湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三10月月考数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集为，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.设，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 4.函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(    ) A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 6.从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为(    ) A. B. C. D. 7.设等比数列的前项和为已知，，则(    ) A. B. C. D. 8.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、满足，则的最小值为 D. 设、为实数，若，则的最大值为 10.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是(    ) A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11.在中，内角，，的对边分别为，，，为内一点，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则的面积与的面积之比是 B. 若，，，则满足条件的三角形有两个 C. 若，则为等腰三角形 D. 若点是的重心，且，则为直角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则          ． 13.的展开式中项的系数是          ． 14.已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角的对边分别为， 已知，． 求； 设为边上一点，且，求的面积． 16.本小题分 已知是等差数列，是等比数列，且，，． 求和的通项公式 求数列的前项和． 17.本小题分 已知向量，，函数． Ⅰ求的最小正周期 Ⅱ若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围． 18.本小题分 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了箱西梅，其中有箱测定为一等品． Ⅰ现从这箱中任取箱，求恰好有箱是一等品的概率 Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望． 19.本小题分 已知函数． 讨论的单调性； 若有两个零点，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的交、并、补集的混合运算， 首先求，再求 即可． 【解答】 解：因为，所以， 所以． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算，复数的模的求法，考查计算能力，属于基础题． 利用复数的四则运算法则化简后，然后求解复数的模． 【解答】 解：， ， 则． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的定义域，属于基础题． 根据题意的定义域，再由分母根式内部的代数式大于求解． 【解答】 解：根据题意，，且得 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，属于基础题． 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果． 【解答】 解：根据函数的解析式， 由， 得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除和； 当时，函数的值为，故排除． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：，增区间为，，减区间为，，由此能求出结果． 【解答】 解：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的函数为：， 增区间满足：，， 减区间满足：，， 增区间为，， 减区间为，， 将函数的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数在区间上单调递增． 故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查组合数公式，考查古典概型及其计算，属于基础题． 由古典概型的概率公式结合组合数公式、列举法即可得解． 【解答】 解：从至的个整数中随机取个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，则不同的取法有：，共种， 故所求概率． 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列递推公式的应用，等比数列前项和中的基本量计算，属于基础题． 根据题意，由可得，两式相减可得，可得等比数列的公比为，对于，令求得首项，即可根据等比数列的前项公式求出． 【解答】 解：根据题意，等比数列中，， 则有时，， 可得：，即， 则等比数列的公比为， 对于，令可得：， 即，即，解可得， 则， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：，由， 得，知； ，由， 即， 即，得，即， ，由，即， 令， 则是定义域上的增函数， 因为， ， 故，使，即； 所以， 故选D 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，涉及到“”的代换，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】 解：：当时，，故A选项错误， ：当时，， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故B选项正确， ：由可得：， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故C选项正确， ： ， 所以，可得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，选项正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：因为， 把函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图象， 又因为函数的图象关于原点对称， 所以， 解得． 因为， 所以由， 解得， 因此，， 所以． 对于函数的最小正周期为， 故A正确； 对于由得， 当时，， 因此函数的图象关于直线对称， 故B正确； 对于因为，， 所以由得函数在上不单调递增， 故C错误； 对于由得， 由得， 因此要函数在区间上存在极大值点和极小值点， 则， 即实数的取值范围为， 故D正确． 故选ABD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量在平面几何中的应用，向量的加减与数乘混合运算，利用正弦定理判断三角形的形状，向量的数量积的概念及其运算，属于较难题． 求出，可得，即可判断；由，得是以角为钝角的钝角三角形，即可判断；判断出，得是等腰三角形，即可判断；利用平面向量的线性运算求得为直角，即可判断． 【解答】 解：对于选项A， 由， 得， 分别取，的中点，， 则， 所以， 所以，故A正确； 对于选项B，，则， 所以是以角为钝角的钝角三角形， 故B错误； 对于选项C，由， 得， 易知与的角平分线共线， 所以的角平分线与垂直， 故AB，是等腰三角形，故C正确； 对于选项D，因为点是的重心， 所以， ， ， 代入条件并整理，得， 即 ， 又， 代入并整理得， 因为，不共线， 所以 解得 所以，故角为直角， 所以为直角三角形，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量数量积运算，属基础题． 先求出，再利用数量积的运算性质即可求解． 【解答】解：设与的夹角为， 因为与的夹角的余弦值为，即， 又，， 所以， 所以． 13.【答案】  【解析】解：由题意的通项公式为， 所以的展开式中项为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式和求和公式、利用基本不等式求最值，属于中档题． 由等差数列的通项公式和求和公式列出方程组，求出等差数列基本量，从而写出通项公式，进而可得，利用基本不等式及易知当或时目标式有最小值，写出最小值即可． 【解答】 解：设等差数列的公差为，由题设，可得，即， ，则， ，当且仅当时等号成立，而，且， 当时，，当时，． 故当或时，的最小值为． 故答案为：． 15.【答案】解：因为， 所以， 所以． 在中， 因为， 所以， 即， 解得舍去，． 因为， 所以， 又，即是直角三角形， 所以， 则， 又， 则， 所以的面积为．   【解析】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题． 先由求得，再由余弦定理求得即可； 先由余弦定理求得，再求出，最后由面积公式求解即可． 16.【答案】解：设数列的公差为，的公比为， 则，即， 因为，所以，所以，； 由知，， 令， 则， 两式相减得， 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：Ⅰ， 的最小正周期． Ⅱ由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令，，， 作出的图象与直线，如图． 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为．  【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． Ⅰ化简函数，再由周期公式得解 Ⅱ依题意，函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，令，作出函数的图象与直线，结合图象即可得解． 18.【答案】解：Ⅰ设抽取的箱西梅恰有箱是一等品为事件，则所以从这箱中任取箱，恰好有箱是一等品的概率为； Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，则抽到一等品的概率为，若从这一批西梅中随机抽取箱，表示抽到一等品的箱数，的所有可能取值为，，，，且，，，，，的分布列为： 的期望为：．  【解析】本题主要考查超几何分布的概率求值，考查二项分布的分布列及其期望，属于中档题． Ⅰ根据超几何分布的概率公式可得所求概率； Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，表示抽到一等品的箱数，则，结合二项分布的概率及期望公式即可求解． 19.【答案】解：由， 则 ， 导函数中恒成立， 当时，恒成立， 所以在上有， 所以在上单调递减； 当时，令，， 令，解得， 在上，单调递减， 在上，单调递增． 综上可知：当时，在单调递减， 当时，在单调递减，在单调递增； 若时，由可知：最多有一个零点， 所以不符合题意； 当时，由可知，要使函数有两个零点，则的最小值必须小于， 又， 则，即， 令，， 所以在上单调递增， 又因为， ． 接下来说明时，存在两个零点： 当时，，， 此时，故， 又在上单调递减，， 故存在，使得， 当时，易证， 此时， 故，且满足， 又在上单调递增，， 故存在使得， 所以当时，存在两个零点． 综上所述，的取值范围是．  【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题． 求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得的单调性； 由知：当时才可能有两个零点，求得最小值，令，即可求得的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $