第2章 圆 单元检测　2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第2章圆单元检测　2025-2026学年苏科版数学九年级上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的半径为，线段，则点与的位置关系是(    ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 2.下列命题中，正确的是(    ) A. 平面上三个点确定一个圆 B. 等弧所对的圆周角相等 C. 弦是直径 D. 同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 3.已知的半径为，平面内有一点到圆心的距离为，则此点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4.如图，点，，在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的半径，以为直径的与的弦相交于点，则与的大小关系(    ) A. B. C. D. 无法判断 6.如图，点、、在上，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为，扇形的弧长为，则圆锥母线长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结若点与圆心不重合，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为为坐标原点，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。 11.如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是          ． 12.如图，图是由若干个相同的图组成的图案，在图中，已知半径，，则图的周长为          结果保留 13.在九章算术卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为____步． 14.如图，，是是切线，，为切点，是的直径，若，则______度． 15.如图，，，以为直径作半圆，圆心为，以点为圆心，为半径作弧，过点作的平行线交两弧于点、，则阴影部分的面积是___________________． 16.如图，正方形和等边都内接于圆，与别相交于点，若，则的半径长为          ；的长为          ． 17.如图，已知的半径为，，是的两条弦，且，延长交于点，连接，，若，则__． 18.如图，在中，，，，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，则阴影部分面积为___________________结果保留． 19.在半径为圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为，另一条弦长为，则这两条弦之间的距离为___________． 20.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为_______． 21.如图，正五边形内接于，依照以下作图过程回答问题： 作法： 作直径． 以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，点在直径左侧，点在直径右侧． 连接． 通过以上作图，若从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些点，可以得到正边形，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分 如图，在直径的圆铁片上切下一块高为的弓形铁片． 用直尺和圆规作出弧的中点． 求这块弓形铁片的面积． 23.本小题分 如图，已知是的直径，内接于，，点是一动点点不与点，重合． 若，连结，，，求证：； 如图，若平分，连接，求的长． 24.本小题分 如图，已知线段是的一条弦．   作出圆心要求：尺规作图既不带刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法，标出必要的字母； 若弦，圆心到的距离为，求的半径． 25.本小题分 阅读下面材料： 在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作留：过圆外一点作圆的切线． 己知：为外一点． 求作：经过点的的切线．   小敏的作法如下： 如图， 连接，作线段的垂直平分线交于点． 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点． 作直线，． 请补充完整小敏的 作图． 连接，可证，其依据是______________________________ 由此可证明直线，都是的切线，其依据是______________________________ 26.本小题分 如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接、、． 求证：； 若，，求的半径． 27.本小题分 如图，与交于，两点，是直径且长为， ． 证明：： 若，求的长度． 28.本小题分 如图，在直角梯形中， ，，以为直径的与相切于点，交于点，连接． 证明：平分； 已知，设的长为． 当时，求弦的长度； 当为何值时，的值最大？最大值是多少？ 1.【答案】  【解析】【分析】根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径． 【解答】解：， 点与的位置关系是点在外． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】利用确定圆的条件、圆周角定理及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； 、等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意； 、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； 、同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，不符合题意； 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【解答】解：平面内有一点到圆心的距离为，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：与都对， ． 故选：． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5.【答案】  【解析】连接，根据为的直径，可得，再由垂径定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：， ， 故选：． 本题考查了圆周角定理，熟记在同圆中同弧所对的圆心角是其所对的圆周角的倍是解此题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】圆锥的侧面积，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：设母线长为，由题意得：，解得． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可． 【解答】解：设油桶所在的圆心为，连接，， 、与相切于点、， ，， 又，， 四边形是正方形， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为， ， ， ， ． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．   是的切线， ， 根据勾股定理知， 当时，线段最短， 又、， ， ， ， ， ， 故选：． 此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 11.【答案】  【解析】连接，先由垂径定理可得长，再由勾股定理得长，从而求出长． 【详解】解：如图，连接， 则，  ， 在中， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】先根据图确定图的周长等于个的长，再根据弧长公式可得结论． 【详解】解：由图得：的长的长的长， 半径，， 图的周长为：， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【解答】解：根据勾股定理得：斜边， 内切圆直径步， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】首先利用切线长定理可得，再根据，得出的度数，再根据三角形内角和求出． 【解答】解：，是的切线，，为切点， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】连接，如图，利用平行线的性质得，再利用勾股定理计算出，利用余弦的定义得到，然后根据扇形面积公式，利用扇形扇形进行计算即可． 【解答】解：连接，如图， ， ， ， ， ，， ，， ， 扇形扇形 ． 故答案为． 16.【答案】        【解析】连接正方形和等边都内接于，得证是的直径，，，，从而得，，得到，直线是线段的垂直平分线，从而得到，，得证，，从而得证，，，结合，确定，，根据计算即可． 【详解】如图，连接 正方形和等边都内接于， 是的直径，，，， ，， ， 直线是线段的垂直平分线， ，， ，， ，，， ， ， 解得，故半径为， ， ． 故答案为：，． 17.【答案】  【解析】【 分析】可证≌，推出，，，，即可证明∽；依据对应边成比例，设，表示出、，根据，列方程求解即可． 【详解】在和中， ，，， ≌， ， ， ， ， ∽， ， 设，则， ， ，， ，， ， 整理得：， 解得：或舍去， 因此， 故答案为． 本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法． 18.【答案】  【解析】【分析】过作于，由含度角的直角三角形和勾股定理求得，证得是等边三角形，是等腰三角形，进而求出，，根据即可求出阴影部分面积． 【解答】解：在中，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，过作于， ， 在中， ， ， ， 故答案为：． 19.【答案】或  【解析】【分析】分两种情况进行讨论：弦和在圆心同侧；弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】解：当弦和在圆心同侧时，如图， ，， ，， ， ，， ； 当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 故答案为：或． 20.【答案】  【解析】【分析】如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题． 【解答】解：如图，设内切圆的圆心为，连接，， 则四边形为正方形， ， ， ， ， ， 而， ， 小正方形的面积为， ， ， 把代入中得 ， ， 负值舍去， 大正方形的面积为． 故答案为：． 21.【答案】  【解析】【分析】连接、、、，如图，由作法得，则可判断为等边三角形得到，根据正五边形的性质得到，则，于是可计算，利用正多边形与圆的关系，用除以可得到的值． 【解答】解：连接、、、，如图， 由作法得， 而， 为等边三角形， ， 正五边形内接于， ， 为直径， 垂直， ， ， 即的值为． 故答案为：． 22.【答案】【小题】 解：如图，点即为所求， 【小题】 解：取圆心，连接，，， 由作图知是弦的垂直平分线， 点在上， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点，即， ， ， ，， ， ， 即阴影部分的面积为．   【解析】  本题考查了垂径定理，扇形的面积公式等知识． 作的垂直平分线交于点即可；   取圆心，连接，，，设的垂直平分线交于点，利用勾股定理求出，，可判断是等边三角形，得出，利用等弧所对的圆心角相等求出的度数，然后根据即可求解． 23.【答案】【小题】 解：证明：， ， ， ， ， ， ； 【小题】 连接，    是圆的直径， ， 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ．   【解析】  本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，等腰直角三角形，关键是： 由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，由，得到，因此，即可证明；   连接，由圆周角定理推出是等腰直角三角形，即可求出的长． 24.【答案】【小问详解】 解：如图，点即为所求．   【小问详解】 解：如图，连接，   作图过程可知，， ， 又圆心到的距离为， ， ， 的半径为．   【解析】【分析】作弦外的任意一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，得到的交点即为圆心． 利用垂径定理及勾股定理求解． 本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理等，解题的关键是正确确定圆心的位置． 25.【答案】【小问详解】 解：如图，   【小问详解】 垂直平分， ． 是的直径． ，依据是：直径所对的圆周角是直角； 直线，都是的切线，其依据是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．     【解析】【分析】根据尺规作图作线段的垂直平分线处理； 由垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角可得；由切线的判定定理“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得证切线． 本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，圆周角定理及推论，切线的判定定理；熟练掌握相关定理是解题的关键． 26.【答案】证明：为的直径， ， 与互余， 又于点， 与互余， ． ， ． ； 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得． 答：的半径为．   【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角，可得，又由于点，得到根据，可得即可求证； 设的半径为，则，根据垂径定理，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解． 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 27.【答案】【解答】证明：四边形内接于， ，， ， ， ， ， ， ； 解：连接，，由得， ，， ， ， ， ， 是直径：， 设，则， ， ， 解得：， ．   【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得，从而证明结论； 设，则，根据勾股定理可得，代入即可得出方程，从而解决问题． 28.【答案】【解答】证明：如图，连接． 是的切线， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 平分． 连接交于． ，， ， ， ，， ， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ． 解法二：连接，证明∽，可得，由此即可解决问题． 设， ， ， ， ， ， 时，的值最大，最大值为．   【解析】【分析】如图，连接证明，利用等腰三角形的性质以及平行线的性质即可解决问题． 连接交于利用梯形的中位线定理求出，再利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 设，由梯形的中位线定理可得，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $