精品解析：江苏省海安市某校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期明远班阶段检测 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 或0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式值为零的条件可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 故选：C 2. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 3. 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 4. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如果，那么下面各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键． 由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可． 【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数． A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误； B、 ，故选项错误； C、 ，故选项正确； D、 ，故选项错误； 故选：C 6. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为， ，， ， ， 故边上的高为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出的长． 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 8. 如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（ ）． A. a，b，c B. a，b，d C. a，c，d D. b，c，d 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，在的前提下化简即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义，则， ，解得， ∴原式． 故选：B． 10. 若，且，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，第11∼12题每小题3分，第13∼16题每小题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 12. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的性质，设尺，则有尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为秋千绳索的长度． 解题的 关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值是__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故答案为：1或． 14. 李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】直接根据勾股定理求出的长，再根据=以为直径的扇形的面积+以为直径的扇形面积-以为直径的扇形面积+的面积即可得出结论． 【详解】解：在Rt中，，，， ． ． 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 15. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 16. 如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，则____：你发现这7个正方形摆放的规律了吗？用你所发现的规律继续摆放正方形，一直到，那么____． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．掌握这些是解题的关键． 先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，，通过计算可得到，此类推，计算即可． 【详解】解：如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 故答案是：4． 这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ； ； ； ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） ； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用乘法法则计算，约分即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解． 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程化为整式方程并检验是关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ， ， ． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解： ， ， 整理得． 解得． 检验：当时，． ∴不是原分式方程的解，原分式方程的解无解． 19. 求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的近似值（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）将x代入，运用平方差公式和完全平方公式进行求解即可； （2）将原式进行变形化简，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 21. 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论． 求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【答案】 解：已知：如图，在和中，，，． 求证：． 证明：在和中，， 根据勾股定理，得，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定方法解答． 根据全等三角形的判定方法解答即可； 【详解】略 22. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】（1）元 （2）这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； 【小问2详解】 解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 23. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】（1）①； ② （2），理由： 由，， 又∵， ∴． ∴， （3）， 【解析】 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 24. 对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，则 ； （2）关于的方程的两个解分别为，求和的值； （3）若关于的方程的两个解分别为（为实数）．且，求的值． 【答案】（1）2 （2）14； （3） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，解一元二次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的两个解为，再进行求解即可； （2）根据新定义，得到，，利用完全平方公式变形，求出，再根据，进行求解即可； （3）将，转化为，根据新定义得到，，进而得到，，根据，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程的两个解分别为， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 由题意，方程的两个解分别为 ∴，． ∴ ， ∴， ∴ ． 【小问3详解】 由题意，∵x， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； （3）若，则的最小值为______； （4）已知正数m满足，求m的值． 【答案】（1）13 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． （4）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ∴的最小值是13， 故答案为：13； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， ∴的最小值是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， ，，，，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期明远班阶段检测 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 若分式的值为零，则的值是（ ） A. B. C. D. 或0 2. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 3. 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下面各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（ ）． A. a，b，c B. a，b，d C. a，c，d D. b，c，d 9. 化简二次根式的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 若，且，则的值为（ ）． A. 1 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，第11∼12题每小题3分，第13∼16题每小题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值是__________． 14. 李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题”：如右图在中，，，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为_______． 15. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 16. 如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，则____：你发现这7个正方形摆放的规律了吗？用你所发现的规律继续摆放正方形，一直到，那么____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） ； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 求值： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的近似值（结果保留小数点后两位）． 20. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 21. 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，请证明这一结论． 求证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 22. 智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． （1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） （2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 23. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 24. 对于两个不等的非零实数，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，则 ； （2）关于的方程的两个解分别为，求和的值； （3）若关于的方程的两个解分别为（为实数）．且，求的值． 25. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； （3）若，则的最小值为______； （4）已知正数m满足，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $