精品解析：天津市武清区英华实验学校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

天津英华实验学校2025-2026学年高三第一学期第一次统练 数学试卷 出题人：刘金奎 审阅人：王月英 总分：150分；考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请把Ⅰ、Ⅱ卷的答案填涂或填写在相应的答题卡上.答题时请按题号位置，在规定区域作答.考试结束后，请将答题卡依次交回. 第Ⅰ卷：选择题 一、选择题：共9题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，下列说法中： ①；②；③向量与的夹角为；④向量在上的投影向量为， 正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷：非选择题 二、填空题：共6题，每题5分，用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 10. 已知角的终边经过点，则__________． 11. 已知正数a，b满足，则的最小值为__________. 12. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是________. 13. 已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________. 14. 在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______. 15. 已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求周长的取值范围. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线的斜率为2，求a的值； （2）若在区间上恒成立，求a的取值范围. 20. 设函数 （1）当，恒成立，求实数的取值范围. （2）设在上有两个极值点. （A）求实数的取值范围； （B）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津英华实验学校2025-2026学年高三第一学期第一次统练 数学试卷 出题人：刘金奎 审阅人：王月英 总分：150分；考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请把Ⅰ、Ⅱ卷的答案填涂或填写在相应的答题卡上.答题时请按题号位置，在规定区域作答.考试结束后，请将答题卡依次交回. 第Ⅰ卷：选择题 一、选择题：共9题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】或， ，故. 故选：A 2. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得答案. 【详解】定义域为的函数是偶函数， 所以不是偶函数． 故选：D． 3. 若“”成立的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解，再根据充分不必要条件的性质求解即可. 【详解】则，即，又其充分不必要条件是“”，故，解得，经检验等号满足题意. 故选：D 4. 若，，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合指数函数的单调性，可得出，，，结合，从而可得出三个数的大小关系. 【详解】函数是上减函数，所以，同理得， 又，所以， 又，所以，即. 故选：D. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，结合特殊情况可排除，从而得到答案. 【详解】对A，令，定义域为， 因为， 所以函数为奇函数， 所以其图象关于原点对称，故A不满足； 对B，当时，，故B不满足； 对C，当，故C不满足； 而D均满足以上分析. 故选：D. 6. 在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理及三点共线即可求解. 【详解】 由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 7. 已知平面向量，下列说法中： ①；②；③向量与的夹角为；④向量在上的投影向量为， 正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断①，根据数量积的坐标运算可判断②,由夹角公式可判断③，由投影向量的求解公式可判断④ 【详解】对于①，，所以，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，， ∵，，故③错误； 对于④，向量在上的投影向量为，故④正确， 故选：D 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用隐零点结合函数单调性和最值可得答案，或者利用同构结合单调性可得答案. 【详解】实数，若对任意的，不等式恒成立， 即为， 设，，， 令，可得， 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象， 可得和有且只有一个交点， 设为，当时，，递增； 当时，，递减． 即有在处取得极小值，且为最小值． 即有，； 当时，，此时恒成立，符合题意； 当时，由可得，即； 由两边取对数可得， 所以，即， 因为，所以，所以，解得， 所以的最小值为． 故选：A． 另解：因为，不等式恒成立，即为， 当时，，此时恒成立； 当时，上式可化为， 令，由可得在递增， 所以，即有， 由的导数为，当时，递减．时，递增， 可得时，取得最大值．则， 的最小值为． 故选：A． 9. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 第Ⅱ卷：非选择题 二、填空题：共6题，每题5分，用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 10. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式化简所求式，再通过弦切互化，代入正切值即可求得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 11. 已知正数a，b满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，以及换元法，对原代数式进行换元，再根据基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题意可知，去分母得， 代入得， 由可得， 当且仅当，即时去等号，所以的最小值为9. 故答案为：9. 12. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，分析两个函数的单调性，求出、，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】依题意知. 因为在上单调递减，所以. 又在上单调递增，所以， 因此，则. 故答案为：. 13. 已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式. 【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称.则 又在上单调递增， 在单调递增，从而可化为：， ，原不等式的解集为. 故答案为：. 14. 在矩形中，是平面内的一点，且，则______；是平面内的动点，且，若，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面向量的线性运算易得的坐标表示，进而可求；由条件得到，从而得到点的轨迹，再利用平面向量的线性运算将所求转化为点到与的距离之和，故而利用点到圆上的点的最小值即可求得的最小值. 【详解】依题意，构建以为原点，为轴的直角坐标系， 所以，则 又，故， 所以； 由知， 所以在以为直径的圆上，为圆心，不妨设，则， 因为， 所以， 故可转化为点到与的距离之和， 又，则在直线上，即对应线段， 所以要求，只需求的最小值即可， 而关于对称点为， 故，此时，即， 所以的最小值为. 故答案为：；. . 15. 已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数在上不单调，分，结合二次函数的性质，作出图象即可. 【详解】当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意； 当时，当时，，对称轴为， 当时，，此时函数在上单调递减; 当时，， 当时，开口向上，大致图象如图所示： 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，且，使得成立，满足题意; 当时： 当时，函数的开口下，对称轴， ①当，即时， 易知函数在和上单调递减，在上单调递增， 大致图象如图所示： 由此可知，，且，使得成立，满足题意; ②当时，即时， 此时函数的大致图象如图所示： 易知函数在R上单调递减， 所以不存在，且，使得成立; 综上，的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．对于分段函数的值域，应该是两段的值域并到一起，定义域也是两段并到一起，单调区间也是两段的区间总和．二次函数找最值一般情况要和对称轴比较，讨论轴和区间的关系． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17. 已知在中，角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边化角得，整理求解即可得答案； （2）方法一：根据题意解得，进而由正弦定理得，，故，再结合求得的取值范围是，进而得周长范围； 方法二：根据题意解得，再结合余弦定理得，再结合不等式得，当且仅当时等号成立，最后结合三角形的性质得，进而得周长的范围 【小问1详解】 解：在中，， ， ，解得. 【小问2详解】 解: 方法一： ， ∴ ，∵，∴ ∴ ，. 由正弦定理得， ，. 由得， ，且. . ，， ， ， 的取值范围是. ∴周长的取值范围是. 方法二，， ∴ ，∵，∴ ∴ ，. 因为由（1）得 所以由余弦定理得得 因为 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为三角形两边之和大于第三边， 所以，即， 所以，即周长的取值范围是. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线的斜率为2，求a的值； （2）若在区间上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，求出函数导数，列出导数值的方程，求出参数； （2）根据不等式恒成立的性质，构造函数，根据函数导数和函数最值之间的关系，求出函数最小值，求出参数范围. 【小问1详解】 由，可知， 因为在处的切线斜率为2，所以，解得. 【小问2详解】 若在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则， 令，则， 所以在时单调递增，可知. 当时，，即，所以在时单调递增， 所以成立. 当时，，当时，，所以使得. 当时，，即，所以此时单调递减； 当时，，即，所以此时单调递增； 所以，不满足题设条件，舍去. 综上，. 20. 设函数 （1）当，恒成立，求实数的取值范围. （2）设在上有两个极值点. （A）求实数的取值范围； （B）求证：. 【答案】（1）2 （2）（A）； （B） 由已知，，所以， 不妨设，则， 则 ， 令，， 则，所以在上为单调递增函数， 所以，即，所以， 可得，所以， 由（A），所以，，所以. 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导数分，，，，求得出函数的最值即可； （2）函数 有两个极值点，即导函数有两个不同的实数根，对进行分类讨论,不妨设，则，构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【小问1详解】 由题意，函数 因为，即，且，即恒成立， 令，则， ①当时，，在上为单调递增函数， 所以时，，不合题意； ②当时，时，，在上为单调递增函数， 所以，，不合题意； ③当时，，，在上为单调递减函数， 所以时，，不合题意； ④当时，，，在上为单调递增函数， ，，在上为单调递减函数， 所以，符合题意； 综上可得，. 【小问2详解】 由，，可得， 令，则， 由已知在上有两个不等的实根. （A）①当时，，在上为单调递增函数，不合题意； ②当时，，在上为单调递减函数，不合题意； ③当时，，，，， 所以，，，解得. （B）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $