专题01 一元一次不等式及综合探究、应用（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 一元一次不等式及综合探究、应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的性质（常考点） 1 题型二、解一元一次不等式（组）（重点） 5 题型三、用一元一次不等式（组）解决方程中的字母参数问题（常考点） 8 题型四、一元一次不等式（组）中字母参数的探究（难点） 13 题型五、一元一次不等式的实际应用（重点） 18 题型六、不等式问题的综合探究 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的性质 1．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川达州·开学考试）下列命题中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的性质，解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，故该选项错误，符合题意； C、∵且， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵且， ∴，故该选项正确，不符合题； 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）若，，则 （填“”、“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较，不等式的性质，再利用负数的大小比较方法可得，进而根据不等式的传递性即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京·期中）已知，且，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， . 故答案为： 5．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，设长方形的长，宽，，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据长方形面积计算公式可得，，，，可证明，则可证明，即，再由不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【阅读材料】在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用）如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法）如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升）如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新）如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键． （1）根据题意，利用三角形的三边关系及不等式的基本性质即可求解； （2）延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的三边关系及同向不等式相加，即可得出结论； （4）利用（2）的结论和三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； （4）解：由（2）得，， ， ， ∴， ∴， 即； 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即； 综上，， 故答案为：． 题型二、解一元一次不等式（组） 1．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤并能依据不等式的性质进行求解是解决此题的关键．注意小于等于是实心向左．化系数为1求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 系数化为1得：， 在数轴上表示如下： 故选：C． 2．（11-12八年级上·河北·期末）已知，和都是正数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数的定义，解一元一次不等式组，先由题意可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是正数， ∴， 解得， 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤并能依据不等式的性质进行求解是解决此题的关键．移项，合并化同类项求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式的最大整数解，熟练掌握解不等式是解答此题的关键． 解不等式，得到解集，再找最大整数解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴最大整数解是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·期中）若在中，，，．则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查三角形三边之间的关系．根据三角形三边之间的关系，任一边都小于另两边之和，同时大于另两边之差，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， 解得， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解不等式或不等式组并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，用数轴表示解集，熟练掌握解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）先移项，合并同类项，系数化为1，再将不等式的解集表示在数轴上即可； （2）先去分母，去括号，合并同类项，系数化为1，再将不等式的解集表示在数轴上即可； （3）先分别解出不等式的解，从而得出不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可； （4）先去分母，移项，合并同类项，系数化为1，再将不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】（1） 解：移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： （2） 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： （3） 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 将不等式组的解集在数轴上表示为： （4） 解：去分母得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：， 将不等式的解集在数轴上表示为： 题型三、用一元一次不等式（组）解决方程中的字母参数问题 1．（14-15八年级上·山西·期末）若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，方程的解，以及解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解的条件，得出，且，建立关于的不等式组，求解即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 2．（2022·内蒙古乌海·一模）已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式组的解集，通过观察，两式相减可得关于的等式，然后由，列出不等式组，然后解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得：， 故选：． 3．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如果的解都是正数，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解法． 首先解方程组求得方程组的解，然后根据方程组的解是正数得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， 由①得：， 代入②得：， 则， 则， 即方程组的解是：， ∵的解都是正数， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 题型四、一元一次不等式（组）中字母参数的探究 1．（12-13七年级下·北京·期中）如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴，解得， 故选：． 2．（18-19七年级下·广东惠州·期末）若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 先分别解两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件确定参数的取值范围． 【详解】解：解得； 解得； 即， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若满足不等式，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的基本性质，先解不等式得，则有，再运用不等式的基本性质求解即可，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴， 根据不等式的基本性质，得不等式的解集为， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组只有两个整数解，设不等式的两个整数解为和，得出，解不等式组可得，即可得出或，代入即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 设不等式的两个整数解为和， ∴，即， ∵不等式有解， ∴， 解得， ∴或，即不等式的两个整数解为、或、， ∴或， 解得或 故答案为：或 5．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解不等式，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元一次不等式的方法和步骤． 根据题目所给新定义，进行分类讨论，先求出x的取值范围，再去除y的取值范围即可． 【详解】解：当，即时，， ∴； 当，即，， ∴， 综上：的取值范围为． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师在黑板上写出了一道题让学生解答：． 小梅：老师，明明把这道题后面的部分擦掉了． 老师：哦，如果我告诉你这道题的正确答案是，且后面▲是一个常数项，你能把这个常数项补上吗？ 小梅：我知道了． 根据以上信息，请你求出▲代表的数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 设被擦掉的常数为，则原不等式可表示为，求得不等式的解集为，结合题意，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：由题意，设后面擦掉的部分是． 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得． 因为， 所以， 解得 7．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 题型五、一元一次不等式的实际应用 1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． 2．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 4.（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，总费用不超过750万元列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型台，B型台， 由题意得，， 解得，， ∴ 又∵是整数 ∴或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台、B型号为3台． 6．（17-18七年级下·浙江杭州·期末）锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． 【答案】（1）甲每天绿化，乙每天绿化；（2）①甲施工天，乙施天；②甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积xm2，则甲队每天能完成绿化面积1.5xm2，则，解得x＝50，经检验，x＝50是该方程的根，即可得出结果； （2）①设甲施工天，乙施工天，得到 ，计算即可得到答案；②设甲施工天，乙施工天，可得， 由于乙队至多施工天，则，解得．故费用，再进行计算即可得到答案. 【详解】解：（1）设乙每天绿化面积为，则甲的绿化面积为，由题意得 ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 甲每天绿化，乙每天绿化． （2）①设甲施工天，乙施工天， 解得 甲施工天，乙施天． ②设甲施工天，乙施工天， ， ． 乙队至多施工天， ，解得． 费用． ， 越大费用就越大 且天数不能是小数， 要为偶数， 最小为， 费用为（万元）， 即甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元． 题型六、不等式问题的综合探究 1．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，进而列出不等式组解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为， 则， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用；根据第4次和第5次的运算结果得到关系式是解决本题的关键． 把代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于或等于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：， 则停止； 共4次． 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； ∴由题意：， 解得：． ∴x的取值范围为． 故答案为：4；． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如．给出下列关于的结论： ①；②若，则实数的取值范围是；③； ④；⑤当，为非负整数时，有； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ） 【答案】① 【分析】本题考查了新定义，熟练掌握新定义，以及一元一次不等式的运用是解题的关键． 根据当为非负整数时，若，则，结合一元一次不等式的运用，以及举反例法，逐个分析判断，即可解题． 【详解】解：当为非负整数时，若，则， ， 故①正确； ， ， 解得， 即实数的取值范围是 故②错误； ， ， ，， 不一定成立， 故③错误； ，， ， ，， 则不一定成立； 故④错误； 当，为非负整数时， 假设， 则， 则不一定成立， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论有①； 故答案为：①． 5．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）已知，当一定时，能构成以为腰，为底的等腰三角形的个数为，填表： 3 4 5 6 7 8 9 10 2023 1 0 1 当（为正整数）时， ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边的关系，先根据三角形三边关系及的条件得到，进而得到，然后得到整数a的个数解答即可． 【详解】解：由得， 根据三角形的三边关系可得， 解得， 又∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴即整数a可取，，，，，共k个， ∴， 故答案为：． 6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式及一元一次不等式的整数解等知识，正确求解是解题的关键； （1）根据定义的法则，可得关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）根据定义的法则，可得关于x的一元一次不等式，解不等式，根据解集的负整数解为，可得关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：， 即x的值为6； （2）解：由，得， 解得：； 由于关于x的不等式的负整数解为，则， 解得：， 即满足条件的k的取值范围为：． 7．（25-26八年级上·广西·阶段练习）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)5， (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据整体思想可进行求解； （2）将两方程相加可得到，然后可得不等式，进而求解即可； （3）设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴； 得：； 故答案为5，； （2）解：由可得：， 则， ∵， ∴， 解得：； （3）解：设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意得： ， 得：； 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． 8．（2025·广东深圳·三模）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）①；②见解析，相邻刻度线间的距离是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、有理数混合运算的运用、列代数式等知识点，根据题意、列出相关代数式成为解题的关键． （1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可； （2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，得出，，结合求解即可； （3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可； （4）用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以即可． 【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度； 故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度， 故答案为：． （2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是， ∴， ∴，即， ∴该弹簧测力计的量程为； （4）①∵， ∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加， 故答案为：． ②画出对应的刻度线如图所示： 在弹性限度范围内，拉力增大，弹簧伸长， ∴相邻刻度线间的距离是． 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，即可求解． 【详解】解：A、若，则，故正确，符合题意； B、若，则，故错误，不符合题意； C、若，当时，，当时，，当时，，故错误，不符合题意； D、若，当时，，当时，，当时，不存在，故错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键． 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法． 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示为：    故选：D． 3．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据不等式的性质，列出不等式求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据题意列出不等式，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 解得， 故选：C． 5．（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 6．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解集，解题关键是掌握“同小取小”的不等式组解集确定原则（即两个不等式都是小于或小于等于，取较小的那个范围）．根据不等式组解集确定原则求解即可． 【详解】解： ，不等式组的解集是． 故答案为： 8．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、一元一次不等式的应用等知识，正确列出运算式子，理解体积之间的关系是解题关键．将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后的体积变化量除以小玻璃球的数量即可得①正确；根据直到放入第个相同的小铁块后，发现有水溢出可得，由此即可得②错误；求出，则可得，由此即可得③正确；求出，，由此即可得④正确． 【详解】解：，则①正确； ∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，则②错误； 又∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出， ∴，即， ∴， ∴， ∴杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出，则③正确； ∵，， ∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，则④正确； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 12．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是 ； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）代入，可求出第一次运算结果为9，由，可得出需进行第二次运算；代入，可求出第二次运算结果，由，可得出停止后输出的结果是24； （2）根据运算进行两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）第一次运算：， ， 需进行第二次运算； 第二次运算：， ， 停止后输出的结果是24． 故答案为：24； （2）根据题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤，是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）分别求解两个不等式，再取其公共部分即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键． （1）根据公式计算可得； （2）结合公式对的大小关系进行分类讨论求解之可得． 【详解】（1）解：※， 故答案为：； （2）解：根据新运算的定义，对的大小进行讨论， 当，即， 根据定义：※，原等式成立； 当，即， 根据定义：※， 整理得：， 解得：，该解满足， 故：或． 15．（25-26八年级上·河北·阶段练习）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过37000元，列出不等式求解，并取最小整数解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 16．（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式及综合探究、应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、不等式的性质（常考点） 1 题型二、解一元一次不等式（组）（重点） 5 题型三、用一元一次不等式（组）解决方程中的字母参数问题（常考点） 8 题型四、一元一次不等式（组）中字母参数的探究（难点） 13 题型五、一元一次不等式的实际应用（重点） 18 题型六、不等式问题的综合探究 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、不等式的性质 1．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川达州·开学考试）下列命题中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 3．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）若，，则 （填“”、“”或“”填空）． 4．（24-25七年级下·北京·期中）已知，且，则y的取值范围是 ． 5．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，设长方形的长，宽，，且，则 ．（填“”或“”或“”） 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【阅读材料】在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用）如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法）如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升）如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新）如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 题型二、解一元一次不等式（组） 1．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．（11-12八年级上·河北·期末）已知，和都是正数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东清远·期中）不等式的解集是 ． 4．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）不等式的最大整数解是 ． 5．（25-26八年级上·全国·期中）若在中，，，．则a的取值范围是 ． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）解不等式或不等式组并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、用一元一次不等式（组）解决方程中的字母参数问题 1．（14-15八年级上·山西·期末）若关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 且 2．（2022·内蒙古乌海·一模）已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（18-19九年级上·江苏南通·期末）如果的解都是正数，那么的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 5．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 题型四、一元一次不等式（组）中字母参数的探究 1．（12-13七年级下·北京·期中）如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 2．（18-19七年级下·广东惠州·期末）若不等式组无解，则实数 的取值范围是 （  ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若满足不等式，则关于的不等式的解集为 ． 4．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知 有两个整数解，求实数 的取值范围 ． 5．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）老师在黑板上写出了一道题让学生解答：． 小梅：老师，明明把这道题后面的部分擦掉了． 老师：哦，如果我告诉你这道题的正确答案是，且后面▲是一个常数项，你能把这个常数项补上吗？ 小梅：我知道了． 根据以上信息，请你求出▲代表的数． 7．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 题型五、一元一次不等式的实际应用 1．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 4.（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 6．（17-18七年级下·浙江杭州·期末）锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． 题型六、不等式问题的综合探究 1．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）按下列程序进行运算（如图）： 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算进行 次才停止；若运算进行了5次才停止，则的取值范围是 ． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如．给出下列关于的结论： ①；②若，则实数的取值范围是；③； ④；⑤当，为非负整数时，有； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号 ） 5．（22-23九年级下·江苏南京·自主招生）已知，当一定时，能构成以为腰，为底的等腰三角形的个数为，填表： 3 4 5 6 7 8 9 10 2023 1 0 1 当（为正整数）时， ． 6．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 7．（25-26八年级上·广西·阶段练习）先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 8．（2025·广东深圳·三模）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若不等式的解集为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）要使式子的值不小于式子的值，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若，不等式组的解集是 ． 8．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 10．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 11．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号） 12．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是 ； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是 ． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 15．（25-26八年级上·河北·阶段练习）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 16．（25-26七年级下·河北·单元测试）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $