第五单元 圆（解决问题专项）数学北京版六年级上册

第五单元 圆 （17个类型题讲练+三大难度分层练 共49题） 第一部分：类型题讲练 考向一 基础计算题型 圆周长的考察形式： 基本公式应用：给出半径/直径直接求周长（C=πd=2πr） 解题关键：区分d=2r关系 示例：车轮半径0.35m，转动200圈行驶距离=2π×0.35×200 圆的面积进阶计算： 环形面积：S=π(R²-r²) 重点训练：水管横截面、光盘空白区等 实例：扇形面积：S=πr²×(n/360) 典型应用：钟表指针扫过的面积 考向二 组合图形破解方法 外方内圆问题： 解题步骤：正方形边长=圆直径 剩余面积=正方形面积-圆面积 拓展题型：圆形水池外围铺设方砖的环形带宽度计算 多圆组合问题：滚动覆盖问题硬币滚动轨迹分析 拼合图形：三个相切圆形成的空隙面积计算 考向三 实践应用题精讲 植树问题变形：圆形花坛每隔π米摆放花盆，实则考察周长等分点 创新题例：用绳子围成圆比围成正方形节省长度的计算比较 运动轨迹问题： 综合实例：操场跑道的计算 弯道部分半圆周长计算（特别注意包含2个半圆合成整圆） 直道长度与弯道组合时的单位统一技巧 考向四 错题预警清单 高频错误点： 半圆周长的漏项：C半圆=πr + 2r（常误为πr） 面积比值陷阱：半径比、面积平方比关系 π取值不当：一般取3.14时注意中间过程保留三位小数 考向五 拓展训练建议 分阶练习路线： 1 基础巩固：完成5道标准公式题（含不同单位转换） 2 ② 能力提升：解决3种组合图形问题（如半圆+梯形） 3 ③ 思维拓展：尝试实物测量计算（如计算圆形餐垫包边长度） 注：本单元核心思想——所有复杂问题都可拆解为基本圆形特征（半径决定大小）与位置关系（相离/相切/相交）的组合分析，建议建立数学模型画图辅助解题。 类型1 圆的概念及特点 典型例题1：（24-25六年级上·河南驻马店·期中）如图中，长方形的周长是50厘米，则每个圆的半径是多少厘米？长方形的面积是多少平方厘米？ 思路分析：由图可知，长方形的长包含3个圆的半径，宽包含2个圆的半径，根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”得长方形的周长由（3＋2）×2＝10个圆的半径组成。已知长方形周长是50厘米，所以圆的半径为50÷10＝5厘米，则长方形的长为5×3＝15厘米，宽为5×2＝10厘米。最后根据“长方形面积＝长 ×宽”计算出长方形的面积。 答题区： 变式训练：（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）（1）在图中找到点A（4，1）和点B（4，7），以这两点间的线段为直径，画一个圆心为O的圆。 （2）已知点C在圆上，且在点O的北偏西45°方向，在图中标出点C。 类型2 画圆 典型例题2：（25-26六年级上·河北邢台·阶段练习）按要求画2个圆，其中一个圆的直径是2厘米，一个圆的半径是1.5厘米。 （1）这两个圆组成的图形只有一条对称轴。 （2）这两个圆组成的图形有无数条对称轴。 思路分析：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴。 （1）先以点A为圆心，2÷2＝1厘米为半径画出直径为2厘米的圆，再以点B为圆心，1.5厘米为半径画出半径为1.5厘米的圆，使这两个圆只有一个公共点，经过这两个圆心的直线就是它们的对称轴； （2）以点O为圆心，分别画出半径为1厘米和半径为1.5厘米的同心圆，此时这两个圆组成的图形有无数条对称轴，据此作图。 变式训练：（24-25六年级上·河南郑州·期中）操作。 按要求在方格纸上画图（每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）以（3，2）为圆心，画一个直径为4厘米的圆。 （2）画一个三角形，三个内角度数比是1∶2∶1。 类型3 与圆相关的轴对称图形 典型例题3：（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 思路分析：（1）分析题目，先用周长除以2求出长方形的长宽之和，再根据比的意义把长宽之和看作单位“1”，则长占其中的，据此用乘法求出长，再用长宽之和减去长即可得到宽，据此画出长方形即可； （2）如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴；圆有无数条对称轴，正方形只有4条对称轴，据此可以在圆的外部画一个以圆的直径为边长的正方形即可。 变式训练：（24-25六年级上·北京海淀·期末）在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 类型4 圆的周长 典型例题4：（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 思路分析：要计算小强从家到学校的时间，需先求出自行车车轮每分钟行驶的距离，再用总路程÷该速度。车轮行驶距离与车轮周长和每分钟转数有关，根据圆的周长公式C＝πd可求周长，进而得速度，据此分析。 变式训练：（24-25六年级上·河北·期中）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 类型5 半圆的周长 典型例题5：（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 思路分析：（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 变式训练：（24-25六年级上·全国·单元测试）（变式题）如下图，小华和小明分别沿着弧线跑，你能求出他们跑的路程相差多少米吗？（π取3.14） 类型6 圆的周长的应用 典型例题6：（24-25六年级上·河南许昌·期中）一个自行车轮胎的外直径是0.5米，小明骑自行车的轮胎每分钟120转，那么他从距离学校3.768千米的家骑车到学校需要多长时间？ 思路分析：首先利用1千米＝1000米，将3.768千米转化为米，通过圆的周长公式求出轮胎转一周的距离，用总距离除以轮胎的周长即可求出骑行到学校自行车轮胎需要的转数； 用总转数除以自行车每分钟的转数即可求出他骑车到学校需要多长时间。 变式训练：（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 类型7 含圆的组合图形的周长 典型例题7：（24-25六年级上·河南郑州·期末）在观看过升旗仪式后，桃子自己制作了一个简易的升旗装置（如图），桃子现需要给装置缠上一圈线，至少需要多少厘米的线？（接口处忽略不计） 思路分析：看图可知，这个装置可以看成上下2个半圆和中间1个长方形组成，上下2个半圆可以拼成一个圆，线的长度＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，长方形的长＝20厘米－圆的半径×2，据此列式解答。 变式训练：（24-25六年级上·北京西城·期末）公园靠墙角修建了一个花坛，花坛由长方形和扇形组成，围着花坛铺了4米宽的草坪（如下图，阴影部分为花坛）。公园新增夜间游园活动。要沿着草坪的外边缘（不包括靠墙部分）安装灯带，灯带全长多少米？ 类型8 圆的面积 典型例题8：（24-25六年级上·河南驻马店·期中）如图是一种蒸饭的木桶叫甑子，木桶盖为圆形。王伯伯要在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子。 （1）王伯伯先在木板上用笔画出盖子的轮廓，轮廓长多少厘米？ （2）裁下盖子后，剩下木板的面积是多少平方厘米？ 思路分析：（1）木桶盖为圆形，在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子，则圆形盖子的直径就为20厘米，根据圆的周长公式：，代入数据计算即可知道轮廓长多少厘米； （2），圆的面积公式：，同一个圆内，半径是直径的一半，剩下木板的面积＝正方形的面积－圆的面积，代入数据计算即可。 变式训练：（25-26六年级上·河南商丘·阶段练习）某公园里共有16个井盖，井盖的直径是80厘米，现打算将这些井盖进行涂鸦（如图）。经过测算，涂鸦1平方米的井盖，大约需要0.2千克的涂料，涂鸦这些井盖大约需要多少涂料？（得数保留整数） 类型9 圆的面积的应用 典型例题9：（24-25六年级上·广东韶关·期中）实验小学图书室的窗户如图所示，上面是半圆形，下面是长方形。 （1）这扇窗户的面积大约是多少平方米？（得数保留一位小数） （2）如果给这扇窗户的边框装饰花带，大约需要花带多少米？（得数保留一位小数） 思路分析：（1）由图可知窗户上面半圆形的直径是1.4米，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以2，则求出半圆形的面积；下面长方形的长是1.8米、宽是1.4米，根据长方形的面积公式计算出长方形的面积；将半圆形的面积加上长方形的面积即是这扇窗户的面积。 （2）给这扇窗户的边框装饰花带，即是求窗户的周长，由图可知窗户的周长是半圆的弧长加上长方形的两条长和一条宽，半圆的弧长＝圆的周长÷2，据此解答。 变式训练：（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）如下图，正方形ABCD中，点C在以点A为圆心的圆上。已知AC是20厘米，那么图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。请写出主要过程。 类型10 圆环的面积 典型例题10：（24-25六年级上·河北邢台·期中）小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 思路分析：根据题意可知所求面积为两个半圆的面积之差。大圆的半径为40厘米，小圆的半径为（40－20）厘米，根据圆的面积＝πr2再除以2即可求得半圆的面积，再相减即可。 变式训练：（23-24六年级上·全国·课后作业）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 类型11 求最大面积 典型例题11：（21-22五年级下·河南洛阳·期末）公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 思路分析：根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 变式训练：（20-21六年级上·山东聊城·期末）（1）画一个半径2厘米的半圆，标上圆心和半径。 （2）想一想怎样才能在半圆内画一个面积最大三角形，尝试着画在上面，你有什么发现？ （3）求出三角形的面积。 类型12 含圆的组合图形的面积 典型例题12：（24-25六年级上·全国·单元测试）下面是广场上地砖拼成的图案，已知AB＝BC＝CD＝10米，阴影部分地砖的面积是多少平方米？ 思路分析：根据题意，可发现阴影部分的面积等于半径为10米的圆的面积减去半径为5米的圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，r表示半径）来计算，据此解答。 变式训练：（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 类型13 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题13：（24-25六年级上·安徽宣城·期末）过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 思路分析：圆周长＝2πr＝πd，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 变式训练：（24-25六年级上·福建三明·期末）淘气家有一张可折叠的餐桌，把四周折叠的部分收起来，是一张正方形餐桌；把四周折叠的部分撑开，是一张圆形餐桌，这时圆形餐桌的直径是2米。 （1）这张圆形餐桌的面积是多少？ （2）如果一个人需要0.5米的位置就餐，这张圆形餐桌大约坐多少人？ （3）如果在正方形餐桌内放一个最大的转盘（如图），这个转盘有多大？ 类型14 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 典型例题14：（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 思路分析：观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 变式训练：（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 类型15 弧、圆心角、扇形的认识 典型例题15：（25-26六年级上·全国·单元测试）考古工作者在整理三燕文化遗址时，发现三件圆形瓦当的摆放位置恰好使三个圆心构成三角形，瓦当半径均为3厘米。小明观察后认为：三角形中阴影部分（三个扇形重叠区域）的面积等于半径3厘米的半圆面积。请你结合几何原理说明其中的理由。（提示：瓦当纹饰扇形的圆心角恰为三角形内角，如下图所示。） 思路分析：因为三个扇形的半径相等，圆心角之和等于三角形的内角和180°，再根据扇形的面积公式S扇＝πr2（n为圆心角的度数），半圆的面积公式S半圆＝πr2，得出三角形中阴影部分面积与半圆面积的关系。 变式训练：（2024·安徽宿州·小升初真题）三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，其半径都是3厘米。小智同学认为：三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。请你尝试说明其中的理由。 类型16 画扇形 典型例题16：（23-24六年级上·青海西宁·期末）按要求画画，算算。 （1）请在下图长方形内画一个最大的圆（标出圆心、半径），将其余部分涂上阴影。 （2）在这个圆中画一个圆心角是60°的扇形。 （3）求出阴影部分的面积。 思路分析：（1）要在一个长5厘米、宽2厘米的长方形内画一个最大的圆，那么这个最大圆的直径等于长方形的宽2厘米，则圆的半径是1厘米。 根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；以点O为圆心，以1厘米为半径，在长方形内画出这个圆。 （2）以O点为顶点，用圆的任意一条半径为边，利用量角器画出60°的角，两条半径和60°圆心角所对的弧围成的封闭图形即为扇形。 （3）观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 变式训练：（22-23六年级上·安徽宣城·期末）请在下图长方形内，分别以A、C为圆心作一个圆心角是90°的最大扇形，并用阴影表示长方形的剩余部分；最后根据相关数据求出图中阴影部分的周长与面积。 类型17 扇形的周长和面积 典型例题17：（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4m的正方形内种植红和黄两种不同颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花（π取3）。 （1）求种植红色花朵的面积是多少？ （2）求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 思路分析：（1）根据题意得：种植红色花朵的区域是一个圆心角为90°的扇形，扇形面积＝（圆心角度数÷360）×，扇形半径为4米，据此计算得出答案。 （2）阴影部分面积＝正方形面积－扇形面积，阴影部分是种植黄花的面积，正方形面积＝边长×边长，可计算得到黄花种植面积，运用（红花面积－黄花面积）÷红花面积，根据分数与除法的关系得出答案。 变式训练：（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 第二部分：难度分层训练 1．（25-26六年级上·河北邢台·阶段练习）人们很早就认识了圆，在我国古代名著《墨经》中就有这样的记载：“圆，一中同长也。”意思是圆有一个中心（圆心），圆上各点到圆心的距离（半径）都相等。以下选项中隐藏的数学道理不能通过画横线的这句话直接解释的是（    ）。 A．套圈游戏时学生们围成圆更公平 B．圆形井盖怎么放都不会掉进井里 C．以同一点为圆心可以画无数个圆 2．（24-25六年级上·广东揭阳·期中）用彩带围成一个半径是4厘米的半圆形花边，需要彩带（    ）厘米。 A．16.56 B．31.4 C．20.56 D．12.56 3．（25-26六年级上·全国·单元测试）我国古代园林营造中常融入“天圆地方”的哲学思想，工匠需在长方形庭院的中心铺设圆形青石板作为视觉焦点。若该长方形庭院的铺设区域长10米，宽6米，现要打造一块能完全容纳其中的最大整圆形青石板，则这块青石板的直径是( )m，面积是( )m2。 4．（24-25六年级上·河北·期中）亮亮用一根13米长的绳子绕一棵大树树干围了10圈还余0.44米，这棵大树树干的横截面积大约是多少？ 5．（24-25六年级上·河北·期中）世纪钟高40米，重170多吨，是天津市最具关注度的标志性建筑之一。这座钟的分针长度为4米，请你算一算，经过45分钟后，这根分针的尖端所走过的路程是多少米？ 1．（24-25六年级上·河北·期中）下图中，正方形的边长都是10cm。请你比较一下，下边各图阴影部分面积和左边第一个阴影部分面积相等的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 2．（25-26六年级上·全国·单元测试）中国空间站的机械臂需要将实验设备从节点舱A转移至实验舱B，转移路径规划如图所示：AB为一条直线轨道（可视为大半圆的直径），在AB轨道旁还规划了5条辅助弧形路径，每条辅助路径均为小半圆的弧长，且所有小半圆的直径均在AB直线上并依次相连。机械臂甲沿大半圆的弧长（路线①）转移，机械臂乙沿5个小半圆的弧长之和（路线②）转移，若两台机械臂的移动速度相同，则下列说法正确的是（    ）。 A．甲先到达 B．乙先到达 C．甲、乙同时到达 D．无法判断 3．（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：如果图1中的外面正方形面积是16dm2，则内圆面积是( )dm2；如果图2中的外圆面积是12.56dm2，则圆内正方形面积是( )dm2。 4．（24-25六年级上·河北衡水·期末）某小学有一个半圆形花坛（如下图），半径是3米，为保护这个花坛，学校计划在这个花坛的周围修1米宽的隔离带，求修隔离带的面积？ 5．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）如图，停车场收费站的起落杆经过一辆车即为完成一次升降运动，某停车场的起落杆长米。若该收费站通过1辆车，则处于起落杆末端的点移动了多少米？（取3.14） 1．（24-25六年级上·河北石家庄·期中）如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长和长方形的周长相比，（    ）。 A．圆的周长小于长方形的周长 B．圆的周长大于长方形的周长 C．圆的周长等于长方形的周长 2．（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 3．（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）如图，有一台扫地机器人，底面是半径为15厘米的圆盘。它在一个长方形场地内移动，碰到障碍物会自动转弯。该扫地机器人扫地时，底面覆盖不到的面积是( )平方厘米。 4．（24-25六年级上·河南郑州·期末）小启家楼下的小吃店新推出一种小烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小启认为买小烧饼合算，好朋友小航却认为买大烧饼合算。请你运用学过的数学知识判断谁说的正确。 5．（22-23六年级上·浙江温州·期末）圆是一个很有意思的图形，关于圆的面积计算也有很多巧妙的方法，让我们一起来学习与尝试吧！ 我有发现。 （1）亮亮巧用“r2”求出下图中圆的面积。 他的解题思路是： 因为正方形的边长等于圆的半径，那么正方形的面积正好是r2，因此圆的面积是（    ）平方厘米。 你瞧！半径不知道，但是r2已经知道，也能求出圆的面积。 我来尝试。 （2）已知下图中三角形的面积是8平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 我能创新。 （3）如图，等腰直角三角形的直角边长10厘米，以直角顶点为圆心，直角边为半径画一个圆，再以直角三角形斜边的中点为圆心，斜边为直径画一个圆。图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 （17个类型题讲练+三大难度分层练 共49题） 第一部分：类型题讲练 考向一 基础计算题型 圆周长的考察形式： 基本公式应用：给出半径/直径直接求周长（C=πd=2πr） 解题关键：区分d=2r关系 示例：车轮半径0.35m，转动200圈行驶距离=2π×0.35×200 圆的面积进阶计算： 环形面积：S=π(R²-r²) 重点训练：水管横截面、光盘空白区等 实例：扇形面积：S=πr²×(n/360) 典型应用：钟表指针扫过的面积 考向二 组合图形破解方法 外方内圆问题： 解题步骤：正方形边长=圆直径 剩余面积=正方形面积-圆面积 拓展题型：圆形水池外围铺设方砖的环形带宽度计算 多圆组合问题：滚动覆盖问题硬币滚动轨迹分析 拼合图形：三个相切圆形成的空隙面积计算 考向三 实践应用题精讲 植树问题变形：圆形花坛每隔π米摆放花盆，实则考察周长等分点 创新题例：用绳子围成圆比围成正方形节省长度的计算比较 运动轨迹问题： 综合实例：操场跑道的计算 弯道部分半圆周长计算（特别注意包含2个半圆合成整圆） 直道长度与弯道组合时的单位统一技巧 考向四 错题预警清单 高频错误点： 半圆周长的漏项：C半圆=πr + 2r（常误为πr） 面积比值陷阱：半径比、面积平方比关系 π取值不当：一般取3.14时注意中间过程保留三位小数 考向五 拓展训练建议 分阶练习路线： 1 基础巩固：完成5道标准公式题（含不同单位转换） 2 ② 能力提升：解决3种组合图形问题（如半圆+梯形） 3 ③ 思维拓展：尝试实物测量计算（如计算圆形餐垫包边长度） 注：本单元核心思想——所有复杂问题都可拆解为基本圆形特征（半径决定大小）与位置关系（相离/相切/相交）的组合分析，建议建立数学模型画图辅助解题。 类型1 圆的概念及特点 典型例题1：（24-25六年级上·河南驻马店·期中）如图中，长方形的周长是50厘米，则每个圆的半径是多少厘米？长方形的面积是多少平方厘米？ 思路分析：由图可知，长方形的长包含3个圆的半径，宽包含2个圆的半径，根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”得长方形的周长由（3＋2）×2＝10个圆的半径组成。已知长方形周长是50厘米，所以圆的半径为50÷10＝5厘米，则长方形的长为5×3＝15厘米，宽为5×2＝10厘米。最后根据“长方形面积＝长 ×宽”计算出长方形的面积。 答题区： （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10 50÷10＝5（厘米） （5×3）×（5×2） ＝15×10 ＝150（平方厘米） 答：每个圆的半径是5厘米；长方形的面积是150平方厘米。 变式训练：（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）（1）在图中找到点A（4，1）和点B（4，7），以这两点间的线段为直径，画一个圆心为O的圆。 （2）已知点C在圆上，且在点O的北偏西45°方向，在图中标出点C。 【答案】见详解 【技巧点拨】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数表示列，第二个数表示行。根据点A和点B的数对可知，点A在第4列第1行，点B在第4列第7行，据此在图中标出点A和点B，以这两点间的线段为直径，这条线段一半的位置为圆心O的位置，确定圆心后，再以AB的一半长度为半径画出这个圆。 （2）以点O为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，点C在点O的北偏西45°方向上，且点C在圆上，据此在图中标出点C。 【规范解答】如图： 类型2 画圆 典型例题2：（25-26六年级上·河北邢台·阶段练习）按要求画2个圆，其中一个圆的直径是2厘米，一个圆的半径是1.5厘米。 （1）这两个圆组成的图形只有一条对称轴。 （2）这两个圆组成的图形有无数条对称轴。 思路分析：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴。 （1）先以点A为圆心，2÷2＝1厘米为半径画出直径为2厘米的圆，再以点B为圆心，1.5厘米为半径画出半径为1.5厘米的圆，使这两个圆只有一个公共点，经过这两个圆心的直线就是它们的对称轴； （2）以点O为圆心，分别画出半径为1厘米和半径为1.5厘米的同心圆，此时这两个圆组成的图形有无数条对称轴，据此作图。 【规范解答】（1）作图如下： （画法不唯一） （2）作图如下： 变式训练：（24-25六年级上·河南郑州·期中）操作。 按要求在方格纸上画图（每个小正方形的边长都是1厘米）。 （1）以（3，2）为圆心，画一个直径为4厘米的圆。 （2）画一个三角形，三个内角度数比是1∶2∶1。 【答案】（1）（2）见详解 【技巧点拨】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此找到圆心的位置，根据半径＝直径÷2，求出半径，将圆规的一脚固定在圆心（3，2），另一脚调整到距离圆心2厘米的位置，保持圆规两脚距离不变，绕圆心旋转一周即可。 （2）已知三角形内角和是180°；三个内角的度数比是1∶2∶1，是等腰三角形；则总份数是1＋2＋1＝4份；三个内角分别为：180°÷4×1＝45°；180°÷4×2＝90°；三角形为等腰直角三角形，画一条线段AB，以A为顶点，AB为一边，用量角器画一个45°的角，再以B为顶点，AB为一边，用量角器画一个45°的角，两条射线相交于C，则三角形ABC为所求的三角形，据此解答（位置不唯一）。 【规范解答】（1）4÷2＝2（厘米） 如下图： （2）1＋2＋1 ＝3＋1 ＝4（份） 180°÷4×1 ＝45°×1 ＝45° 180°÷4×2 ＝45°×2 ＝90° 如下图： 类型3 与圆相关的轴对称图形 典型例题3：（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 思路分析：（1）分析题目，先用周长除以2求出长方形的长宽之和，再根据比的意义把长宽之和看作单位“1”，则长占其中的，据此用乘法求出长，再用长宽之和减去长即可得到宽，据此画出长方形即可； （2）如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴；圆有无数条对称轴，正方形只有4条对称轴，据此可以在圆的外部画一个以圆的直径为边长的正方形即可。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米） 长：10×＝6（厘米） 宽：10－6＝4（厘米） （1）（2）作图如下： （正方形画法不唯一） 变式训练：（24-25六年级上·北京海淀·期末）在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 【答案】见详解 【技巧点拨】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴；本题中因为正方形只有四条对称轴，所以考虑整体组合图形的对称轴时，只能从正方形的这四条对称轴中选择。 【规范解答】如图所示： （画法不唯一） 类型4 圆的周长 典型例题4：（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 思路分析：要计算小强从家到学校的时间，需先求出自行车车轮每分钟行驶的距离，再用总路程÷该速度。车轮行驶距离与车轮周长和每分钟转数有关，根据圆的周长公式C＝πd可求周长，进而得速度，据此分析。 【规范解答】50厘米＝0.5米 3×0.5＝1.5（米） 1.5×200＝300（米） 1200÷300＝4（分钟） 答：他从家到学校约需要4分钟。 变式训练：（24-25六年级上·河北·期中）如下图：一个底面是圆形的扫地机器人，贴合着一块正方形地毯边缘滚动一周。已知这块地毯的边长是18分米，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米，这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是多少分米？ 【答案】81.42分米 【技巧点拨】扫地机器人贴合正方形边缘滚动，圆心到正方形各边的距离始终是底面圆的半径。所以圆心走过的路线，是圆心沿着正方形的周长走，同时在四个角处，圆心会走一段圆弧，这些圆弧拼起来是一个完整的圆，圆的半径为扫地机器人圆形底面的半径。即扫地机器人底面圆心走过路线的长度为正方形的周长加上半径为1.5分米的圆的周长。根据，圆的周长公式：，据此列式计算即可。 【规范解答】 （分米） 答：这个扫地机器人底面圆心走过路线的长度是81.42分米。 【考点剖析】本题围绕正方形周长和圆的周长知识点展开，关键是分析出圆心走过的路线由正方形周长和一个底面圆的周长组成，运用这两个图形的周长公式计算后相加，就能得到总长度。 类型5 半圆的周长 典型例题5：（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 思路分析：（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【规范解答】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 变式训练：（24-25六年级上·全国·单元测试）（变式题）如下图，小华和小明分别沿着弧线跑，你能求出他们跑的路程相差多少米吗？（π取3.14） 【答案】62.8米 【技巧点拨】小华跑的弧线可以看作是一个半径为20米的半圆，小明跑的弧线可以看作是一个半径为40米的半圆，两者路程相差多少就是求这两个半圆的周长差即可。圆的周长＝2πr，半圆的周长＝圆的周长÷2。 【规范解答】小华跑的路程：2×3.14×20÷2＝62.8（米） 小明跑的路程：2×3.14×40÷2＝125.6（米） 他们跑的路程相差：125.6－62.8＝62.8（米） 答：他们跑的路程相差62.8米。 类型6 圆的周长的应用 典型例题6：（24-25六年级上·河南许昌·期中）一个自行车轮胎的外直径是0.5米，小明骑自行车的轮胎每分钟120转，那么他从距离学校3.768千米的家骑车到学校需要多长时间？ 思路分析：首先利用1千米＝1000米，将3.768千米转化为米，通过圆的周长公式求出轮胎转一周的距离，用总距离除以轮胎的周长即可求出骑行到学校自行车轮胎需要的转数； 用总转数除以自行车每分钟的转数即可求出他骑车到学校需要多长时间。 【规范解答】（米） （转） （分钟） 答：他骑车到学校需要20分钟。 变式训练：（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 【答案】小文；5分钟 【技巧点拨】轮胎周长决定每转一圈行驶的距离，轮胎是圆形，周长公式为C＝πd（d为直径，π取3.14），甲车轮胎直径是0.8米，周长为3.14×0.8＝2.512米（每转1圈，甲车前进2.512米）；乙车轮胎直径是0.6米，周长为3.14×0.6＝1.884米（每转1圈，乙车前进1.884米）。 根据速度＝周长×每分钟转数，甲车轮胎一分钟转300圈，速度为2.512×300＝753.6米/分钟；乙车轮胎一分钟转400圈，速度为1.884×400＝753.6米/分钟。所以甲、乙两车速度相等，因此小东和莉莉结论错误；小文“速度一样，同时通过”的结论正确。 桥全长3760米，车长大约8米，那么总路程为：3760＋8＝3768米；甲车通过时间为3768÷753.6＝5分钟；乙车通过时间为3768÷753.6＝5分钟。 【规范解答】甲：（米/分钟） 乙：（米/分钟） 3760＋8＝3768（米） （分钟） 答：小文说的结论正确。甲、乙两车通过这座桥所需的时间均为5分钟。 类型7 含圆的组合图形的周长 典型例题7：（24-25六年级上·河南郑州·期末）在观看过升旗仪式后，桃子自己制作了一个简易的升旗装置（如图），桃子现需要给装置缠上一圈线，至少需要多少厘米的线？（接口处忽略不计） 思路分析：看图可知，这个装置可以看成上下2个半圆和中间1个长方形组成，上下2个半圆可以拼成一个圆，线的长度＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，长方形的长＝20厘米－圆的半径×2，据此列式解答。 【规范解答】2×3.14×2＋（20－2×2）×2 ＝12.56＋（20－4）×2 ＝12.56＋16×2 ＝12.56＋32 ＝44.56（厘米） 答：至少需要44.56厘米的线。 变式训练：（24-25六年级上·北京西城·期末）公园靠墙角修建了一个花坛，花坛由长方形和扇形组成，围着花坛铺了4米宽的草坪（如下图，阴影部分为花坛）。公园新增夜间游园活动。要沿着草坪的外边缘（不包括靠墙部分）安装灯带，灯带全长多少米？ 【答案】36.98米 【技巧点拨】看图可知，灯带全长＝长方形的长＋半径（10＋4）米的圆周长的，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【规范解答】15＋2×3.14×（10＋4）× ＝15＋2×3.14×14× ＝15＋21.98 ＝36.98（米） 答：灯带全长36.98米。 类型8 圆的面积 典型例题8：（24-25六年级上·河南驻马店·期中）如图是一种蒸饭的木桶叫甑子，木桶盖为圆形。王伯伯要在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子。 （1）王伯伯先在木板上用笔画出盖子的轮廓，轮廓长多少厘米？ （2）裁下盖子后，剩下木板的面积是多少平方厘米？ 思路分析：（1）木桶盖为圆形，在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子，则圆形盖子的直径就为20厘米，根据圆的周长公式：，代入数据计算即可知道轮廓长多少厘米； （2），圆的面积公式：，同一个圆内，半径是直径的一半，剩下木板的面积＝正方形的面积－圆的面积，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）3.14×20＝62.8（厘米） 答：轮廓长62.8厘米。 （2）20×20＝400（平方厘米） （平方厘米） 400－314＝86（平方厘米） 答：剩下木板的面积是86平方厘米。 变式训练：（25-26六年级上·河南商丘·阶段练习）某公园里共有16个井盖，井盖的直径是80厘米，现打算将这些井盖进行涂鸦（如图）。经过测算，涂鸦1平方米的井盖，大约需要0.2千克的涂料，涂鸦这些井盖大约需要多少涂料？（得数保留整数） 【答案】2千克 【技巧点拨】已知井盖直径是80厘米，首先将小单位“厘米”转化为大单位“米”，用80除以进率100即可换算，用直径除以2即可计算出井盖的半径； 利用圆的面积公式计算出每个井盖的面积，用每个井盖的面积乘个数16即可求出需要涂鸦的面积； 最后用涂鸦的面积乘每平方米需要的涂料0.2千克，将取3.14即可计算涂鸦这些井盖大约需要的涂料。 【规范解答】（米），即80厘米＝0.8米； （千克） 答：涂鸦这些并盖大约需要2千克涂料。 类型9 圆的面积的应用 典型例题9：（24-25六年级上·广东韶关·期中）实验小学图书室的窗户如图所示，上面是半圆形，下面是长方形。 （1）这扇窗户的面积大约是多少平方米？（得数保留一位小数） （2）如果给这扇窗户的边框装饰花带，大约需要花带多少米？（得数保留一位小数） 思路分析：（1）由图可知窗户上面半圆形的直径是1.4米，根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以2，则求出半圆形的面积；下面长方形的长是1.8米、宽是1.4米，根据长方形的面积公式计算出长方形的面积；将半圆形的面积加上长方形的面积即是这扇窗户的面积。 （2）给这扇窗户的边框装饰花带，即是求窗户的周长，由图可知窗户的周长是半圆的弧长加上长方形的两条长和一条宽，半圆的弧长＝圆的周长÷2，据此解答。 【规范解答】（1）3.14×（1.4÷2）2÷2 ＝3.14×0.72÷2 ＝3.14×0.49÷2 ＝1.5386÷2 ＝0.7693（平方米） 1.8×1.4＝2.52（平方米） 0.7693＋2.52＝3.2893≈3.3（平方米） 答：这扇窗户的面积大约是3.3平方米。 （2）3.14×1.4÷2＋（1.8×2＋1.4） ＝4.396÷2＋（3.6＋1.4） ＝2.198＋5 ＝7.198 ≈7.2（米） 答：大约需要花带7.2米。 变式训练：（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）如下图，正方形ABCD中，点C在以点A为圆心的圆上。已知AC是20厘米，那么图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。请写出主要过程。 【答案】114；过程见详解 【技巧点拨】AC为正方形对角线长也是圆的半径，正方形ABCD的对角线互相平分，正方形的面积可转化为四个相同的等腰直角三角形的面积，等腰直角三角形的两腰为对角线的一半长，即可求正方形的边长的平方即为正方形的面积； 阴影部分的面积为四分之一半径为20的圆的面积减去正方形ABCD的面积。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 即图中阴影部分的面积是114平方厘米。 类型10 圆环的面积 典型例题10：（24-25六年级上·河北邢台·期中）小米是个细心观察的孩子，她发现她家车上安装的汽车雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净。如下图所示，小米测量了一下，这款汽车雨刷摆臂长度为40厘米，胶条长度为20厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 思路分析：根据题意可知所求面积为两个半圆的面积之差。大圆的半径为40厘米，小圆的半径为（40－20）厘米，根据圆的面积＝πr2再除以2即可求得半圆的面积，再相减即可。 【规范解答】3.14×402÷2 ＝3.14×1600÷2 ＝5024÷2 ＝2512（平方厘米）     3.14×（40－20）2÷2 ＝3.14×202÷2 ＝3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（平方厘米） 2512－628＝1884（平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是1884平方厘米。 变式训练：（23-24六年级上·全国·课后作业）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】45平方厘米 【技巧点拨】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【规范解答】设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【考点剖析】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 类型11 求最大面积 典型例题11：（21-22五年级下·河南洛阳·期末）公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 思路分析：根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【规范解答】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 变式训练：（20-21六年级上·山东聊城·期末）（1）画一个半径2厘米的半圆，标上圆心和半径。 （2）想一想怎样才能在半圆内画一个面积最大三角形，尝试着画在上面，你有什么发现？ （3）求出三角形的面积。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）4平方厘米 【技巧点拨】（1）圆心O确定圆的位置，半径r确定圆的大小，圆规两脚之间的距离为2cm； （2）三角形的面积最大，底边和高最大，直径是圆内最长的线段，以直径为底边，半径为高作图； （3）S三角形＝，将底和高的数值代入求值即可。 【规范解答】（1） （2） 以圆内直径AB为底边，弧的中点C为顶点，作三角形ABC 发现：三角形ABC是以AB为斜边的一个等腰直角三角形（答案不唯一） （3） ＝ ＝4（平方厘米） 答：三角形的面积是4平方厘米。 【考点剖析】根据直径是圆内最长的线段找出圆内最大的三角形是解答本题的关键。 类型12 含圆的组合图形的面积 典型例题12：（24-25六年级上·全国·单元测试）下面是广场上地砖拼成的图案，已知AB＝BC＝CD＝10米，阴影部分地砖的面积是多少平方米？ 思路分析：根据题意，可发现阴影部分的面积等于半径为10米的圆的面积减去半径为5米的圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，r表示半径）来计算，据此解答。 【规范解答】10÷2＝5（米） 3.14×102－3.14×52 ＝3.14×100－3.14×25 ＝314－78.5 ＝235.5（平方米） 答：阴影部分地砖的面积是235.5平方米。 变式训练：（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 【答案】15厘米 【技巧点拨】根据图可知Ⅲ是半圆和三角形ABC的公有部分，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，也就是说半圆比三角形ABC的面积大7平方厘米，又因为已知直径，可求出半圆的面积，用半圆面积减去7平方厘米就是三角形的面积，最后根据三角形的面积公式可以求出BC的长。 【规范解答】由题意可知： 半圆面积＝π÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝157（平方厘米） 由图可知，Ⅰ＋Ⅲ＝半圆面积，Ⅱ＋Ⅲ＝SABC，又因为阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米， 所以：SABC＝157－7＝150（平方厘米） SABC＝BC×AB÷2 150＝BC×20÷2 BC＝15（厘米） 答：BC的长为15厘米。 【考点剖析】此题考查了组合图形的面积和转化的思想。 类型13 方中圆和圆中方的面积问题 典型例题13：（24-25六年级上·安徽宣城·期末）过春节时，家家户户都会张贴“福”字窗花，象征“福气已到”。下面这张“福”字窗花采用了外圆内方的造型，圆形的周长是43.96厘米，它中间最大正方形的面积是多少平方厘米？ 思路分析：圆周长＝2πr＝πd，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【规范解答】如图： 直径：43.96÷3.14＝14（厘米） 半径：14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：它中间最大正方形的面积是98平方厘米。 变式训练：（24-25六年级上·福建三明·期末）淘气家有一张可折叠的餐桌，把四周折叠的部分收起来，是一张正方形餐桌；把四周折叠的部分撑开，是一张圆形餐桌，这时圆形餐桌的直径是2米。 （1）这张圆形餐桌的面积是多少？ （2）如果一个人需要0.5米的位置就餐，这张圆形餐桌大约坐多少人？ （3）如果在正方形餐桌内放一个最大的转盘（如图），这个转盘有多大？ 【答案】（1）3.14平方米 （2）12人 （3）1.57平方米 【技巧点拨】（1）半径＝直径÷2，据此求出半径长度；圆的面积＝π×半径×半径，代入数值求出圆形餐桌的面积即可； （2）圆的周长＝直径×π，据此求出圆形桌的周长，再用周长除以一个人占的数量，除不尽时用去尾法保留整数，即可求出这张圆形餐桌大约能坐多少人； （3）如图所示，圆形转盘的直径就是正方形的边长，半径就是边长，圆的面积＝π×半径×半径，所以圆盘面积＝π×边长×边长＝×边长×边长，而边长×边长＝正方形面积，所以圆盘面积＝×正方形面积；连接正方形的对角线，分成4个相同的小三角形，对角线就是圆的直径，也就是2米，小三角的底是对角线的一半，也就是1米，高也是对角线的一半，也是1米，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个小三角形的面积，再乘4就是正方形的面积。最后把正方形面积乘即可求出圆盘面积。 【规范解答】（1）2÷2＝1（米） 3.14×1×1＝3.14（平方米） 答：这张圆形餐桌的面积是3.14平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56≈12（人） 答：这张圆形餐桌大约坐12人。 （3）2÷2＝1（米） 1×1÷2×4＝2（平方米） ×2＝1.57（平方米） 答：这个转盘有1.57平方米。 类型14 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 典型例题14：（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 思路分析：观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【规范解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 变式训练：（2021·云南保山·小升初真题）根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【答案】（1）见详解 （2）100平方厘米 【技巧点拨】（1）如图： 将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一） （2）我这样算：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【考点剖析】通过平移把不规则的阴影部分的面积转化成学过的规则图形的面积，然后利用正方形的面积公式求解。也可以把右边正方形的阴影部分平移到左边正方形的空白处，阴影部分组成一个正方形。 类型15 弧、圆心角、扇形的认识 典型例题15：（25-26六年级上·全国·单元测试）考古工作者在整理三燕文化遗址时，发现三件圆形瓦当的摆放位置恰好使三个圆心构成三角形，瓦当半径均为3厘米。小明观察后认为：三角形中阴影部分（三个扇形重叠区域）的面积等于半径3厘米的半圆面积。请你结合几何原理说明其中的理由。（提示：瓦当纹饰扇形的圆心角恰为三角形内角，如下图所示。） 思路分析：因为三个扇形的半径相等，圆心角之和等于三角形的内角和180°，再根据扇形的面积公式S扇＝πr2（n为圆心角的度数），半圆的面积公式S半圆＝πr2，得出三角形中阴影部分面积与半圆面积的关系。 【规范解答】三个扇形的半径都是3厘米，且三个扇形的圆心角分别是三角形的三个内角，因为三角形的内角和是180°，所以三个扇形的圆心角之和等于180°。 ×πr2＝πr2 所以三角形中阴影部分（三个扇形重叠区域）的面积等于半径3厘米的半圆面积。 变式训练：（2024·安徽宿州·小升初真题）三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，其半径都是3厘米。小智同学认为：三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。请你尝试说明其中的理由。 【答案】三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积；理由见详解 【技巧点拨】已知三角形的内角和是180°，据此可知阴影部分的面积可以拼成一个半径是3厘米的半圆面积，根据圆的面积＝πr2，代入数值计算出圆的面积，再用圆的面积除以2求出半圆的面积，也就是阴影部分的面积。 【规范解答】三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。理由如下： 因为三角形的三个顶点刚好在三个圆的圆心处，已知三角形的内角和是180°，也就是这三个扇形的圆心角之和是180°，即这三个扇形拼在一起正好是一个半圆，所以三角形中阴影部分的面积就是半径为3厘米半圆的面积。 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方厘米） 类型16 画扇形 典型例题16：（23-24六年级上·青海西宁·期末）按要求画画，算算。 （1）请在下图长方形内画一个最大的圆（标出圆心、半径），将其余部分涂上阴影。 （2）在这个圆中画一个圆心角是60°的扇形。 （3）求出阴影部分的面积。 思路分析：（1）要在一个长5厘米、宽2厘米的长方形内画一个最大的圆，那么这个最大圆的直径等于长方形的宽2厘米，则圆的半径是1厘米。 根据圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；以点O为圆心，以1厘米为半径，在长方形内画出这个圆。 （2）以O点为顶点，用圆的任意一条半径为边，利用量角器画出60°的角，两条半径和60°圆心角所对的弧围成的封闭图形即为扇形。 （3）观察图形可知，阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）圆的半径：2÷2＝1（厘米） 以点O为圆心，以1厘米为半径，在长方形内画出这个最大的圆，如下图。 （2）在圆中画一个圆心角是60°的扇形，如下图。 （3）5×2－3.14×（2÷2）2 ＝10－3.14×12 ＝10－3.14 ＝6.86（平方厘米） 答：阴影部分的面积是6.86平方厘米。 变式训练：（22-23六年级上·安徽宣城·期末）请在下图长方形内，分别以A、C为圆心作一个圆心角是90°的最大扇形，并用阴影表示长方形的剩余部分；最后根据相关数据求出图中阴影部分的周长与面积。 【答案】画图见详解；周长：10.28厘米；面积：1.72平方厘米 【技巧点拨】因为长方形的宽是2厘米，所以分别以A、C为圆心作出的圆心角是90°的最大扇形的半径是2厘米。据此先画出两个扇形，再将长方形内除两个扇形以外的部分画上阴影。 通过观察所画的图形可知：阴影的周长＝半径是2厘米的圆周长的×2＋2个2厘米；阴影部分的面积＝长方形的面积－半径是2厘米的圆面积的×2。 【规范解答】画图如下： 4－2＝2（厘米） 2×3.14×2××2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（厘米） 4×2－3.14×22××2 ＝8－3.14×4××2 ＝8－6.28 ＝1.72（平方厘米） 答：阴影部分的周长是10.28厘米，面积是1.72平方厘米。 【考点剖析】圆心角是90°的扇形的弧长是所在圆周长的，圆心角是90°的扇形的面积是所在圆面积的。 类型17 扇形的周长和面积 典型例题17：（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，为美化校园环境，学校计划在一个边长为4m的正方形内种植红和黄两种不同颜色的花朵，如图，扇形区种植红花，阴影处种植黄花（π取3）。 （1）求种植红色花朵的面积是多少？ （2）求黄花的种植面积比红花的种植面积少几分之几？ 思路分析：（1）根据题意得：种植红色花朵的区域是一个圆心角为90°的扇形，扇形面积＝（圆心角度数÷360）×，扇形半径为4米，据此计算得出答案。 （2）阴影部分面积＝正方形面积－扇形面积，阴影部分是种植黄花的面积，正方形面积＝边长×边长，可计算得到黄花种植面积，运用（红花面积－黄花面积）÷红花面积，根据分数与除法的关系得出答案。 【规范解答】（1）红色花朵面积为： （平方米） 答：种植红色花朵的面积是12平方米。 （2）黄花种植面积为： （平方米） 答：黄花的种植面积比红花的种植面积少。 变式训练：（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 【答案】351.68平方厘米 【技巧点拨】由题意可知：小圆经过的面积为3个长方形面积与1个圆的面积组成。长方形的宽等于小圆的直径即宽是4厘米；长方形的长是小圆周长的2倍，小圆周长为即长为；根据长方形面积＝长×宽可以求解；1个圆的面积是由3个扇形面积组成，组成的圆的半径等于长方形的宽即小圆的直径，根据求解；将3个长方形的面积与圆的面积相加求出小圆滚动的面积。 【规范解答】长方形的宽： 2×2＝4（厘米） 长方形的长： 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×2＝25.12（厘米） 长方形的面积： 25.12×4＝100.48（平方厘米） 3个长方形的面积和： 100.48×3＝301.44（平方厘米） 3个扇形面积： 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 小圆滚过面积： 301.44＋50.24＝351.68（平方厘米） 答：小圆滚动的面积为351.68平方厘米。 【考点剖析】结合题意将小球滚动的路线转化成我们熟知的图形，小球滚动的面积即各部分图形的面积和。有意识的将多个扇形面积去转化成有关的圆的面积；将图上的有效信息提取出来，小球的直径等于长方形的宽，3个扇形组成的圆的半径是小球的直径；灵活的运用圆的面积公式。 第二部分：难度分层训练 1．（25-26六年级上·河北邢台·阶段练习）人们很早就认识了圆，在我国古代名著《墨经》中就有这样的记载：“圆，一中同长也。”意思是圆有一个中心（圆心），圆上各点到圆心的距离（半径）都相等。以下选项中隐藏的数学道理不能通过画横线的这句话直接解释的是（    ）。 A．套圈游戏时学生们围成圆更公平 B．圆形井盖怎么放都不会掉进井里 C．以同一点为圆心可以画无数个圆 【答案】C 【技巧点拨】根据圆的认识，同一个圆上各点到圆心的距离都相等，且直径所在的直线是圆的对称轴。同心圆，圆心相同，半径不同。 【规范解答】A．套圈游戏时学生们围成圆更公平，意思是：学生站在圆周边上向圆心的位置套圈，学生到圆心的长度是圆的半径，都相等，所以围成圆更公平。由此可知能通过画横线直接解释这句话，不符合题目要求。 B．圆形井盖怎么放都不会掉进井里，意思是：圆形井盖从一边圆周并通过圆心到另一边圆周上的距离都相等，都是圆的直径，这样井盖怎么放都不会掉进井里。由此可知能通过画横线直接解释这句话，不符合题目要求。 C．以同一点为圆心可以画无数个圆，意思是：每个同心圆，圆心相同，半径不同，圆心固定，但每个圆上画的直径长度都不同，由此可知不能通过画横线直接解释这句话，符合题目要求。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·广东揭阳·期中）用彩带围成一个半径是4厘米的半圆形花边，需要彩带（    ）厘米。 A．16.56 B．31.4 C．20.56 D．12.56 【答案】C 【技巧点拨】用彩带围成一个半圆形花边，需要彩带的长度就是半圆的周长，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据公式：圆的周长＝，直径＝，半径是4厘米，代入数据计算，即可求出需要彩带多少厘米。 【规范解答】2×4＝8（厘米） 2×3.14×4÷2＋8 ＝6.28×4÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 则用彩带围成一个半径是4厘米的半圆形花边，需要彩带20.56厘米。 故答案为：C 3．（25-26六年级上·全国·单元测试）我国古代园林营造中常融入“天圆地方”的哲学思想，工匠需在长方形庭院的中心铺设圆形青石板作为视觉焦点。若该长方形庭院的铺设区域长10米，宽6米，现要打造一块能完全容纳其中的最大整圆形青石板，则这块青石板的直径是( )m，面积是( )m2。 【答案】 6 28.26 【技巧点拨】首先确定长方形的宽，因为要在长方形庭院中心铺设能完全容纳的最大圆形青石板，所以圆形青石板的直径等于长方形的宽。然后根据圆的直径求出半径，再代入圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，π取3.14，r表示半径）计算面积。 【规范解答】已知长方形庭院的宽是6米，在长方形中能容纳的最大圆形的直径等于长方形的宽，所以这块青石板的直径是6米；根据半径与直径的关系r＝（其中r为半径，d为直径），可得半径r＝＝3（米）；根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，则面积S＝3.14×32 ＝3.14×9＝28.26（平方米）。 【考点剖析】在长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，这是解决此类问题的关键结论。然后利用圆的半径与直径的关系以及圆的面积公式，就可以顺利求出圆的面积。 4．（24-25六年级上·河北·期中）亮亮用一根13米长的绳子绕一棵大树树干围了10圈还余0.44米，这棵大树树干的横截面积大约是多少？ 【答案】0.1256平方米 【技巧点拨】绳子总长13米，围10圈后余0.44米，则10圈树干的总长度为：13－0.44＝12.56（米），再用总长度除以圈数，得到树干的周长（一圈的长度），即：12.56÷10＝1.256（米）。圆的周长公式为C＝2πr（π取3.14，r是半径），则r＝C÷2÷π，所以半径为1.256÷2÷3.14＝0.2（米）。圆的面积公式为S＝πr2，把半径0.2米代入计算即可。 【规范解答】13－0.44＝12.56（米） 12.56÷10＝1.256（米） 1.256÷2÷3.14＝0.2（米） 3.14×0.22 ＝3.14×0.04 ＝0.1256（平方米） 答：这棵大树树干的横截面积大约是0.1256平方米。 5．（24-25六年级上·河北·期中）世纪钟高40米，重170多吨，是天津市最具关注度的标志性建筑之一。这座钟的分针长度为4米，请你算一算，经过45分钟后，这根分针的尖端所走过的路程是多少米？ 【答案】18.84米 【技巧点拨】分针绕钟面中心旋转，其尖端运动轨迹是一个以分针长度为半径的圆。已知分针长4米，即这个圆的半径为4米。根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），整个圆的周长为：2×3.14×4＝25.12（米），1小时＝60分钟，45分钟占60分钟的：45÷60＝，这意味着45分钟内，分针尖端走过的路程是圆周长的。所以用25.12乘计算即可解答。 【规范解答】分针绕钟面中心旋转的运动轨迹是一个以分针长度为半径的圆。 2×3.14×4＝25.12（米） 1小时＝60分钟 45÷60＝ 25.12×＝18.84（米） 答：分针尖端所走过的路程是18.84米。 1．（24-25六年级上·河北·期中）下图中，正方形的边长都是10cm。请你比较一下，下边各图阴影部分面积和左边第一个阴影部分面积相等的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】C 【技巧点拨】第一个图形是正方形内有一个最大的圆，正方形边长为10cm，则圆的直径为10cm，半径为10÷2＝5cm。根据“阴影面积＝正方形面积－圆的面积”，正方形面积为10×10＝100cm2，圆的面积公式为：S＝πr2（r为半径），所以圆的面积为π×52＝25π（cm2），所以阴影面积为：（100－25π）cm2。 第二个图形：正方形内有一个空白扇形，圆心角为90°，半径为10cm，空白扇形面积为π×102＝25π（cm2），则阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 第三个图形：正方形内有4个小圆，小圆直径为10÷2＝5cm，半径为5÷2＝2.5cm，4个小圆的总面积为4×π×2.52＝4×π×6.25＝25π（cm2），阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 第四个图形：可看作正方形内有4个扇形，合起来是一个圆，半径为10÷2＝5cm，圆的面积为：25π（cm2），阴影面积为：（100－25π）cm2，与第一个图形阴影面积相等。 【规范解答】第一个图形：10×10＝100（cm2） 10÷2＝5（cm） π×52＝25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 第二个图形： π×102 ＝π×100 ＝25π（cm2） 则阴影面积：（100－25π）cm2 第三个图形：10÷2＝5（cm） 5÷2＝2.5（cm） 4×π×2.52 ＝4×π×6.25 ＝25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 第四个图形：10÷2＝5（cm） 空白部分面积：25π（cm2） 阴影面积：（100－25π）cm2 除第一个图形外，其余3个图形中，有3个图形的阴影面积与第一个图形相等。 故答案为：C 2．（25-26六年级上·全国·单元测试）中国空间站的机械臂需要将实验设备从节点舱A转移至实验舱B，转移路径规划如图所示：AB为一条直线轨道（可视为大半圆的直径），在AB轨道旁还规划了5条辅助弧形路径，每条辅助路径均为小半圆的弧长，且所有小半圆的直径均在AB直线上并依次相连。机械臂甲沿大半圆的弧长（路线①）转移，机械臂乙沿5个小半圆的弧长之和（路线②）转移，若两台机械臂的移动速度相同，则下列说法正确的是（    ）。 A．甲先到达 B．乙先到达 C．甲、乙同时到达 D．无法判断 【答案】C 【技巧点拨】根据圆的周长公式C＝πd（d为直径），甲走的路程等于大半圆的弧长，乙走的路程等于5个小半圆的弧长和，因为大半圆的直径等于5个小半圆的直径和，且甲、乙速度一样，所以甲、乙走的路程一样多。举例说明即可。 【规范解答】设5个小半圆的直径从小到大依次为2、4、6、8、10。 则大半圆的直径为：2＋4＋6＋8＋10＝30 所以大半圆的弧长为：×π×30＝15π 5个小半圆的弧长之和为：×π×（2＋4＋6＋8＋10）＝15π 所以大半圆弧长和5个小半圆弧长之和相等，即甲、乙走的路程相等； 又因为甲、乙移动速度相同，所以到达B的时间一样。 所以甲、乙同时到达B。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：如果图1中的外面正方形面积是16dm2，则内圆面积是( )dm2；如果图2中的外圆面积是12.56dm2，则圆内正方形面积是( )dm2。 【答案】 12.56 8 【技巧点拨】图1：根据正方形面积求出边长，也就是内圆直径，根据求内圆面积。图2：根据求出外圆半径，连接正方形对角线，得到两个面积相等的三角形，三角形的底边是直径长，高是半径长，那么正方形面积根据计算解答。 【规范解答】因为（），所以正方形边长也就是内圆直径都是4dm，半径是（dm）。 （） 图1内圆面积是12.56。 （），因为（），所以外圆半径是2dm。 （） 图2圆内正方形面积是8。 4．（24-25六年级上·河北衡水·期末）某小学有一个半圆形花坛（如下图），半径是3米，为保护这个花坛，学校计划在这个花坛的周围修1米宽的隔离带，求修隔离带的面积？ 【答案】10.99平方米 【技巧点拨】从图中可知，小半圆的半径r是3米，大半圆的半径R是（3＋1）米；求修隔离带的面积，就是求半圆环的面积；根据半圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）÷2，代入数据计算求解。 【规范解答】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（平方米） 答：修隔离带的面积是10.99平方米。 5．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）如图，停车场收费站的起落杆经过一辆车即为完成一次升降运动，某停车场的起落杆长米。若该收费站通过1辆车，则处于起落杆末端的点移动了多少米？（取3.14） 【答案】10.99米 【技巧点拨】观察可知，可把起落杆看作半径，一次升降A点移动的距离即为2个圆周长的，根据圆的周长公式，代入数据可计算圆的周长，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆的周长乘再乘2，即可得解。 【规范解答】 （米） 答：处于起落杆末端的点移动了10.99米。 1．（24-25六年级上·河北石家庄·期中）如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长和长方形的周长相比，（    ）。 A．圆的周长小于长方形的周长 B．圆的周长大于长方形的周长 C．圆的周长等于长方形的周长 【答案】A 【技巧点拨】圆的周长＝π×r×2，圆的面积＝π×r2，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。设，长方形的长为a，宽为b。由图可知长方形的宽等于圆的半径，圆的半径为b。由题意可知，圆的面积＝长方形面积，代入公式计算出a和b的关系。再分别算出圆的周长和长方形周长比较大小即可。 【规范解答】设长方形长为a，宽为b，则圆的半径也为b。 a×b＝π×b2 a×b÷b＝π×b2÷b a＝πb 长方形周长：（a＋b）×2 ＝（πb＋b）×2 ＝2×（π＋1）×b ＝（2π＋2）×b ＝（2π＋2）b 圆的周长：π×b×2＝2πb （2π＋2）b－2πb ＝（2π＋2－2π）×b ＝2×b ＝2b 由题意可知b＞0，则2b＞0，所以长方形周长大于圆的周长，即圆的周长小于长方形的周长。 故答案为：A 【考点剖析】仔细观察图形，找出圆的半径和长方形的宽，以及利用圆的面积公式找出长方形的长与圆的周长之间的关系是解题的关键。 2．（2024六年级·广东深圳·竞赛）如图是圆形轨道，A和B两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，圆形轨道直径最多是（    ）米。（取π＝3.14，精确至0.01米） A．28.65 B．28.66 C．26.26 D．24.3 E．25.21 【答案】B 【技巧点拨】先假设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，根据15分钟内相遇7次，接近相遇8次；再根据如果A的速度每分钟增加6米，15分钟内相遇9次，接近相遇10次；建立等量关系式，然后进一步确定直径的取值范围解答即可。 【规范解答】解：设圆的直径为d，A和B的速度和是每分钟v米，则： 7πd≤15v＜8πd……① 9πd≤15（v＋6）＜10πd……② ②﹣①得：πd＜15×6＜3πd 即πd＜90＜3πd 则 9.55414＜d＜28.6624 d精确至0.01米，所以9.55＜d＜28.66 即圆形轨道直径最多是28.66米。 故答案选：B 3．（2025六年级上·浙江杭州·专题练习）如图，有一台扫地机器人，底面是半径为15厘米的圆盘。它在一个长方形场地内移动，碰到障碍物会自动转弯。该扫地机器人扫地时，底面覆盖不到的面积是( )平方厘米。 【答案】193.5 【技巧点拨】扫地机器人底面是半径为15厘米的圆盘，在一个长方形场地内移动时，底面覆盖不到的区域通常是长方形的四个角落部分； 这四个角落合起来的面积可以看作是边长为圆的直径的正方形面积减去一个完整的圆的面积。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 即底面覆盖不到的面积是193.5平方厘米。 【考点剖析】解决不规则的图形面积的核心思路在于分析空白区域的形状构成，通过面积的和差来计算。 4．（24-25六年级上·河南郑州·期末）小启家楼下的小吃店新推出一种小烧饼，价格只有原来的一半，直径大约是原来的，薄厚没变。小启认为买小烧饼合算，好朋友小航却认为买大烧饼合算。请你运用学过的数学知识判断谁说的正确。 【答案】小航 【技巧点拨】假设大烧饼直径为5，价格为2元，即小烧饼价格为2÷2＝1元。 大烧饼半径为5÷2＝2.5，根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），大烧饼面积为：3.14×2.52＝19.625。大烧饼价格为2元，因此1元能买到的面积为：19.625÷2＝9.8125。 小烧饼直径是大烧饼的，即直径为5×＝3，半径为3÷2＝1.5。小烧饼面积为：3.14×1.52＝7.065。小烧饼价格为1元，因此1元能买到的面积就是7.065。 比较两者的“单位价格面积”即可。因为9.8125＞7.065，说明大烧饼1元能买到的面积更大。 【规范解答】假设大烧饼直径为5，价格为2元。 小烧饼价格：2÷2＝1（元） 大烧饼：5÷2＝2.5 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625 19.625÷2＝9.8125 小烧饼：5×＝3 3÷2＝1.5 3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065 9.8125＞7.065，说明大烧饼1元能买到的面积更大。 答：买大烧饼更合算，小航说的正确。 【考点剖析】本题主要考查圆的面积的应用，通过假设具体数值（主要为了方便计算，不影响结果），再结合圆的面积公式解答。 5．（22-23六年级上·浙江温州·期末）圆是一个很有意思的图形，关于圆的面积计算也有很多巧妙的方法，让我们一起来学习与尝试吧！ 我有发现。 （1）亮亮巧用“r2”求出下图中圆的面积。 他的解题思路是： 因为正方形的边长等于圆的半径，那么正方形的面积正好是r2，因此圆的面积是（    ）平方厘米。 你瞧！半径不知道，但是r2已经知道，也能求出圆的面积。 我来尝试。 （2）已知下图中三角形的面积是8平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 我能创新。 （3）如图，等腰直角三角形的直角边长10厘米，以直角顶点为圆心，直角边为半径画一个圆，再以直角三角形斜边的中点为圆心，斜边为直径画一个圆。图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）15.7 （2）25.12平方厘米 （3）50平方厘米 【技巧点拨】（1）从图中可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的面积公式S＝a2可知，正方形的面积正好是r2，把r2的值代入圆的面积公式S＝πr2中计算，即可求出圆的面积。 （2）从图中可知，把阴影三角形用斜边上的高平均分成2个小直角三角形，如图中所示，把两个小直角三角形拼在一起，组成一个正方形，正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积等于阴影三角形的面积8平方厘米，则正方形的面积正好是r2，把r2的值代入圆的面积公式S＝πr2中计算，即可求出圆的面积。 （3）已知等腰直角三角形的直角边长10厘米，那么这个三角形的底和高都是10厘米；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出这个三角形的面积； 由上一题可知，这个三角形的面积正好是r2，把r2的值代入圆的面积公式S＝πr2中计算，求出以直角三角形斜边为直径的半圆的面积； 再根据圆的面积公式求出以半径为10厘米的圆的面积，减去等腰直角三角形的面积，即是圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积； 最后用半圆的面积减去圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积，求出阴影部分的面积。 【规范解答】（1）3.14×5＝15.7（平方厘米） 因此圆的面积是15.7平方厘米。 （2）3.14×8＝25.12（平方厘米） 答：圆的面积是25.12平方厘米。 （3）直角三角形的面积：10×10÷2＝50（平方厘米） 半圆的面积：3.14×50÷2＝78.5（平方厘米） 圆的面积：3.14×10×10×＝78.5（平方厘米） 圆的弧与三角形斜边组成的图形的面积：78.5－50＝28.5（平方厘米） 阴影部分的面积：78.5－28.5＝50（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是50平方厘米。 【考点剖析】本题考查巧用r2求圆的面积，虽然不知道圆的半径，但是知道r2，也能求出圆的面积。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $