河北定州中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

诚 数学参考答案 L.C【命题意图】本题考查三角函数的性质，要求考生会求正切函数的周期. 【解题分析】易知函数f(x)一an(3x+)的最小正周期为于。 2.B【命题意图】本题考查常用逻辑用语和经验回归方程，要求考生理解充分条件、必要条件的定 义以及样本中心点的性质， 【解题分析】经验回归直线上任意一点不一定是样本中心点；反过来，经验回归直线必过样本中 心点.故“点(m,n)在经验回归直线y=bx十a上”是“m=元，n=y”的必要不充分条件 3.B【命题意图】本题考查集合，要求考生掌握集合的运算 【解题分析】由集合A={x|x≥0}，B={x|一1≤x≤1}，可得A∩B={x|0≤x≤1}， 则C(A∩B)={xx<0或x>1}. 4.C【命题意图】本题考查平面向量，要求考生掌握平面向量坐标运算以及投影向量计算公式 【解题分析】由a⊥(a十b),可得a·(a十b)=0. 向量a=(1,1),b=(入，2)，则a十b=(1十入，3)，于是a·(a十b)=入+4=0，解得入=-4. 所响量a在b装影向量8经-b-(号，-》 5.A【命题意图】本题考查函数图象，要求考生理解函数的性质与图象， 【解题分析】当x∈(0,1)时，sinπx>0,ln(2x-x2)<0,则f(.x)<0; 当x∈(1,2)时，sinπx<0,ln(2x-x2)<0,则f(x)>0.故选A 6.A【命题意图】本题考查直线与圆，要求考生理解直线与圆的位置关系，会用点到直线的距离公式 【解题分析】由题意得圆心C(一1,0)，半径为√3， 由题意得1PClm=d=13X(一D+4X0-7=2,又1MC1=5,故1PM1=1,则△PMC的 √32+4 面积的最小值为受由对称性可知，四边形P八MCN的面积的最小值为S 7.D【命题意图】本题考查计数原理，要求考生掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解 组合数的运算， 【解题分析】依题意，B排到了C应该排的位置，若恰好对一个，则需要从A,D,E,F中任取一段 放在正确的位置，有C4种方法，不妨假设A位置正确. 若C排在第二位，则D,E,F均不能在正确的位置，有C2种方法； 若C不排在第二位，则C,D,E,F均不能在正确的位置，不妨假设先排C,有C种方法，然后排C 所在位置上原本应该排的段落，有C种方法，则一共有CC种方法， 所以该名考生恰好对一个的情况有C4(C+CC3)=44种， 8.C【命题意图】本题考查三角恒等变换和正弦定理，要求考生掌握两角和与差的正弦、余弦公 式，理解正弦定理， 【解题分析】由题意得sin(A+C+C)=2sinC+sin(A+C-C), 亲 雄 sin(A+C)cos C+cos(A+C)sin C=2sin2C+sin(A+C)cos C-cos(A++C)sin C, 2cos(A+C)sin C=2sin2C. 因为sinC≠0，所以cos(A+C)=sinC, 所以simC=-cosB=sim(B-受)，则B=受+C. 由△1BC为等腰三角形.知A-C-吾，B- 3 又c=1,则a=1,b=√3，故3a2+b2=6. 9.BCD【命题意图】本题考查复数，要求考生理解复数的概念，掌握复数的运算法则及其几何 意义 【解题分行1慰意得牛名告书2生 2 =1+31,则之=1-3i,可得之的虚部为 一3，A错误； 在复平面内，之对应的点的坐标为(1，一3)，在直线y=一3x上，B正确； |x+31=|4-3=√42+32=5，C正确： 之·=(1-3i)(1十3i)=1+9=10,D正确. 10.AD【命题意图】本题考查抛物线，要求考生理解抛物线的定义和方程，能利用几何性质求解 抛物线的相关问题， 【解题分析】如图，由题意知B(2,m),E(一号，0)，又A是EB的中 m2=4p, 点，则A(1-是，受)又AB在抛物线上，则 =2p p2解得p 4 2 =2,m=士22，A正确； 抛物线的准线方程为x=一多=一1，B错误； 2 又点B在第一象限，则m=2E,故A(号，2)，于是1AB=√(2-)》°+(22-2)2 17 ,C错误， √2 kF= 2kB2222,所以∠AFx与∠BFx互补，则∠AFE+∠B 1 2-1 D正确. 11.BCD【命题意图】本题考查函数的单调性，要求考生掌握利用导数求函数的单调性以及利用 单调性比较函数值的大小. 【解题分析)h6+1_ln6+2_b1n6+lnb+b+1-blnb-23_n6+1- b b+1 b(b+1) b(b+1) <0,A选项错误； f(x)lnx+1,目>≥1，则f(x)=二x20…J在1，十∞)上单调递 亲 成 由a>6>4>1可得u>万>1，因此血a+血石+1，B选项正确： a b +2+2a>e++2等价于e心名-26>心 ea .-2a 构建两数g)-e是-2x>1).则gx)-e+是-22e× -2=0,当x>1时恒 成立，则g(x)在(1，+oo)上单调递增，，b>a>1,.g(b)>g(a), 即心++2a>e+号+2弘.C法项正确： )-(+D)--(Dn(+D(>1), x(x+1)Inx 令s(x)=xlnx(x>1),则s'(x)=lnx+l>0, ∴.s(x)在(1，十o∞)上单调递增，∴.xlnx<(x+1)n(x+1), hz)=nr一十l)lnx+<0hx)在1，十o)上单调递减， x(x+1)In2x 由b>a>1,得h(a)>h(b),∴.log。(a十1)>log(b+1),D选项正确. 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的标准方程和几何性质. 【解题分析】当椭圆的焦点在x轴上时，可得椭圆的离心率为】- 33 当椭圆的焦点在y轴上时，m2-3+12-4,且m>0,可得m=2,则椭圆的离心率为2 13.2+27 3 【命题意图】本题考查截面问题，要求考生理解空间平行的判定和性质定理. 【解题分析】设PN=mPA(0<m<1),则PN=3m,NH=3-3m. 由题意得PM=2,∠NPM=F,则MN=4+9m2-2X2X3m×号 =9m2-6m+4. 由正四面体的对称性知，GH=MN=√9m2一6m+4, 故四边形MNHG的周长为2√9m2-6m+4+3-3m+1=7, 即270-2m+7-0.解得m=2牛名（会去减成m-1- 9,放NH=2+2万 3 14 【命题意图】本题考查条件概率，要求考生掌握条件概率公式、 【解题分析】设事件A=“有且仅有一次经过点N”,事件B=“沿着左右方向恰好移动2次”， 易知从点M到点N需要1步或3步， 记L=向左，R=向右，U=向上，D=向下 ①若1步到位为事件A,则满足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),LD(L或R或 D.LRU或D成R.所以PA)=Xsx(》-品品 ②若3步到位为事件A2,则满足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL, 亲 成 所以PA)-5x(- 所以PA)=P(A,)+P(A,)- 64 满足AB的情况有LU(L或R),LD(L或R),LL(亿U或D),LR(U或D), 所以P(AB)-S=是 64-8,所以P(B1A)= P(AB)8 P(A)17 15.【命题意图】本题考查数列，要求考生理解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，掌握由 前n项和求通项公式的方法， 【解题分析】(1)设等差数列{an)的公差为d. 因为2an-a+1=2n-3, 所以 2a1-a2=-1, 即ad=- 解得1， …3分 2a2-a3=1, a1=1, d=2, 则a,=2-1,放S,=n1+2n-D =n2,……5分 2 (2)当n=1时ab,=T,=2,则6，=2 =2…7分 当n≥2时，abn=Tm-Tm-1=(n-1)3”+1+3-n2-[(n-2)3”+3-(n-1)2]=(3m-3)3”+ 3-n2-(n-2)3”-3+n2-2n+1=(2-1)3"-(2n-1)=(2n-1)(3”-1), 可得6.-（21-1）3-D_2m-13-1D-=g-1.1分 an 2n-1 将n=1代入上式得b,=2,则n=1也符合上式， 故数列{bn}的通项公式为bn=3”一1.… …13分 16.【命题意图】本题考查独立性检验与分布列，要求考生能够利用卡方公式进行独立性检验，掌握 离散型随机变量的分布列和数学期望求解方法 【解题分析】(1)补充2×2列联表，如下所示： 球队 球员 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 …3分 零假设H。:球队胜利与该球员上场无关 则X2= 120×(30×20-30×40)224、 60×60×50×70 =7>2.706, 故依据小概率值α=0.1的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为球队胜利与该球员上场有 关，该推断犯错的概率不超过0.1.……6分 (②)由题意可知，该球员上场时，球队软胜的气率为品-号， 亲 雄 301 该球员不上场时，球队获胜的概率为0一2 8分 X的可能取值为0,1,2 Px-o-(1-)×(1-号)-日px-1D-号×(1-2)+(1-号)x号-， 2×11 P(X=2)=3×2-3 …11分 故X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 1 13分 放BGX)-0x日+Ix号+2x写-号 …………………………………… 15分 17.【命题意图】本题考查函数与导数，要求考生理解极值的定义，掌握利用导数求函数最值的 方法. 【解题分析(1)(x)=xx1一) …1分 令f'(x)=0,得x=0或x=1: 令f'(x)<0,得x<0或x>1:令f'(x)>0,得0<x<1. 故f(x)在区间（一∞，0），(1，十∞)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增， 所以f(x)的极小值为(0)=1，极大值为f1)= ，…4分 e (2)证明：由1河知f)=++在区间0，D上单调递增， 所以当a∈(0,1)时，f(a)>f(0)=1, 故l+a+a, …6分 即e<1+a+a2-1-a 1-a 7分 故(1-a)e<1-a3,即a3-ae十e<1.… 8分 ③由题意知，对任意的xE0,+⊙)，之十十nx之(x+x+D 即lnx≤x+le-l. …9分 当0<x≤1时，lnx≤0<x+1e-1,不等式显然成立. 10分 当x>1时，lnx≤x+'e-1等价于In(In z)≤(k+l)lnx十x-l. 令lnx=t(t>0),则x=e', 于是ln≤(k+1)1+e-1,即k+1≥lni-e+1 t 令g)=n-e+,则g'4)=-e-nL 12 12分 亲 雄 当0<t<1时，g'(t)>0,g(t)在(0,1)上单调递增； 当t>1时，g'(t)<0,g(t)在(1，十∞)上单调递减. 所以g(t)≤g(1)=1-e. 当k+1≥1一e,即k≥一e时，不等式成立. 综上，实数k的取值范围是[一，十∞).…15分 18.【命题意图】本题考查立体几何，要求考生掌握线面垂直的判定和性质，掌握空间直角坐标系中 平面法向量的求法，并且能够利用法向量判断位置关系： 【解题分析】(1)如图，因为DM⊥平面EBC,BCC平面EBC, 所以DM⊥BC.…1分 因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥CD, M 又CD∩DM=D,CD,DMC平面CDE, 所以BC⊥平面CDE.…3分 因为DEC平面CDE,所以BCLDE.…4分 (②)(1)油DE=2.A-号DE,知AF=1.…5分 由(1)知，BC⊥平面CDE,则AD⊥平面CDE,故在平面CDE内过点 D作DC的垂线，交直线CE于点G,以D为坐标原点，分别以DA, G DC,DG为x,y,之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设 DC=t,0<t<3,则D(0,0,0),A(3-t,0,0),C(0,t,0),B(3-t,t, 0),E(0,2cosa,2sina),F(3-t,cosa,sina）.…6分 在平面EFB中，BF=(0,cos&-t,sina),EF=(3-t,-cos&, -sin a), 设平面EFB的一个法向量为n=(x,y,之)， (n.BF=y(cos a-t)+zsin a=0, 则 In.EF=(3-t)x-ycos a-xsin a=0, t 令y=sina,则之=t-cos 3-sin a, 所以n-(3sina,sna,i-cosa小 8分 在平面EBC中，CB-(3-t,0,0),CE-(0,2cosa-t,2sina), 设平面EBC的一个法向量为m=(x1y1,之1)， m·CB=(3-t)x1=0, 则 m.CE=y (2cos a-t)+z2sin a=0, 令y1=2sing,则之1=t-2cosa,x1=0,所以m=(0,2sina,t-2cosa).…10分 因为平面EFB和平面EBC垂直，所以n·m=O, 即2sna十4cose)1-2ose)=0,整理可得csa=号+号)】 因为G003所以w会号-名g。 案 供 当且仅当t=√2时，等号成立， 故0sa的最小值为2号 12分 (i)由题意知，几何体EFABCD的体积V=VEAD十VEAr, 。…13分 因为cosa= 2 3t=2,a∈(0，x),所以sina= 3, Vem-3·43-)…2sina-6vg-4, 9 …15分 所以V=5ygm155-10,又152。-10-名-15V5-220. 4 18 18 18 所以几何体FABD的体现个于号。 …17分 19.【命题意图】本题考查双曲线与新定义问题，要求考生理解利用正弦定理解三角形，理解极点和 极线这一新定义，掌握双曲线标准方程的求法，能够运用设而不求的方式求解定值问题. 【解题分析】(1)由题意知，点P与直线1是双曲线Γ的一对极点和极线， 故直线L的方程为-2十0x十xo)十0y十yo)-一1=0，一 …2分 即oz-Voy=1. …3分 b2 (2)如图，F1(-c,0),F2(c,0), 则1Pr,=,+e)+-√，+c+(-)=a 十a,同理可得|PF2=ex一a.…4分 由直线号-=1知6，则1G球1-c+ a? 1GF2|=c- IGF c+a 所以GF2T xo exota IPFl exota PFGF c-a? e,-aPF,-e-a,所以P-1G …6分 xo PF IGF 在△PGF,中，sin∠PGF,-sin/GPF,' PF2 GF, 在△PGF,中，sin∠PGF:-sin /GPF,' 又∠PGF,+∠PGF2=元，联立上式可得sin∠GPF,=sin∠GPF2, 因为∠GPF1+∠GPF2=∠F1PF2∈(0，π)， 所以∠GPF,=∠GPF2,所以直线I为∠F,PF2的平分线. …8分 成 (3)由(2)知G(号0，又P(4w).G1,0),则a=2, 故163 4 -1，即6=1，放双曲线r的方程为y=1 ……9分 假设存在点Q(x3,y3),使得过点Q的双曲线T的两条切线互相垂直. 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0，设切点分别 为M(x1,y1),N(x2y2)(x1x2y1y2≠0)， 则切线QM:号-yy-1.QN:安-yy-1 由点Q和直线MN是双曲线Γ的一对极点和极线，得直线MN的方程为T? 4 -y3y+0(x+ x3)+0(y+y)-1=0,即x /y3y14…11分 又侧6一动·积--1则w兴之-2 x1x2x1x216 因为点M(x9)在直线MN:号-yv=1上，所以 一y3y1=1,切点M(x1,y1)在双曲 线上，则-y=1=(-为广，化简可得16(+1（之）-8xy·义+-4=0， 同理可得160+1()一8x·兰+x-4=0, 13分 则兰与兰是方程16(y+1).x2一8.x3y3·x十x号-4=0的两个解. 由韦达定理可得2-x号一4 1 x1x?16(y+1)=-16,得.x号+yg=3, 故点Q的轨迹方程为x2十y2=3.…。 …15分 又直线lo:m2x-n2y-2m2-2n2=0,即m2(.x-2)-n2(y+2)=0,易知直线l。过定点 (么，2》.又由m≠0，知直线，的斜率为停0，易知直线1，与周线2十y=3无交点，放不 存在点K,使得过点K作双曲线厂的两条切线互相垂直.…17分 蜗 案高三数学考试 本试卷共150分考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 欧 架 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 架 项是符合题目要求的， 1.函数f(x)=tan(3x+)的最小正周期为 封 π A.π .3 c D 2.设(x1,y1),(x2y2),…,(xnyn)是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得 到经验回归方程为y=ix十a,则“点(，n)在经验回归直线y=x十a上”是“m= x,n=y”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 我 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知集合A={x|x≥0}，B={x|-1≤x≤1}，则{x|x<0或x>1}= A.CR(AUB) B.CR(A∩B) C.(CRA)∩B D.(CRA)UB 4.已知向量a=(1,1),b=(入，2)，若a⊥(a十b),则向量a在b上的投影向量为 B(25,5 5,5 c(号-》 n(-,》 5.函数f(x)=sinπx·ln(2x一x2)的大致图象为 2之 6.已知点P是直线l:3x十4y-7=0上的动点，过点P作圆C:(x十1)2+y2=3的两 条切线，切点分别为M,N,则四边形PMCN的面积的最小值为 A.√3 B.2 C.2 D.1 7.排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现 有A,B,C,D,E,F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为CBAFDE, 某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名 考生恰好对一个的情况有 A.22种 B.24种 C.36种 D.44种 8.在等腰△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin(A+2C)=2sin2C十 sinA,c=1,则3a2+b2= A.2 B.4 C.6 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若复数z满足z(1一i)=4+2i,其中i是虚数单位，则 A.之的虚部为3 B.在复平面内，之对应的点在直线y=一3x上 C.z+3|=5 D.之·z=10 10.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点F关于坐标原点O的对称点为E,过点 E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A,B,已知A恰为EB的中点，且 B(2,m),则下列说法正确的是 A.力=2 B.抛物线的准线方程为x=一2 C.|AB|=√17 D.∠AFE+∠BFE=π 11.已知a2>b>a>1,则 A.1nb十L、lmb+2 B.Ina+l In/6+1 b b+1 √6 C.e+1 +2a≥e+方+2% D.loga (a+1)>log (6+1) 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12若嘴购写十之 m=1(m>0)的焦距为2，则该椭圆的离心率为 13.如图，在棱长为3的正四面体P-ABC中，M是棱PB上一点， 且PM=2MB,过点M作平面a,PC∥a,且平面a分别交 AP,BC,AC于点N,G,H.若四边形MNHG的周长为7，则 NH- 14.第二届杭州国际人形机器人与机器人技术展览会将于2026年 5月在杭州大会展中心举办，某公司计划让自己的展出机器人 在该次大会期间进行一场表演活动.现在给表演机器人编排 NM 个动作，如图，机器人从点M出发，每一次等可能地沿着格线 移动一个单位长度，共移动3次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点N 位置的条件下，沿着左右方向恰好移动了2次的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知等差数列{am}满足2am一am+1=2n一3，记数列{an}的前n项和为Sm. (1)求Sn; (2)若数列{anbn}的前n项和Tn=(n一1)3"+1+3-n2,求数列{bn}的通项公式。 欧 封) 线 16.(15分) 首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛 以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛.统计显示， 继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等 不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛 的火爆程度.某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据.为了调查 某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球队 弥 球员 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 (1)将上表补充完整，依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析球队胜利是否与该 球员上场有关 (2)考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员 封 上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休 息，否则第二场继续上场比赛.已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计 概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望。 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n-a+b+c+d. 0.1 0.01 0.001 Ia 2.706 6.635 10.828 线 17.(15分) 已知函数f(x)=x2十x+1 (1)求f(x)的极值. (2)若a∈(0,1)，证明：a3一aea+e<1. (3)已知对任意的x∈(0，十o∞)，f(x)·lnx≤x+3+x+2十x+1恒成立，求实 数k的取值范围 18.(17分) 如图，四边形ABCD是周长为6的矩形，四边形ADEF满足DE=2,且AF= 号D应，现将四边形ADEF以直线AD为轴旋转，记二面角EADB的大小为 a(O<a<π).点M在直线EC上，且DM⊥平面EBC. (1)求证：DE⊥BC (2)已知平面EBF和平面EBC垂直. (i)求cosa的最小值； (i)当oSa取最小值时，证明：几何体EFARCD的体积小于号 D B 19.(17分) 若圆锥曲线T:Ax2+Cy2+2Dx十2Ey十F=0,则称点P(xo,yo)和直线l:Axox +Cyoy+D(x十xo)+E(y十yo)+F=0是圆锥曲线T的一对极点和极线.当点 P在圆锥曲线T上时，其极线L是曲线T在点P处的切线；当P在圆锥曲线T外 时，其极线1是圆锥曲线下从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦 所在直线).已知点P(xy)是双曲线工：2- =1(a>0,b>0)上第一象限内 的一点，F1,F2分别为T的左、右焦点，直线L为点P处的切线，直线1与x轴的 交点为G 弥 1)证明：直线L的方程为o-2= b2 (2)证明：直线L为∠F1PF2的平分线. (3)若点P(4,W3),G(1,0),直线1。：m2x-n2y-2m2-2n2=0(mn≠0)上是否存 在点K,使得过点K作双曲线Γ的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符 合条件的直线1。的方程；若不存在，请说明理由. 封 线，