精品解析：黑龙江省实验中学2026届高三上学期10月月考数学试卷

黑龙江省实验中学高三学年上学期第二次阶段考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 4. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：) A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 6. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（ ） A. 40 B. 32 C. 30 D. 36 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间为 C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 折扇，又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹子或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，如图2所示，扇形AOB.已知其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列说法正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为________. 13. 函数最大值为___________． 14. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，，且． （1）求与的夹角的值； （2）当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 16. 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求； （2）设，求的值． 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学高三学年上学期第二次阶段考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可求出. 【详解】 , 故选： 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合,然后利用并集运算求解可得答案. 【详解】由已知，，所以. 故选：D 3. 设向量则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模的定义、共线向量定理、向量垂直的坐标表示、向量的数量积公式逐一计算即可. 【详解】由已知得 ，，即，则选项不正确； ,不存在一个实数使成立，则选项不正确； ，即，则选项正确； 设与的夹角为，则， ∵，∴，则选项不正确； 故选：C. 4. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出. 【详解】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 5. 中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：) A. 10% B. 20% C. 30% D. 40% 【答案】B 【解析】 【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可. 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 6. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用奇偶性定义及导数研究函数的奇偶性和区间单调性，再结合相关基本初等函数的性质及单调性判断函数值的大小关系. 【详解】函数定义域为，且对，， 故函数为偶函数，又在上，所以在上单调递增， 因为，且， 所以，即. 故选：D. 7. 若直线与曲线从左往右仅相交于三点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的最小正周期，作函数的图象，设，由条件结合函数的图象可得，，解方程求，再求，由此可得结论. 【详解】函数的最小正周期， 作函数的图象，如图所示． 直线与曲线从左往右仅相交于三点，且， 所以， 设， 由，得①， 又因为两点关于直线对称，则②． 由①②可得，于是． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（ ） A. 40 B. 32 C. 30 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合函数性质分析可知函数的一个周期为4，且，进而可得，结合周期性分析求值即可. 【详解】因为是偶函数，则， 用代替可得：，可得． 所以函数关于直线对称， 又因为，则， 可知关于点中心对称， 可得，则， 可得，即，可知函数的一个周期为4， 由可得，即， 当时，，且， 则，解得：， 即当时，，可得， 则，，，，，， 可知， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；利用基本不等式可逐项判断BCD. 【详解】对于选项A：当时，则不成立，故A选项错误； 对于选项B：， 当且仅当时等号成立，即，故B选项正确； 对于选项C：， 当且仅当，即时等号成立，则，故C选项错误； 对于选项D：， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 于是，即，故D选项正确. 故选：BD 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的单调递增区间为 C. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得，的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由图可知，，且经过，故可得， 由①，结合，则得，代入②，化简得， 即， 由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即. 对于，当时，因，故直线是的一条对称轴，故正确； 对于，因， 由，可得， 即的单调递增区间为， 故正确； 对于，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数， 故错误； 对于，由可得，设，因，则， 依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使，解得，故正确. 故选： 11. 折扇，又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹子或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇形，如图2所示，扇形AOB.已知其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列说法正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图形特征，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，由，，得各点坐标，由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标表示判断每个选项的正误. 【详解】以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系， 因为，，， 所以，，，，， 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为， 因为，可得，解得， 所以，故B正确， 对于选项C：因为，， 则， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于选项D：设，， 则。 可得， 因为，则，可得， 所以当时，取得最小值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于比较复杂的向量问题，常建系处理问题，把复杂的向量运算转为坐标运算，可以方便理解和运算. 三、填空题：本小题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题干条件求出的表达式，直接代入计算即可得到答案. 【详解】令，则，进一步可得， ， ， 故答案为：3. 13. 函数最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合二次函数求出最大值. 【详解】依题意，， 而，所以当时，取得最大值. 故答案为： 14. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，，得， 设切点坐标为，，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为， 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，， 设，，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，且当时，故， 综上所述，函数的值域为，故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，，且． （1）求与的夹角的值； （2）当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）根据平面向量的运算律可得，然后结合二次函数求解即可 . 【小问1详解】 由，，可得， 又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以的最小值为，此时． 16. 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令，若角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合为等边三角形求解即可. 【小问1详解】 角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， ，根据三角函数的定义可得：，， ． 【小问2详解】 ， 由题意可得，从而为等边三角形， 则， 由（1）得， 故． 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值点，无极小值点； （2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. 【小问2详解】 ，则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 18. 设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. （1）求； （2）当时，求函数的单调递增区间； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，将代入，结合，求出； （2）整体法得到，求出即为单调递增区间； （3）求出，由同角三角函数关系得到和的值，凑角法，结合余弦和角公式得到，结合的范围，求出. 【小问1详解】 ， 将代入得，故， 解得， 又，故当时，满足要求； 【小问2详解】 由（1）知，， 时，， 故当或，即或时，单调递增， 故单调递增区间为. 【小问3详解】 ，故， 又，所以， 因为，所以， 故， 又，故， 又，所以， 所以， 其中 其中，故. 19. 已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2）①； ②证明如下： 由①知，因为在内有两个不同的零点，， 所以方程在内有两个根，，即. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以. 欲证，即证. 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证. 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立. 欲证，即证. 因为，所以只需证， 即证，即需证. 令，，则， 所以在上单调递增，所以，则原不等式得证. 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的二阶导数，依题意可得当时，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得； （2）①依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围；②依题意可得方程在内有两个根，，即，结合①可得，欲证，即证，再结合函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，. 因为是上的凸函数，所以在上恒成立， 即当时，恒成立. 函数图象的对称轴为直线， 当，即时，只需时，即可，所以， 当，即时，只需时，即可，所以， 综上可得. 【小问2详解】 ①因为，，所以，. 因为是上的凹函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $