列方程：2.4x－x＝2.8，解方程，求出推进剂的质量，进而求出货包的质量，再进行检验，据此解答。 【规范解答】解：设推进剂的质量是x吨，则货包质量是2.4x吨。 2.4x－x＝2.8 1.4x＝2.8 1.4x÷1.4＝2.8÷1.4 x＝2 货包质量：2×2.4＝4.8（吨） 检验：x＝2时， 左边：2.4×2－2 ＝4.8－2 ＝2.8 右边＝2.8 左边＝右边，x＝2是方程的解。 答：货包的质量是4.8吨，推进剂的质量是2吨。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，利用推进剂与货包质量之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 变式训练：（22-23六年级下·浙江温州·期末）备受瞩目的第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行。作为主会场的“大莲花”体育场总建筑面积约为22.9公顷，它比杭州奥体中心游泳馆的4倍还多1.3公顷。那么奥体中心游泳馆的总建筑面积约多少公顷？ （1）用方程解答： （2）你的解答正确吗？请你检验，并把检验的过程写下来。 【答案】（1）5.4公顷 （2）正确；检验见详解 【技巧点拨】（1）由题意可知，设奥体中心游泳馆的总建筑面积约x公顷，根据等量关系：奥体中心游泳馆的面积×4＋1.3＝“大莲花”体育场总建筑面积，据此列方程解答即可； （2）根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用（1）中求得奥体中心游泳馆的总建筑面积乘4再加上1.3检验是否等于“大莲花”体育场总建筑面积，若等于则解答正确，反之则错误。 【规范解答】（1）解：设奥体中心游泳馆的总建筑面积约x公顷。 4x＋1.3＝22.9 4x＋1.3－1.3＝22.9－1.3 4x＝21.6 4x÷4＝21.6÷4 x＝5.4 答：奥体中心游泳馆的总建筑面积约5.4公顷。 （2）5.4×4＋1.3 ＝21.6＋1.3 ＝22.9（公顷） 答：结果等于“大莲花”体育场总建筑面积，所以解答正确。 【考点剖析】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 类型14 列方程解含一个未知数的问题 典型例题14：（24-25五年级上·河北沧州·期中）张阿姨去布店买了20米白布和花布，其中白布3.5元/米，花布4元/米。算账时，营业员把白布和花布的单价算反了，结果张阿姨付了74元。请问是张阿姨多付了，还是布店亏了？张阿姨多付了或者布店亏了多少钱？ 思路分析：我们需要先设白布或花布的长度，根据已知条件列出方程求出白布和花布实际的米数，再分别计算出正确价格和错误价格，通过比较两者得出是张阿姨多付还是布店亏了，以及具体的差价。设未知数并列出方程：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。算错单价时，白布的米数×花布每米的价钱＋花布的米数×白布每米的价钱＝74元，可列方程，解出，即张阿姨买了8米白布，花布买了20－8＝12（米）。再用3.5×8＋4×12算出正确价格，然后与74元比较、相减即可得解。 【规范解答】解：设张阿姨买了米白布，则买了（20－）米花布。 20－8＝12（米） （元） 74元＜76元 76－74＝2（元） 答：布店亏了，亏了2元。 【考点剖析】本题围绕单价、数量和总价的知识点展开，通过设未知数、列方程求出白布和花布的实际数量，进而算出正确价格和错误价格进行比较。关键在于理解三者关系，准确列出方程求解。 变式训练：（24-25五年级上·山东枣庄·期中）如图是王阿姨的超市购物小票，你能算出王阿姨购买了多少千克香肠吗？ 【答案】0.85千克 【技巧点拨】单价×数量＝总价，设王阿姨购买了x千克香肠，根据香肠单价×质量＋刀鱼单价×质量＝付款钱数，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设王阿姨购买了x千克香肠。 32x＋28.5×1.6＝72.8 32x＋45.6＝72.8 32x＋45.6－45.6＝72.8－45.6 32x＝27.2 32x÷32＝27.2÷32 x＝0.85 答：王阿姨购买了0.85千克香肠。 类型15 列方程解含两个未知数的问题 典型例题15：（25-26五年级上·全国·单元测试）操场在校园中是不可缺少的、最为重要的开放空间。规划设计时充分考虑操场空间的功能和设施。如图为该操场尺寸。 （1）若沿着长方形操场的四周等间距设置25块体育知识科普栏（科普栏宽度忽略不计），则间距应该设置为多少米？ （2）请你根据图中要求试求此时位于长和宽上的科普栏间距应该分别设置为多少米？ 要求 1.操场共设置30块科普栏； 2.每边的两个端点上均设置，每边上的科普栏均等间距设置； 3.每个长边上的科普栏数量比每个短边上多5个（含端点处）。 思路分析：（1）因为要沿着长方形操场四周等间距设置25块科普栏，所以属于封闭曲线上植树问题，间隔数＝科普栏数，所以间距＝总长÷块数，总长＝（长＋宽）×2； （2）每边的两个端点上均设置，那么设置的总数＝（长边的块数＋短边的块数）×2－4，根据数量关系列方程求出两边的数量；又因为每条边两端均设置，且科普栏等间距设置，所以每条边上为两端都栽的植树问题。所以间隔数＝科普栏－1，宽边上科普栏间距＝宽÷间隔数，长边上科普栏间距＝长÷间隔数。 【规范解答】（1）（115＋85）×2÷25 ＝200×2÷25 ＝400÷25 ＝16（米） 答：间距应该设置为16米。 （2）解：设每个短边上科普栏数量为x块，则每个长边为（x＋5）块。 2（x＋x＋5）－4＝30 4x＋10－4＝30 4x＝24 x＝6 6＋5＝11（块） 85÷（6－1） ＝85÷5 ＝17（米） 115÷（11－1） ＝115÷10 ＝11.5（米） 答：每条长边上科普栏间距设置为11.5米，宽边上科普栏间距设置为17米。 变式训练：（25-26五年级上·全国·单元测试）在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 【答案】10分钟；15分钟 【技巧点拨】当两人同时同地顺时针跑步时，每隔30分钟相遇一次，这是追及问题，此时两人的速度差为跑道一圈的长度除以追及时间，即900÷30＝30米/分钟； 当妙妙逆时针、甜甜顺时针跑步时，每隔6分钟相遇一次，这是相遇问题，此时两人的速度和为跑道一圈的长度除以相遇时间，即900÷6＝150米/分钟； 设两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米，根据速度和为150米/分钟即可列方程为x＋（30＋x）＝150，求解出x以及（30＋x）的值，即为两人的速度；再根据“时间＝路程÷速度”即可分别求出两人各跑一圈分别所需时间。 【规范解答】900÷30＝30（米/分钟） 900÷6＝150（米/分钟） 解：设妙妙和甜甜两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米。 x＋（30＋x）＝150 x＋x＋30＝150 2x＋30＝150 2x＋30－30＝150－30 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 30＋x ＝30＋60 ＝90 900÷90＝10（分钟） 900÷60＝15（分钟） 答：两人各跑一圈分别需要10分钟、15分钟。 【考点剖析】将环形跑道上的追及问题和相遇问题结合，通过“速度和”与“速度差”这两个关键量，利用和差问题的公式列方程求出两人各自的速度，进而算出跑一圈的时间。 类型16 列方程解决稍复杂的实际问题 典型例题16：（24-25五年级上·广东湛江·期中）某食堂运进大米、面粉和面条共13.2吨，已知大米的重量比面粉的3倍少0.6吨，面粉的重量比面条的3倍多0.2吨，该食堂运进大米、面粉和面条各多少吨？ 思路分析：设面条重量为x吨。面粉重量比面条的3倍多0.2吨，因此面粉重量为（3x＋0.2）吨；大米重量比面粉的3倍少0.6吨，将面粉重量代入，得大米重量为：3×（3x＋0.2）－0.6吨，三种食材总重量为13.2吨，因此列方程：x＋（3x＋0.2）＋3×（3x＋0.2）－0.6＝13.2，然后解方程即可。 【规范解答】解：设面条重量为x吨。 x＋（3x＋0.2）＋3×（3x＋0.2）－0.6＝13.2 x＋3x＋0.2＋9x＋0.6－0.6＝13.2 13x＋0.2＝13.2 13x＋0.2－0.2＝13.2－0.2 13x＝13 13x÷13＝13÷13 x＝1 3×1＋0.2 ＝3＋0.2 ＝3.2（吨） 3×3.2－0.6 ＝9.6－0.6 ＝9（吨） 答：该食堂运进大米9吨、面粉3.2吨和面条1吨。 变式训练：（23-24五年级上·浙江湖州·期末）甲、乙、丙、丁四人同时出发，甲、乙、丙三人从教室去图书馆，丁从图书馆回教室。甲每分钟走70米，乙每分钟走55米，丁分别在出发后8分钟、9分钟、10分钟与甲、乙、丙三人相遇。丙每分钟走多少米？ 【答案】43米 【技巧点拨】假设丁每分钟走米，因为图书馆和教室之间的距离不变，所以丁和甲相遇时的路程和等于丁和乙相遇时的路程和，根据路程和＝时间×速度和，据此列方程：，计算出丁的速度以及图书馆和教室之间的距离。根据题意，丁在出发后10分钟与丙相遇，根据速度和＝路程和÷时间，则丙的速度＝路程和÷时间－丁的速度，据此解答。 【规范解答】解：设丁每分钟走米， （米） （米） 答：丙每分钟走43米。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25五年级上·山东德州·期中）第一箱橘子重a千克，第二箱橘子重b千克，如果从第一箱中取出4千克，放入第二箱，那么第一箱和第二箱质量相等。列等式是（    ）。 A．a＋4＝b－4 B．（a＋b）÷2 C．a－4＝b＋4 D．2a－2b＝4 【答案】C 【技巧点拨】第一箱原有a千克，取出4千克后，质量变为（a－4）千克；第二箱原有b千克，放入4千克后，质量变为（b＋4）千克；此时两箱质量相等，因此等式为：a－4＝b＋4。 【规范解答】第一箱：a－4（千克） 第二箱：b＋4（千克） 因为现在的第一箱和第二箱质量相等，所以列等式为a－4＝b＋4。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·广东佛山·期中）下面的选项中，不能用方程“3x＋2＝20”来表示的是（    ）。 A．买3kg苹果，每千克苹果x元，付出20元，找回2元 B．保温杯一圈长xcm，用一根20cm长的细绳绕保温杯3圈，还多出2cm C．3 个小球的总质量比一个大球轻2g，每个小球重xg，每个大球重20g D．飞机每分钟飞行xkm，3分钟飞行了20km 【答案】D 【技巧点拨】写出各选项的方程，找出不能用方程“3x＋2＝20”来表示的选项。 A．根据总价＝单价×数量，买苹果的钱＋找回的钱＝付出的钱列方程。 B．根据绕保温杯的长度＋多出的长度＝一共的长度列方程。 C．根据3个小球的重量＋轻的部分的重量＝大球的重量列方程。 D．根据速度×时间＝路程列方程。 【规范解答】A．根据题意列方程：3x＋2＝20，不符合题意。 B．根据题意列方程：3x＋2＝20，不符合题意。 C．根据题意列方程：3x＋2＝20，不符合题意。 D．根据题意列方程：3x＝20，该选项不能用方程3x＋2＝20来表示。 故答案为：D 3．（24-25五年级上·河北沧州·期中）甲数、乙数和丙数是三个连续的偶数，甲数最小。如果乙数是a，那么甲数是( )，丙数是( )。 【答案】 a－2 a＋2/2＋a 【技巧点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知甲数、乙数和丙数是三个连续的偶数，乙数是a，表示乙数在中间，甲数最小，则丙数最大；根据连续偶数的特点“两个相邻的偶数相差2”，据此得出甲数、丙数。 【规范解答】由题意可得：甲数＜乙数＜丙数； 乙数是a，则a－2＜a＜a＋2。 如果乙数是a，那么甲数是（a－2），丙数是（a＋2）。 4．（24-25五年级上·山东聊城·期中）研究表明，10岁到50岁的人每天需要的睡眠时间（单位：时）与年龄（单位：岁）有关，并且可以用这个式子计算：睡眠时间＋年龄×0.1＝11.1，李叔叔每天睡8小时，正好满足睡眠时间要求，李叔叔今年多少岁？（用方程解） 【答案】31岁 【技巧点拨】设李叔叔今年x岁；根据睡眠时间＋年龄×0.1＝11.1，列方程：8＋0.1x＝11.1，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设李叔叔今年x岁。 8＋0.1x＝11.1 8＋0.1x－8＝11.1－8 0.1x＝3.1 0.1x÷0.1＝3.1÷0.1 x＝31 答：李叔叔今年31岁。 5．（24-25五年级上·广东佛山·期中）“ 一剪之趣夺神功，美在民间永不朽”是对佛山剪纸的称赞。姐妹二人在家学 习剪纸，计算姐妹二人各用了多少张蜡光纸。 （1）解决这个问题，你选择的信息是（    ）和（    ）。（填序号） ①姐姐用的张数是妹妹的2.5倍。   ②姐姐和妹妹一共用了21张。 ③姐姐比妹妹多用了9张。 （2）根据选择的信息列方程解答。 【答案】（1）①② （2）姐姐15张，妹妹6张。 【技巧点拨】要求姐妹二人各用了多少张蜡光纸，选择的信息就应该与姐姐和妹妹用的蜡光纸有关。选择①②时，设妹妹用了x张，则姐姐用了2.5x张，可以列方程为2.5x＋x＝21。选择①③时，设妹妹用了x张，则姐姐用了2.5x张，可以列方程为2.5x－x＝9。选择②③时，设妹妹用了x张，则姐姐用了（x＋9）张，可以列方程为（x＋9）＋x＝21。解方程时，要用等式的基本性质。 【规范解答】（1）解决这个问题，你选择的信息是（①）和（②） （2）解：设妹妹用了x张，则姐姐用了2.5x张。 2.5x＋x＝21   3.5x＝21   3.5x÷3.5＝21÷3.5 x＝6 2.5x＝2.5×6＝15 答：姐姐用了15张，妹妹用了6张。 1．（24-25五年级上·山东德州·期中）下列选项中，能用“1.5a＝12”表示的是（    ）。 A．一块长方形麦田的长是a千米，宽是1.5千米，周长是12千米 B．一台小型收割机每天收割1.5公顷玉米，12天一共收割a公顷玉米 C．每千克冬小麦种子a元，买了1.5千克，一共花了12元 D．把一根12米长的木头锯成1.5米长的小段，一共锯了a次 【答案】C 【技巧点拨】长方形周长公式为：周长＝（长＋宽）×2；工作总量＝工作效率×工作时间；总价＝单价×数量；锯的段数＝总长÷每段长度；据此分析各选项，看是否符合“1.5a＝12”，进而确定正确答案。 【规范解答】A．（a＋1.5）×2＝12，化简为2a＋3＝12，不符合“1.5a＝12”。 B．a＝1.5×12，变形为a÷12＝1.5，不符合“1.5a＝12”。 C．1.5a＝12，完全符合等式，正确。 D．12÷1.5＝8（段），锯的次数＝段数－1，即a＝8－1，与“1.5a＝12”无关。 能用“1.5a＝12”表示的是选项C中的说法。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·山东德州·期中）一套课桌椅的价格是169元，一张课桌的价格比一把椅子的3倍少8元，如果设一把椅子的价格是x元，那么列方程为（    ）。 A．3x－8＝169 B．x＋3x－8＝169 C．3x＋8＝169 D．3x÷8＝169 【答案】B 【技巧点拨】设一把椅子价格为x元，那么一张课桌的价格是“椅子价格的3倍少8元”，即3x－8元。一套课桌椅包括一张课桌和一把椅子，总价为169元，因此等量关系为“椅子价格＋课桌价格＝169”，即x＋（3x－8）＝169，计算得x＋3x－8＝169。 【规范解答】解：设一把椅子价格为x元。 x＋（3x－8）＝169 x＋3x－8＝169 所以列方程为x＋3x－8＝169。 故答案为：B 3．（24-25五年级上·浙江绍兴·期中）有两根同样长的铁丝，第一根用去2.3米，第二根用去7.5米，第一根余下的长度正好是第二根的2.3倍，这两根铁丝原来的长度各都是( )米。 【答案】11.5 【技巧点拨】设两根铁丝原来的长度各都是x米。第一根用去2.3米，剩下（x－2.3）米。第二根用去7.5米，剩下（x－7.5）米。再根据第一根余下的长度正好是第二根余下的长度的2.3倍，可列得方程第一根剩余的长度＝第二根剩余的长度×2.3，解得方程即可。 【规范解答】解：设两根铁丝原来的长度各都是x米。 所以这两根铁丝原来的长度各都是11.5米。 4．（24-25五年级上·山东德州·期中）两艘轮船同时从青岛码头出发，各往南北方向行驶。甲船每小时行驶30千米，乙船每小时行驶42千米，航行几小时后两轮船相距252千米？（列方程解答） 【答案】3.5小时 【技巧点拨】两船同时从同一点出发，分别向南北方向行驶，即向相反的方向行驶的。设航行x小时后两船相距252千米。甲船每小时行驶30千米，根据路程＝速度×时间，所以甲船行驶路程为30x千米；乙船每小时行驶42千米，则乙船行驶路程为42x千米；因为甲船路程＋乙船路程＝两船距离，即可列方程为30x＋42x＝252，然后解方程即可。 【规范解答】解：设航行x小时后两船相距252千米。 30x＋42x＝252 72x＝252 x＝252÷72 x＝3.5 答：航行3.5小时后两轮船相距252千米。 5．（25-26五年级上·全国·单元测试）驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 【答案】驴5个；骡子7个 【技巧点拨】由题意可知，如果从骡子背上拿走一个包裹给驴，那么它们两个驮的包裹一样多，骡子驮的包裹数量－1＝驴驮的包裹数量＋1，骡子驮的包裹数量＝驴驮的包裹数量＋2，说明骡子比驴多驮2个包裹，把驴驮的包裹数量设为未知数，用含有字母的式子表示出骡子驮的包裹数量，等量关系式：（驴驮的包裹数量－1）×2＝骡子驮的包裹数量＋1，据此列方程解答。 【规范解答】解：设驴驮了x个包裹，则骡子驮了（x＋2）个包裹。 2×（x－1）＝x＋2＋1 2x－2×1＝x＋3 2x－2＝x＋3 2x－2＋2＝x＋3＋2 2x＝x＋5 2x－x＝x＋5－x x＝5 5＋2＝7（个） 答：驴驮了5个包裹，骡子驮了7个包裹。 【考点剖析】本题主要考查列方程解决实际问题，准确设出未知数并找出等量关系式，最后根据等量关系式列出方程是解答题目的关键。 1．（23-24五年级下·福建厦门·期末）杠称是我国古代计量物体重量的工具，战国时期的《墨经》最早记录了杠称的原理。在称杆上安装吊绳作为支点，一端挂上重物，另一端挂上砝码或秤锤（称为“权”），支点到权一端的距离称为“标”，支点到重物端的距离称“本”，杠称的两端平衡就可以知道物体的重量（如图1）；移动支点的位置，“权”的位置和数量也随之变化（如图2）。 根据以上信息，图3中“权”的位置应该在（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【技巧点拨】观察图1，1个重物＝4个权，观察图2，2个权×4＝1个重物×2，由此可知，权×标＝重物×本，观察图3，2个重物×2＝4个权×2×2＝2个权×8，因此权的位置应该距支点8个标段处，据此分析。 【规范解答】因为1个重物＝4个权，所以2个重物＝4个权×2＝8个权 8个权×2÷2＝8（段） 图3中“权”的位置应该在①。 故答案为：A 【考点剖析】关键是根据图1和图2，确定权和重物之间的关系，将重物代换成权，即可确定标距。 2．（23-24五年级下·江苏南京·期中）如图，在长方形中有一个等腰直角三角形，长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，空白部分甲的周长比涂色部分乙的周长多（    ）厘米。 A． B．m C．2m D．3m 【答案】C 【技巧点拨】长方形的长比等腰直角三角形的腰多m厘米，梯形的周长＝长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边，等腰直角三角形的周长＝宽＋宽＋等腰直角三角形的斜边，据此求出梯形的周长－等腰直角三角形的周长来进行解答即可。 【规范解答】甲周长－乙周长 ＝梯形的周长－等腰直角三角形的周长 ＝（长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边）－（宽＋宽＋等腰直角三角形的斜边） ＝长＋宽＋m＋等腰直角三角形的斜边－宽－宽－等腰直角三角形的斜边 ＝长－宽＋m ＝m＋m ＝2m 故答案为：C 【考点剖析】本题考查用字母表示数、梯形和等腰直角三角形周长，解答本题的关键是找到甲乙周长的计算方法。 3．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 【答案】7或10 【技巧点拨】根据时间相等列出方程，利用总台阶数÷每秒走楼梯级数＝所用时间，则甲到顶层所用时间＝（总楼层数－出发楼层数）×每一层之间的楼梯级数÷甲每秒走楼梯级数；乙到底层所用时间＝（出发楼层数－1）×每一层之间的楼梯级数÷乙每秒走楼梯级数，整理出总楼层数和出发楼层数的关系，通过两者皆为整数，并且楼层数在11—19之间即可求出结果。 【规范解答】设出发楼层数为层，楼一共有层，题中描述这栋楼为十几层楼的高楼，则； 甲到顶层需走楼梯级数为，时间为； 乙到底层需走楼梯级数为，时间为； 两人所花时间相同则，化简为，即（层）； 因为和均为整数，且，那么： 当时，（层），即他们在这栋楼的第7层出发； 或当时，（层），即他们在这栋楼的第10层出发。 综上可知，他们在这栋楼的第7或10层出发。 【考点剖析】涉及到这种两人在多层建筑中同时出发，一个向上走，一个向下走，最终同时到达顶层或是底层，需要结合楼层间隔数，每层楼梯层数等信息，通过时间相等或是其他等量关系求出出发楼层数。 4．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人步行的速度分别为100米/分，90米/分，80米/分。甲在A地，乙、丙在B地，三人同时出发，甲和乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B两地之间的距离。 【答案】10260米 【技巧点拨】设甲、乙相遇时间为x分钟，则甲、丙相遇时间为（x＋3）分钟，根据等量关系式：甲和乙相遇时所走的路程＝甲和丙相遇时所走的路程和，列出方程并解方程求出甲、乙相遇的时间，用甲、乙两人的速度和乘相遇的时间，即可求出A、B两地之间的距离。 【规范解答】解：设甲、乙相遇时间为x分钟，则甲、丙相遇时间为（x＋3）分钟。 （100＋90）x＝（100＋80）×（x＋3） 190x＝180×（x＋3） 190x＝180x＋540 190x－180x＝540 10x＝540 10x÷10＝540÷10 x＝54 （100＋90）×54 ＝190×54 ＝10260（米） 答：A、B两地之间的距离为10260米。 【考点剖析】本题的关键是要找出甲乙与甲丙所行驶的路程相等的等量关系，再根据等量关系列方程解题。 5．（24-25五年级上·河北·单元测试）妈妈给了亮亮10元6角钱，正好可以买3千克香蕉和2千克苹果，结果亮亮把香蕉和苹果的数量弄颠倒了，因此少花了0.7元钱。香蕉和苹果每千克的价钱各是多少元？ 【答案】香蕉2.4元；苹果1.7元 【技巧点拨】把10元6角转化为10.6元，买3千克香蕉和2千克苹果需要10.6元，买2千克香蕉和3千克苹果需要（10.6－0.7）元，则1千克香蕉比1千克苹果贵0.7元，把香蕉的单价设为未知数，用含有字母的式子表示出苹果的单价，等量关系式：香蕉的单价×3＋苹果的单价×2＝10.6元，据此列方程解答。 【规范解答】10元6角＝10.6元 3千克香蕉＋2千克苹果 ＝2千克香蕉＋2千克苹果＋1千克香蕉 ＝10.6元 2千克香蕉＋3千克苹果 ＝2千克香蕉＋2千克苹果＋1千克苹果 ＝10.6元－0.7元 ＝9.9元 1千克香蕉－1千克苹果 ＝10.6元－9.9元 ＝0.7元 解：设每千克香蕉x元，则每千克苹果（x－0.7）元。 3x＋2（x－0.7）＝10.6 3x＋2x－2×0.7＝10.6 3x＋2x－1.4＝10.6 5x－1.4＝10.6 5x－1.4＋1.4＝10.6＋1.4 5x＝12 5x÷5＝12÷5 x＝2.4 2.4－0.7＝1.7（元） 答：每千克香蕉2.4元，每千克苹果1.7元。 【考点剖析】分析题意明确少花的钱数是每千克香蕉比每千克苹果贵的钱数并找出等量关系式准确列出方程是解题的关键。 第 12 页 共 42 页 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