第四单元 线与角（解决问题专项）数学北京版四年级上册

第四单元 线与角 （8个类型题讲练+三大难度分层练 共39题） 第一部分：类型题讲练 一、核心考察题型 1. 基础概念辨析题 题型示例： 判断直线、射线、线段的特征（如“直线无端点、可无限延伸；射线有1个端点；线段有2个端点、可度量长度”）。 识别角的类型（锐角＜90°、直角=90°、钝角＞90°且＜180°、平角=180°、周角=360°），如“钟面上6时整，时针与分针成平角”。 区分平行与垂直（“同一平面内永不相交的两条直线为平行线；相交成直角的两条直线互相垂直”）。 解题技巧： 紧扣定义记忆，如“线段是直线上两点间的部分，长度可测；射线一端无限延伸，不可测长度”。 利用工具辅助判断（如三角板验证直角，量角器验证角度）。 2. 角度计算与测量题 题型示例： 钟面角度问题：如“3时整，时针与分针成直角；6:15时，分针与时针夹角为钝角”。 组合角计算：如“已知∠1=40°，求∠2=180°-∠1=140°（邻补角关系）”。 图形角度和：如“直角顶点在直线上时，所有小于平角的角之和为180°+180°+90°=450°”。 解题技巧： 量角器使用：中心对顶点，零刻度线对一边，另一边所指刻度即为角的大小。 特殊角绘制：用三角板直接画30°、45°、60°、90°角；用量角器画任意度数角（如120°需先画射线，再沿量角器120°刻度标记点并连线）。 角度关系推理：利用“平角=180°”“周角=360°”“直角=90°”及邻补角、对顶角性质解题。 3. 画图操作题 题型示例： 画线段、射线、直线（如“过A点画直线，过B、C两点画直线”）。 画平行线与垂线（如“用三角板过直线外一点画平行线”）。 实际场景应用：如“设计从学校到公园的最短路径（利用‘两点之间线段最短’）”。 解题技巧： 平行线画法：用三角板“靠齐-平移-画线”三步法，确保“永不相交”。 垂线画法：用三角板直角边对齐已知直线，另一边过直线外一点，画垂线段（“垂线段最短”）。 数形结合：通过画图直观验证几何关系（如垂直、平行）。 4. 图形计数与组合题 题型示例： 数线段：如“一条直线上有5个点，可数出10条线段（公式：n(n-1)/2）”。 数角：如“图形中有4个小角，可组合出10个角（直接法：单个角+组合角；简便法：1+2+3+4=10）”。 图形拼接中的角度问题：如“两张长方形纸折出45°、90°、135°角”。 解题技巧： 分类计数法：按“基本单元-组合单元”逐级统计，避免遗漏（如数角时先数单个角，再数两角组合、三三角组合等）。 公式应用：线段数=点数×(点数-1)/2；角数=基本角数×(基本角数+1)/2（适用于规则图形）。 5. 实际应用题 题型示例： 最短路径问题：如“小明回家有三条路，哪条最近？理由：两点之间线段最短”。 生活场景建模：如“用平行线设计斑马线路径，用垂直线设计墙角支架”。 测量问题：如“用卷尺测量两点间距离（线段长度）”。 解题技巧： 模型转化：将实际问题抽象为几何模型（如“路径问题”转化为线段长度比较）。 工具使用：结合量角器、三角板、直尺等工具解决实际问题（如测量角度、画设计图）。 二、综合解题策略 概念先行：明确直线、射线、线段、角、平行、垂直的定义及性质，避免概念混淆。 工具熟练：掌握量角器、三角板、直尺的使用方法，确保操作准确。 数形结合：通过画图辅助理解题意，直观展示几何关系（如垂直、平行、角度大小）。 逻辑推理：利用角度和差关系、平行与垂直的性质进行推导（如“直角+锐角=钝角”）。 验证习惯：解题后通过测量或画图验证结果（如“画出的角是否为指定度数”）。 类型1 线段、直线、射线的认识及特征 典型例题1：（25-26四年级上·全国·课后作业）( )条直线  ( )条线段  ( )条射线 思路分析：（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；（2）线段有两个端点，不能延伸，能量出长度。（3）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度. 变式训练1：（24-25四年级上·广东中山·单元测试）画出线段AB、射线BC、直线AC。 变式训练2：（24-25四年级上·山东德州·期中）下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 类型2 数图形（线段、直线、射线) 典型例题2：（25-26四年级上·山西运城·阶段练习）在同一平面内，2条直线相交只有1个交点。 (1)试着在下面画一画，想想3条直线，在同一平面内相交，最多有( )个交点。列式为1十2＝3。 (2)在同一平面内，4条直线相交最多有( )个交点。列式为1十2十3＝6，5条直线相交最多有( )个交点，再画一画、想一想。 列式为：( )。 结论：根据上面的探究，我发现：在同一平面内，10条直线相交最多有( )个交点。 列式为：( )。 思路分析：（1）假设3条直线分别为a、b、c，如果这3条直线两两相交，可以是a和b有1个交点，b和c有1个交点，a和c有1个交点，则最多有1＋2＝3个交点。据此解答。 （2）假设4条直线分别为a、b、c、d，如果这4条直线两两相交，参照（1）的方法，可以有1＋2＋3＝6个交点。按照此方法，5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10个交点，……，10条直线相交最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45个交点，据此解答即可。 变式训练1：（24-25四年级上·北京·课后作业）在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（     ）。 A．2cm B．0.5cm C．1.5cm D．1cm 变式训练2：（24-25四年级上·四川成都·期中）如图，图中有( )条线段，( )个三角形，( )个梯形。 类型3 角的概念及表示方法 典型例题3：（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）用100倍的放大镜看30°的角，这时该角为（    ）。 A．30° B．100° C．130° D．300° 思路分析：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边，角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小，放大镜只会改变角两边的长短，不会改变角的大小，据此解答即可。 变式训练1：（25-26四年级上·全国·课后作业）( )个角 变式训练2：（20-21四年级上·广东深圳·期末）下图一共有（　　）个角。 A．4 B．6 C．8 D．10 类型4 角的度量 典型例题4：（24-25四年级上·河南驻马店·期中）从一点引出两条( )所组成的图形叫做角。量角的大小要用( )，角的度量单位是( )。 变式训练1：（24-25四年级上·河南焦作·期中）量出下面各角的度数。 ∠1＝( )°                ∠2＝( )° 变式训练2：（25-26四年级上·陕西汉中·阶段练习）钟面上时针和分针所形成的角是什么角，并写出度数。 ( )角    ( )角    ( )角 ( )°    ( )°    ( )° 类型5 平角、周角的认识及特征 典型例题5：（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图，比较∠1和∠2的大小，结果是（    ）。 A．∠1大 B．∠2大 C．一样大 D．∠1大于∠2 思路分析：如图：标记∠3；根据平角是180°，用∠1与∠3、∠2与∠3的和都是180°，判断即可。 变式训练1：（24-25四年级上·湖南长沙·期中）钟面上3时整，分针和时针成（    ）度。 A．90 B．100 C．120 变式训练2：（23-24四年级上·山东菏泽·期中）下面的说法正确的有（    ）个。 ①把一个十一位数改写成用“亿”作单位的数应该舍去“亿”后面的数。 ②一个因数的中间有0，积的中间也一定有0。 ③面积是1公顷的一块土地，一定是边长为100米的正方形土地。 ④平角就是一条直线。 A．0 B．1 C．2 D．3 类型6 用量角器画角 典型例题6：（21-22四年级上·甘肃平凉·期末）①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 思路分析：（1）使用量角器画100度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的高 变式训练1：（24-25四年级上·陕西渭南·期末）量一量，画一画，填一填。 （1）如图中，与线段平行的是线段（    ），与线段垂直的是线段（    ）。 （2）以点为顶点画一个的角。 （3）量一量，（    ）。 （4）画出直线的垂线。 变式训练2：（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）用喜欢的方法画角。 90°    175°    130°    65° 类型7 用三角尺画角 典型例题7：（24-25四年级上·山东德州·期中）画一个135°的角，同学们想到了不同的方法，正确的有（    ）种。 A．0 B．1 C．2 D．3 思路分析：①两个三角板的内角分别为45°和90°，所以画出的角为45°＋90°＝135°； ②一个圆形对折3次，即将一个周角平均分成8份，每份的度数为360°÷8＝45°，所画角包含其中3份，所以画出的角为45°×3＝135°； ③根据量角器画角的方法，图中角的一边与0刻度线重合，另一边与45°重合，这个角的度数是45°； ④图中三角形的一个内角和135°的角组成一个平角，平角是180°，180°－135°＝45°，验证45°＋135°＝180°，所以这个角的度数是135°。 变式训练1：（24-25四年级上·河北邢台·期中）下面角中，不能用一副三角板拼成的是 （    ）。 A．105度 B．55度 C．165度 D．15度 变式训练2：（24-25四年级上·浙江·期中）请用量角器画一个比直角小35°的角，再用一副三角板画一个150°的角，保留作图痕迹。 类型8 角度的计算 典型例题8：（25-26四年级上·河北唐山·期中）在钟面上，从12时整到1时整，分针旋转了( )°，时针旋转了( )°。9时整，时针和分针所成的较小角是( )角。 思路分析：从12时到1时，分针走了一圈，时针走了一大格，钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，9时整，时针指向9，分针指向12，较小的角间隔3个大格，据此解答。 变式训练1：（25-26四年级上·全国·课后作业）分别写出下面三角尺拼成的角的度数。 ∠1＝( )    ∠2＝( )    ∠3＝( )    ∠4＝( ) 变式训练2：（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图是一张长方形纸折起来以后的图形。已知∠1＝20°，则∠2是( )°。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）从夏红家到公园有4条路线（如下图）。长度分别是：1000米、900米、950米、1200米。路线②的长度是（    ）。 A．1200米 B．1000米 C．950米 D．900米 2．（24-25四年级上·北京昌平·期末）2024年6月22日晚“运河源白浮韵”昌平运河文化节活动在大运河源头遗址公园举办。随着绚丽灯光的亮起，一场唯美梦幻“白浮夜游”活动拉开帷幕。这些舞台灯射出的光线我们可以看成（    ）。 A．射线 B．线段 C．直线 D．曲线 3．（22-23四年级上·河南驻马店·期末）在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的( )，可以向两端无限延长的( )和只有1个端点的( )，三个兄弟告诉我们：做事，要像( )那样“有始有终，坚持到底。学习，要像( )那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像( )那样“无始无终，自由大胆”。 4．（23-24四年级上·北京·期末）两个锐角能否拼成一个平角？如图是两位同学的说法。 你同意谁的说法？请说明理由。 5．（21-22四年级下·湖南湘西·期末）从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？ 1．（24-25四年级上·北京房山·期中）2022年11月29日23时18分，神舟十五号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，此时钟面上的时针和分针所组成的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 2．（24-25四年级上·北京延庆·期末）把一张圆形纸片对折三次后（如下图），最后得到的角是（    ）。 A．180° B．90° C．60° D．45° 3．（25-26四年级上·全国·课后作业）先说出每个钟面上的时间，再量出时针和分针所成的较小角的度数。                 ( )时       ( )时    ( )时     ( )时 ( )°       ( )°     ( )°    ( )° 4．（24-25四年级上·北京延庆·期末）钟表上的问题。 （1）画出17时整，时针的位置。 （2）17时整，时针和分针所夹的较小角是多少度？ 5．（24-25四年级上·北京·期中）手机已成为人们不可缺少的生活用品。为了保护个人信息，我们可以给手机加一个屏幕锁，手机屏幕锁一般有四种，分别是密码锁、图形锁、指纹锁和指令信息锁。 （1）图形锁就是在九宫格上设置一笔连成的图案，最少需要连续4个点，最多连续9个点。东东妈妈解锁手机的密码是一个图形锁，这个图形锁里有2个直角，1个锐角，东东妈妈的图形锁可能是（    ）。 （2）设计一个图形锁，使它既有锐角，也有直角，还有钝角。请你在图中画一画。 1．（24-25四年级上·北京·课后作业）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距是（ ）. A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm 2．（24-25四年级上·北京房山·期末）将一张圆形纸连续对折3次后打开，折痕形成的角中最小的是（    ）。 A．90° B．60° C．45° D．30° 3．（24-25四年级上·福建泉州·期中）用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈( )刻度线上。 4．（21-22四年级上·河南漯河·期末）按要求画，再填空。 （1）画出直线AB。 （2）画出线段CB。 （3）画出射线CA。 （4）用量角器量出的度数是（    ）。 5．（21-22四年级上·北京·单元测试）把正方形剪去一个角，剩下的部分有多少个角？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 线与角 （8个类型题讲练+三大难度分层练 共39题） 第一部分：类型题讲练 一、核心考察题型 1. 基础概念辨析题 题型示例： 判断直线、射线、线段的特征（如“直线无端点、可无限延伸；射线有1个端点；线段有2个端点、可度量长度”）。 识别角的类型（锐角＜90°、直角=90°、钝角＞90°且＜180°、平角=180°、周角=360°），如“钟面上6时整，时针与分针成平角”。 区分平行与垂直（“同一平面内永不相交的两条直线为平行线；相交成直角的两条直线互相垂直”）。 解题技巧： 紧扣定义记忆，如“线段是直线上两点间的部分，长度可测；射线一端无限延伸，不可测长度”。 利用工具辅助判断（如三角板验证直角，量角器验证角度）。 2. 角度计算与测量题 题型示例： 钟面角度问题：如“3时整，时针与分针成直角；6:15时，分针与时针夹角为钝角”。 组合角计算：如“已知∠1=40°，求∠2=180°-∠1=140°（邻补角关系）”。 图形角度和：如“直角顶点在直线上时，所有小于平角的角之和为180°+180°+90°=450°”。 解题技巧： 量角器使用：中心对顶点，零刻度线对一边，另一边所指刻度即为角的大小。 特殊角绘制：用三角板直接画30°、45°、60°、90°角；用量角器画任意度数角（如120°需先画射线，再沿量角器120°刻度标记点并连线）。 角度关系推理：利用“平角=180°”“周角=360°”“直角=90°”及邻补角、对顶角性质解题。 3. 画图操作题 题型示例： 画线段、射线、直线（如“过A点画直线，过B、C两点画直线”）。 画平行线与垂线（如“用三角板过直线外一点画平行线”）。 实际场景应用：如“设计从学校到公园的最短路径（利用‘两点之间线段最短’）”。 解题技巧： 平行线画法：用三角板“靠齐-平移-画线”三步法，确保“永不相交”。 垂线画法：用三角板直角边对齐已知直线，另一边过直线外一点，画垂线段（“垂线段最短”）。 数形结合：通过画图直观验证几何关系（如垂直、平行）。 4. 图形计数与组合题 题型示例： 数线段：如“一条直线上有5个点，可数出10条线段（公式：n(n-1)/2）”。 数角：如“图形中有4个小角，可组合出10个角（直接法：单个角+组合角；简便法：1+2+3+4=10）”。 图形拼接中的角度问题：如“两张长方形纸折出45°、90°、135°角”。 解题技巧： 分类计数法：按“基本单元-组合单元”逐级统计，避免遗漏（如数角时先数单个角，再数两角组合、三三角组合等）。 公式应用：线段数=点数×(点数-1)/2；角数=基本角数×(基本角数+1)/2（适用于规则图形）。 5. 实际应用题 题型示例： 最短路径问题：如“小明回家有三条路，哪条最近？理由：两点之间线段最短”。 生活场景建模：如“用平行线设计斑马线路径，用垂直线设计墙角支架”。 测量问题：如“用卷尺测量两点间距离（线段长度）”。 解题技巧： 模型转化：将实际问题抽象为几何模型（如“路径问题”转化为线段长度比较）。 工具使用：结合量角器、三角板、直尺等工具解决实际问题（如测量角度、画设计图）。 二、综合解题策略 概念先行：明确直线、射线、线段、角、平行、垂直的定义及性质，避免概念混淆。 工具熟练：掌握量角器、三角板、直尺的使用方法，确保操作准确。 数形结合：通过画图辅助理解题意，直观展示几何关系（如垂直、平行、角度大小）。 逻辑推理：利用角度和差关系、平行与垂直的性质进行推导（如“直角+锐角=钝角”）。 验证习惯：解题后通过测量或画图验证结果（如“画出的角是否为指定度数”）。 类型1 线段、直线、射线的认识及特征 典型例题1：（25-26四年级上·全国·课后作业）( )条直线  ( )条线段  ( )条射线 思路分析：（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；（2）线段有两个端点，不能延伸，能量出长度。（3）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度. 【规范解答】（1）直线没有端点，题图中共有1条直线。 （2）线段有两个端点，直线上的五个端点，每两个端点组成1条线段，因此共有10条线段。 （3）射线有一个端点，每个端点处各有2条射线，共有10条射线。 变式训练1：（24-25四年级上·广东中山·单元测试）画出线段AB、射线BC、直线AC。 【答案】作图如下： 变式训练2：（24-25四年级上·山东德州·期中）下图中有( )条直线，( )条线段，( )条射线。 【答案】 2 9 14 【技巧点拨】根据对直线、线段、射线的认识，直线是把线段的两端无限延长，得到一条直线，线段是直线上任意两点之间的一段叫做线段，射线是线段的一端无限延长得到的。据此可数出直线、线段、射线的数量。 【规范解答】图中的直线是线段AD所在的直线和线段EF所在的直线，所以有2条直线。 图中的线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD、EB、EF、BF，共有9条线段。 根据射线的概念，其中A、C、D、E、F这5个点每个端点可有两个方向的射线，其中B点可有四个方向的射线，所以射线共有5×2＋4＝10＋4＝14（条）。 因此，图中有2条直线，9条线段，14条射线。 类型2 数图形（线段、直线、射线) 典型例题2：（25-26四年级上·山西运城·阶段练习）在同一平面内，2条直线相交只有1个交点。 (1)试着在下面画一画，想想3条直线，在同一平面内相交，最多有( )个交点。列式为1十2＝3。 (2)在同一平面内，4条直线相交最多有( )个交点。列式为1十2十3＝6，5条直线相交最多有( )个交点，再画一画、想一想。 列式为：( )。 结论：根据上面的探究，我发现：在同一平面内，10条直线相交最多有( )个交点。 列式为：( )。 思路分析：（1）假设3条直线分别为a、b、c，如果这3条直线两两相交，可以是a和b有1个交点，b和c有1个交点，a和c有1个交点，则最多有1＋2＝3个交点。据此解答。 （2）假设4条直线分别为a、b、c、d，如果这4条直线两两相交，参照（1）的方法，可以有1＋2＋3＝6个交点。按照此方法，5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10个交点，……，10条直线相交最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45个交点，据此解答即可。 【规范解答】（1）如图所示： 3条直线，在同一平面内相交，最多有3个交点。列式为1＋2＝3。 （2）如图所示： 在同一平面内，4条直线相交最多有6个交点。列式为1＋2＋3＝6，5条直线相交最多有10个交点，列式为1＋2＋3＋4＝10。 结论：根据上面的探究，我发现：在同一平面内，10条直线相交最多有45个交点。 列式为：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。 变式训练1：（24-25四年级上·北京·课后作业）在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（     ）。 A．2cm B．0.5cm C．1.5cm D．1cm 【答案】D 变式训练2：（24-25四年级上·四川成都·期中）如图，图中有( )条线段，( )个三角形，( )个梯形。 【答案】 42 18 18 【技巧点拨】（1）线段的判定条件是直线上两个点和它们之间的部分；数线段时，先确定每条线上的线段数量为6条，再数出这样的线的总数为7条，根据乘法原理得到线段总数； （2）三角形的判定条件是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；本题中，固定最上面的顶点与AD、BE、CF上的线段，分别计算这三条线上的线段数，再乘3就能得出三角形的数量； （3）梯形的判定条件是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；在本题中AD、BE、CF这三组线中，确定每两组平行线之间能构成6个梯形，通过组数乘每组构成的梯形数，从而得到梯形的总数量。 【规范解答】根据分析可得： 每条线段（如线段AD）上有6条线段，一共有6×7＝42（条）； 每个三角形都包括顶点以及AD，BE或CF上的一条线段，6×3＝18（个）； AD，BE，CF中任意两条线段之间有6个梯形，6×3＝18（个）； 所以图中有42条线段，18个三角形，18个梯形。 类型3 角的概念及表示方法 典型例题3：（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）用100倍的放大镜看30°的角，这时该角为（    ）。 A．30° B．100° C．130° D．300° 思路分析：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边，角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小，放大镜只会改变角两边的长短，不会改变角的大小，据此解答即可。 【规范解答】用100倍的放大镜看30°的角，这时该角为30°。 故答案为：A 变式训练1：（25-26四年级上·全国·课后作业）( )个角 【答案】15 【技巧点拨】角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 【规范解答】题图中从一点引出6条射线，每2条射线组成1个角，因此共有15个角。 变式训练2：（20-21四年级上·广东深圳·期末）下图一共有（　　）个角。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】如果有n条射线，则有n（n－1）÷2个角，代入数值，进行解答即可。 【规范解答】5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了如何数角，结合图形可以很明白的得出结论，注意数形结合的思想。 类型4 角的度量 典型例题4：（24-25四年级上·河南驻马店·期中）从一点引出两条( )所组成的图形叫做角。量角的大小要用( )，角的度量单位是( )。 【答案】 射线 量角器 度 【规范解答】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角（因为角的定义是由公共端点的两条射线组成）。 量角的大小要用量角器，量角器是量角的专用工具。 角的度量单位是度（用符号“°”表示）。 变式训练1：（24-25四年级上·河南焦作·期中）量出下面各角的度数。 ∠1＝( )°                ∠2＝( )° 【答案】 120 40 【技巧点拨】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。据此解答。 【规范解答】 变式训练2：（25-26四年级上·陕西汉中·阶段练习）钟面上时针和分针所形成的角是什么角，并写出度数。 ( )角    ( )角    ( )角 ( )°    ( )°    ( )° 【答案】 锐 直 钝 60 90 120 【技巧点拨】根据题意，按角分类： 三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。明确在钟面上一共有12个大格，每个大格的夹角是30°，图一时针对着2，分针对着12，夹角有2大格，30°×2＝60°，是锐角；图二时针对着3，分针对着12，夹角有3大格，30°×3＝90°，是直角；图三时针对着8，分针对着12，夹角有4大格，30°×4＝120°，是钝角；以此填空即可。 【规范解答】根据分析可知： 30°×2＝60° 30°×3＝90° 30°×4＝120° 类型5 平角、周角的认识及特征 典型例题5：（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图，比较∠1和∠2的大小，结果是（    ）。 A．∠1大 B．∠2大 C．一样大 D．∠1大于∠2 思路分析：如图：标记∠3；根据平角是180°，用∠1与∠3、∠2与∠3的和都是180°，判断即可。 【规范解答】如图： ∠1＋∠3＝180° ∠2＋∠3＝180° 即∠1＝∠2 所以，比较∠1和∠2的大小，结果是一样大。 故答案为：C 变式训练1：（24-25四年级上·湖南长沙·期中）钟面上3时整，分针和时针成（    ）度。 A．90 B．100 C．120 【答案】A 【技巧点拨】钟面上3时整，时针指向3，分针指向12，时针和分针之间的格子数是3大格，在钟面上，每大格对应的度数是30°，3大格就是90度，据此解答。 【规范解答】30°×3＝90° 钟面上3时整，分针和时针成90度。 故答案为：A 变式训练2：（23-24四年级上·山东菏泽·期中）下面的说法正确的有（    ）个。 ①把一个十一位数改写成用“亿”作单位的数应该舍去“亿”后面的数。 ②一个因数的中间有0，积的中间也一定有0。 ③面积是1公顷的一块土地，一定是边长为100米的正方形土地。 ④平角就是一条直线。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【技巧点拨】①一个十一位数的最高位是百亿位，一个数改写成用“亿”作单位的数，在“亿”后面点上小数点，去掉末尾的0即可。 ②一个因数的中间有0，积的中间不一定有0，例如102×5＝510。 ③1公顷＝10000平方米，10000＝500×20，面积是1公顷的一块土地，可能是长为500米，宽为20米的长方形土地。 ④平角并不是直线，而是两条边在同一条直线上的角，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，①把一个十一位数改写成用“亿”作单位的数应该舍去“亿”后面的数，原题说法错误。 ②一个因数的中间有0，积的中间也一定有0，原题说法错误。 ③面积是1公顷的一块土地，一定是边长为100米的正方形土地，原题说法错误。 ④平角就是一条直线，原题说法错误。 所以下面的说法正确的有0个。 故答案为：A 【考点剖析】此题考查整数改写的方法、面积单位的换算、整数乘法的计算方法、及平角的特征。 类型6 用量角器画角 典型例题6：（21-22四年级上·甘肃平凉·期末）①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 思路分析：（1）使用量角器画100度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的高 【规范解答】 【考点剖析】掌握画角、画平行四边形、梯形的方法，以及画高的方法是解题关键。 变式训练1：（24-25四年级上·陕西渭南·期末）量一量，画一画，填一填。 （1）如图中，与线段平行的是线段（    ），与线段垂直的是线段（    ）。 （2）以点为顶点画一个的角。 （3）量一量，（    ）。 （4）画出直线的垂线。 【答案】（1）， （2）见详解 （3）110 （4）见详解 【技巧点拨】（1）观察图形可知与线段AD平行的是线段BC，垂直的是线段AB； （2）用量角器画角的方法： 1．先确定角的顶点D，再画角的一条边； 2．使量角器的中心与角的顶点重合，零刻度和这条边重合； 3．从量角器的零刻度开始，一度一度地往上找，（分清内外圈）找到80°时，画点表示； 4．连接点与角的顶点。 （3）用量角器的中心点和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数； （4）画出直线AC的垂线。 【规范解答】（1）如图中，与线段 平行的是线段（  BC  ），与线段 垂直的是线段（  AB  ）； ∠1＝110°； 作图如下： 【考点剖析】本题考查知识点多，要灵活运用方法。 变式训练2：（23-24四年级上·陕西咸阳·期中）用喜欢的方法画角。 90°    175°    130°    65° 【答案】图见详解 【技巧点拨】利用量角器画角：画角的顶点和一条边；将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角；据此作图。 【规范解答】根据分析如图： 类型7 用三角尺画角 典型例题7：（24-25四年级上·山东德州·期中）画一个135°的角，同学们想到了不同的方法，正确的有（    ）种。 A．0 B．1 C．2 D．3 思路分析：①两个三角板的内角分别为45°和90°，所以画出的角为45°＋90°＝135°； ②一个圆形对折3次，即将一个周角平均分成8份，每份的度数为360°÷8＝45°，所画角包含其中3份，所以画出的角为45°×3＝135°； ③根据量角器画角的方法，图中角的一边与0刻度线重合，另一边与45°重合，这个角的度数是45°； ④图中三角形的一个内角和135°的角组成一个平角，平角是180°，180°－135°＝45°，验证45°＋135°＝180°，所以这个角的度数是135°。 【规范解答】根据分析： ①画出的角为45°＋90°＝135°； ②画出的角为45°×3＝135°； ③画出的角为45°； ④画出的角为135°； 因此正确的有3种。 故答案为：D 变式训练1：（24-25四年级上·河北邢台·期中）下面角中，不能用一副三角板拼成的是 （    ）。 A．105度 B．55度 C．165度 D．15度 【答案】B 【技巧点拨】根据题意，一副三角板的角度为30°、45°、60°、90°，通过角的和或差可拼出其他角。需判断各选项能否由这些角组合而成。 【规范解答】根据分析可知： A．60° ＋ 45° ＝ 105°，可拼出。 B．无法通过30°、45°、60°、90°的和或差得到55°，无法拼出。 C．90° ＋ 30° ＋ 45° ＝ 165°，可拼出。 D．45° －30° ＝ 15°，可拼出。 故答案为：B 变式训练2：（24-25四年级上·浙江·期中）请用量角器画一个比直角小35°的角，再用一副三角板画一个150°的角，保留作图痕迹。 【答案】见详解 【技巧点拨】直角为90°，画一个比直角小35°的角，也就是90°－35°＝55°，画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器55°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，画出150°的角可用90°＋60°这两个角拼成。 【规范解答】90°－35°＝55° 根据分析作图如下： 类型8 角度的计算 典型例题8：（25-26四年级上·河北唐山·期中）在钟面上，从12时整到1时整，分针旋转了( )°，时针旋转了( )°。9时整，时针和分针所成的较小角是( )角。 思路分析：从12时到1时，分针走了一圈，时针走了一大格，钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，9时整，时针指向9，分针指向12，较小的角间隔3个大格，据此解答。 【规范解答】360°÷12＝30° 30°×3＝90° 在钟面上，从12时整到1时整，分针旋转了360°，时针旋转了30°。9时整，时针和分针所成的较小角是直角。 变式训练1：（25-26四年级上·全国·课后作业）分别写出下面三角尺拼成的角的度数。 ∠1＝( )    ∠2＝( )    ∠3＝( )    ∠4＝( ) 【答案】 120° 15° 150° 45° 【技巧点拨】三角尺有两种，一种是等腰直角三角尺（45°，45°，90°），一种是直角三角尺（30°，60°，90°） ①：∠1与60°角组成平角，平角为180°，平角减去60°角就是∠1。 ②：有一个三角尺的角是60°，另一个三角尺的角是45°，∠2是这两个角的差。 ③：三角尺的一个锐角为30°，∠3与30°角组成平角，∠3是平角与30°角的差。 ④：∠4与45°角组成直角，直角为90°，∠4为直角与45°角的差。 【规范解答】①：∠1＝180°－60°＝120° ②：∠2＝60°－45°＝15° ③：∠3＝180°－30°＝150° ④：∠4＝90°－45°＝45° 【考点剖析】此题关键是分析出要求的角与三角尺上角的关系，再结合平角，直角，通过角之间的关系列式求解。 变式训练2：（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图是一张长方形纸折起来以后的图形。已知∠1＝20°，则∠2是( )°。 【答案】80 【技巧点拨】由题意得，该图形是长方形纸折叠之后得到的，所以∠2与它左边的那个角相等。由图可知，∠1，∠2和∠2左边的那个角合起来组成了一个平角。∠1＝20°，可以用180°减去∠1的度数算出∠2度数的2倍，然后再除以2即可算出∠2的度数。 【规范解答】（180°－∠1）÷2 ＝（180°－20°）÷2 ＝160°÷2 ＝80° 故∠2＝80°。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·北京延庆·期末）从夏红家到公园有4条路线（如下图）。长度分别是：1000米、900米、950米、1200米。路线②的长度是（    ）。 A．1200米 B．1000米 C．950米 D．900米 【答案】D 【技巧点拨】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短，观察图可知，路线②的长度最短，比较选出最短的即可。 【规范解答】由分析可知： 1200米＞1000米＞950米＞900米 所以，路线②的长度是900米。 故答案为：D 2．（24-25四年级上·北京昌平·期末）2024年6月22日晚“运河源白浮韵”昌平运河文化节活动在大运河源头遗址公园举办。随着绚丽灯光的亮起，一场唯美梦幻“白浮夜游”活动拉开帷幕。这些舞台灯射出的光线我们可以看成（    ）。 A．射线 B．线段 C．直线 D．曲线 【答案】A 【技巧点拨】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。据此解答。 【规范解答】由题意得，这些舞台灯射出的光线从一个地方发出（可以看成一个端点），向另一端无限延伸，可以看成射线。 故答案为：A 3．（22-23四年级上·河南驻马店·期末）在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的( )，可以向两端无限延长的( )和只有1个端点的( )，三个兄弟告诉我们：做事，要像( )那样“有始有终，坚持到底。学习，要像( )那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像( )那样“无始无终，自由大胆”。 【答案】 线段 直线 射线 线段 射线 直线 【技巧点拨】直线上任意两点之间的一段叫做线段；把线段的一端无限延长，得到一条射线；把线段的两端无限延长，得到一条直线；线段有两个端点，长度是有限的，射线只有一个端点，无限长，直线没有端点，无限长；据此即可解答。 【规范解答】在数学课上，我们认识了线家族的三个兄弟：能测量长度的线段，可以向两端无限延长的直线和只有1个端点的射线，三个兄弟告诉我们：做事，要像线段那样“有始有终，坚持到底。学习，要像射线那样“有始无终，勇往直前”；想象，要像直线那样“无始无终，自由大胆”。 4．（23-24四年级上·北京·期末）两个锐角能否拼成一个平角？如图是两位同学的说法。 你同意谁的说法？请说明理由。 【答案】我同意小刚的说法。因为两个锐角都小于90度，不可能拼成180度的平角。 【技巧点拨】平角等于180度，锐角小于90度，据此解答。 【规范解答】答：我同意小刚的说法。因为两个锐角都小于90度，不可能拼成180度的平角。 【考点剖析】本题考查了锐角和平角的特征及认识。 5．（21-22四年级下·湖南湘西·期末）从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？ 【答案】见详解。 【技巧点拨】从学校到少年宫有三条路可以走，只有中间的路线②最近，因为“两点间所有连线中线段最短”，据此解答即可。 【规范解答】从学校到少年宫，选择中间的那条路最近，也就是路②，因为两点间所有连线中线段最短。 【考点剖析】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。 1．（24-25四年级上·北京房山·期中）2022年11月29日23时18分，神舟十五号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，此时钟面上的时针和分针所组成的角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】C 【技巧点拨】由钟面知识可知，钟面上有12个相等的大格，60个相等的小格。根据周角是360°的角可知，钟面上每个大格之间是30°，每个小格之间是6°。大致计算出时针和分针之间的夹角度数，即可判断此时钟面时针和分针组成一个什么角。据此解答。 【规范解答】根据题意，此时时针指在数字11和数字12之间，偏向11。分针指在第18个小格。时针和分针之间的夹角至少有18个小格。18×6°＝108°，90°＜108°＜180°，所以此时钟面上的时针和分针所组成的角是钝角。 故答案为：C 2．（24-25四年级上·北京延庆·期末）把一张圆形纸片对折三次后（如下图），最后得到的角是（    ）。 A．180° B．90° C．60° D．45° 【答案】D 【技巧点拨】由图可知，圆形纸片第一次对折，得到的角是周角的一半。360°÷2＝180°，所以第一次对折后得到的角的度数是180°。第二次对折，得到的角是平角的一半，180°÷2＝90°，所以第二次对折后得到的角的度数是90°。第三次对折，得到的角是直角的一半，90°÷2＝45°，所以第三次对折后得到的角的度数是45°。 【规范解答】360°÷2÷2÷2 ＝180°÷2÷2 ＝90°÷2 ＝45° 故把一张圆形纸片对折三次后，最后得到的角是45°。 故答案为：D 3．（25-26四年级上·全国·课后作业）先说出每个钟面上的时间，再量出时针和分针所成的较小角的度数。                 ( )时       ( )时    ( )时     ( )时 ( )°       ( )°     ( )°    ( )° 【答案】 2 5 9 11 60 150 90 30 【技巧点拨】 根据钟表的认识可知，分针指向12，时针指向几，表示几时；根据用量角器测量角的方法测量出每个角的度数即可。 【规范解答】第一个钟面时间：时针指向2，分针指向12，所以是2时。组成的较小角角度是60°。 第二个钟面时间：时针指向5，分针指向12，所以是5时。组成的较小角角度是150° 。 第三个钟面时间：时针指向9，分针指向12，所以是9时。组成的较小角角度是90° 。 第四个钟面时间：时针指向11，分针指向12，所以是11时。组成的较小角角度是30°。 （ 2 ）时     （ 5 ）时    （ 9 ）时       （11 ）时  （ 60 ）°     （ 150 ）° （ 90 ）°     （ 30 ）° 4．（24-25四年级上·北京延庆·期末）钟表上的问题。 （1）画出17时整，时针的位置。 （2）17时整，时针和分针所夹的较小角是多少度？ 【答案】（1）见详解 （2）150度 【技巧点拨】（1）24时计时法→普通计时法：加上时间限制词（如凌晨、早晨、上午、下午、晚上等），数字大于12的需要减掉12。由题意得，先把17时转化为12时计时法。17－12＝5，所以17时＝下午5时。下午5时时，时针指向数字5，分针指向数字12。据此作图。 （2）钟面上有12个大格，每个大格对应的角度是30°。下午5时时，时针和分针之间有5个大格，每个大格的度数是30°，那么直接用30°乘5即可算出时针和分针所夹的较小角是多少度。 【规范解答】 （1） （2）30°×5＝150° 答：17时整，时针和分针所夹的较小角是150度。 5．（24-25四年级上·北京·期中）手机已成为人们不可缺少的生活用品。为了保护个人信息，我们可以给手机加一个屏幕锁，手机屏幕锁一般有四种，分别是密码锁、图形锁、指纹锁和指令信息锁。 （1）图形锁就是在九宫格上设置一笔连成的图案，最少需要连续4个点，最多连续9个点。东东妈妈解锁手机的密码是一个图形锁，这个图形锁里有2个直角，1个锐角，东东妈妈的图形锁可能是（    ）。 （2）设计一个图形锁，使它既有锐角，也有直角，还有钝角。请你在图中画一画。 【答案】（1）C （2）见详解 【技巧点拨】（1）锐角大于0度小于90度，直角等于90度； （2）钝角是大于90°小于180°的角，根据角的分类画出的图形锁符合条件即可；据此解答。 【规范解答】根据分析： （1）A.有两个锐角； B．有1个直角，2个锐角； C．有2个直角，1个锐角； 所以东东妈妈的图形锁可能是。 故答案为：C （2）如图： （答案不唯一） 1．（24-25四年级上·北京·课后作业）已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=5cm，BC=3cm，那么点A与点C之间的距是（ ）. A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm 【答案】C 2．（24-25四年级上·北京房山·期末）将一张圆形纸连续对折3次后打开，折痕形成的角中最小的是（    ）。 A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【技巧点拨】一个圆对应的角是一个周角，一个周角为360°，把一个圆形纸对折1次为2个角，对折2次为（2×2）个角，对折3次为（2×2×2）个角，等于把360°平均分成（2×2×2）份，用360°除以（2×2×2）可以计算出折痕形成的角中最小的角的度数；据此解答。 【规范解答】根据分析： 360°÷（2×2×2） ＝360°÷8 ＝45° 所以折痕形成的角中最小的是45°。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·福建泉州·期中）用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈( )刻度线上。 【答案】150 【技巧点拨】统一看量角器的外圈度数，用这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上加上直角的度数90°即可求解。 【规范解答】根据分析可知：60°＋90°＝150°，所以那么另一条边应该在量角器外圈150刻度线上。 4．（21-22四年级上·河南漯河·期末）按要求画，再填空。 （1）画出直线AB。 （2）画出线段CB。 （3）画出射线CA。 （4）用量角器量出的度数是（    ）。 【答案】（1）、（2）、（3）均见详解 （4）103° 【技巧点拨】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过AB两个点画一条直的线即可得到一条直线。 （2）线段有两个端点，因此用直尺连接CB两个点即可得到线段CB。 （3）射线只有一个端点，因此以点C为端点并且过点A画一条直的线即可得到一条射线；依此画图。 （4）先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 【规范解答】（1）、（2）、（3）画图如下： （4）用量角器量出的度数是103°。 【考点剖析】解答此题的关键是要熟练掌握直线、射线、线段的特点，以及用量角器量角的方法。 5．（21-22四年级上·北京·单元测试）把正方形剪去一个角，剩下的部分有多少个角？ 【答案】3个或4个或5个 【技巧点拨】把正方形剪去一个角，到底怎么剪题中没有说，因此，我们可以分三种情况来剪。三种剪法，剩下部分的角的个数不同。 【规范解答】三种剪法如下图： 答：把正方形剪去一个角，剩下的部分有3个或4个或5个角。 【考点剖析】通过这道题，我们知道给物体剪掉一部分再数角时，剪的方法不同会有不同的结果。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $