精品解析：内蒙古通辽市科左中旗保康第二中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上） 11. 在中，，则___________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ． 13. 如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 14. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 16. 如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为______． 三、解答题 17. 如图，点A，F，B，E在同一条直线上，已知，，，求证：． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的 ； （2）求的面积． 19. （1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔ （2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：． 20. 如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 21. 如图，在中，，为上一点，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴（米）， ∴，之间的距离为M，N之间的距离为米． 故选：A． 6. 如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线及面积计算，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，于点C，是的平分线，若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得． 【详解】解：在中，即，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误； B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误； D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上） 11. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角直接求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横、纵坐标的符号关系是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标特点，可直接求得所求点坐标． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，为四边形的对角线，，添加一个条件使，则你添加的条件为_________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（此方法仅用于直角三角形全等的判定）． 【详解】解：若添加：， 在和中， ， ∴； 若添加：， 在和中， ， ∴； ∴添加一个条件使，则添加的条件可以为或． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 三、解答题 17. 如图，点A，F，B，E在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据得到，证明，即可求解． 【详解】略 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的 ； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2）12 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，求三角形面积， （1）根据轴对称的性质，描出点A，B，C的对应点，，，顺次连接即可； （2）利用分割法求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解;． 19. （1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔ （2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：． 【答案】 （1）∠ABC的角平分线如图所示： （2）证明：如图，过点E作EH⊥AB于H， ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC， ∴EH=ED， ∵BE=BE， ∴△BDE≌△BHE（HL）， ∵ВH=BD， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ∴△BDE≌△ADC（HL）， ∴DE=DC， ∴HE=CD， ∵AD=BD，∠ADB=90°， ∴∠BAD=45°， ∵HE⊥AB， ∴∠HEA=∠HAE=45°， ∴HE=AH=CD， ∴BC=BD+CD=BH+AH=AB． 【解析】 【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可． （2）过点E作EH⊥AB于H，将AB分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形的判定定理和正确作出辅助线是解题关键． 20. 如图，，有如下条件：①，②，③，④． （1）在以上条件中选择一个条件________________（写序号），求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 解：选择②或③或④； 证明：∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴． 21. 如图，在中，，为上一点，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． （1）由等角对等边，即可证明； （2）由等腰三角形的三线合一性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算． （1）根据非负数的性质，得到关于，的方程组，求得，的值，即可得到点、点的坐标； （2）根据判定，再根据全等三角形对应边相等，即可得到，，，进而得到点的坐标为； （3）连接并延长交轴于点，连接，过点作的平行线交轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据，得出，最后判定，即可得到，进而得出点的坐标为． 【小问1详解】 解： ，满足， ，， ，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 如图所示，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $