专题01 直线与圆相切问题（十二大题型）（专项训练）数学北京版九年级上册

专题01 直线与圆相切问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线和圆的位置关系 1 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 3 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 6 题型四、切线的概念、性质与判定辨析 8 题型五、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10 题型六、求直线平移到与圆相切时运动的距离 14 题型七、切线的性质及应用 18 题型八、切线的证明方法之怍垂直证半径 23 题型九、切线的证明方法之连半径证垂直 26 题型十、切线长定理的应用 32 题型十一、三角形的内切圆 36 题型十二、过圆外一点作圆的切线 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【解析】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 3．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线l与的位置关系是相交． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 4．已知，P是上一点，.以r为半径作，若，则与直线OB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据题意画出图形，过点作，判断与半径的大小即可解答． 【详解】解：如图：根据题意过点作，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ⊙P与OB的位置关系是相切． 故选B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系、含直角三角形的性质等知识点，握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键掌． 5．（23·24上·宿迁·阶段练习）若的半径为，点到圆心O的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离小于或等于半径，则直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】∵直线上一点到圆心的距离等于， ∴圆心到直线的距离小于或等于半径， ∴直线与的位置关系是相切或相交， 故选：． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系． 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6.（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【解析】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 7.在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【解析】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 8．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ∴ ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 9．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先用勾股定理计算线段的长，分两种讨论：若与斜边相切时，通过等积法计算的面积，可求得半径的长；若，圆与边也只有一个公共点，据此解题即可. 【详解】如图，过点作于点． ，． ①如果以点为圆心，为半径的圆与斜边相切，则．此时． ②当时，圆与边也只有一个公共点． 综上，或． 故选D． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等，其中涉及分类讨论的数学思想，考点知识综合性较强，难度适中，作出适当的辅助线是解题关键 10.如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线⊙O有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是．所以x的取值范围是0＜x≤． 【详解】解：设切点为，连接， 则圆的半径，， ∵，， ∴，∴，∴， 同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数． 所以的取值范围是．故选A． 【点睛】此题注意求出相切的时候的x值，即可分析出X的取值范围． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11.已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 12．已知的直径是6，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 【详解】解∶由⊙O的直径是6，可知的半径是3，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是3． 故选：A 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，记忆理解判定条件是解题的关键． 13.平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论． 【详解】解：的半径为3，若直线与相离， 圆心到直线的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键． 14.已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得，又因为圆心O到直线的距离是方程的根，解得即可得到答案． 【详解】∵圆心O到直线的距离是方程的根， ∴， ∵与直线相交， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及解一元一次方程的知识，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系，同时注意圆心到直线的距离是非负数是解题的关键． 15.如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 【答案】1或9 【分析】结合勾股定理和平移的性质进行计算． 【详解】解：设将沿轴向下平移个单位后，根据题意作图， ， 由勾股定理：， ， 解得或9， 应将沿轴向下平移1或9个单位后圆与轴交于点． 故答案为：1或9． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系及平移的性质，解题的关键是运用方程的思想解决更简单． 题型四、切线的概念、性质与判定辨析 16.下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】根据垂径定理的推论对A进行判断；根据确定圆的条件对B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据圆周角定理对D进行判断． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直弦且平分弦所对的弧，原说法错误，该选项不符合题意； B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，该选项不符合题意； C、过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原说法错误，该选项不符合题意； D、同弧所对的圆周角相等，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件、切线的判定、圆周角定理及垂径定理，属于基础题，难度不大． 17.下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 18.下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意； ②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意； ④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意； 综上，②③④说法不正确． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19．下列说法正确的个数是（    ） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②圆的切线垂直于圆的半径； ③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据垂径定理的推论可判断①，根据切线的性质可判断②，根据确定圆的条件可判断③，根据圆周角与弦的关系可判断④． 【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦； ②圆的切线垂直于过切点的半径； ③平面内不共线三点确定一个圆； ④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补． 故没有正确的． 故选A 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，确定圆的条件，圆周角与弦的关系，掌握以上知识是解题的关键． 20．下列命题正确的是（　　） A．经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等 D．90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意； C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意； D、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 题型五、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 21．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【解析】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【解析】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 23.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 24..如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可． 【详解】设圆与直线b交于A、B两点， 当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1， 当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切， 当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与直线相切问题，关键掌握圆与直线相切的条件，会利用此条件确定动点圆心的位置，列出等式解方程解决问题． 25.如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 题型六、求直线平移到与圆相切时运动的距离 26如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 27.如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 28．已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是 . 【答案】，且x≠0 【分析】由题意得有两个极值点，过点P与⊙O相切时，取得极值，作出切线求解即可. 【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示： 由题意得， 故可得，即的极大值为， 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时取得极小值 综上可得的范围为：，且x≠0 故填：，且x≠0 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键. 29．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 30．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，由于为切点，得出垂直于切线，进而得出，根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据，求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图， 过的直线是的切线， 垂直于切线， 延长交于，则， 在矩形中，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 的最大面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出处于什么位置时面积最大． 题型七、切线的性质及应用 31.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【解析】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 32.如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 33．如图，是的直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为．    (1)求证：平分； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由切线的性质得到，推出，证明，即可得； （2）过点作于点，证明四边形是矩形，利用勾股定理求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接．    ∵直线切圆于点， ， ， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 34．如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据切线的性质得到，则利用含角的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可； （2）先利用得到，再计算出，则利用三角形内角和可计算出，所以，从而得到． 【详解】（1）解：∵直径的长为6， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质掌握切线的性质是解题的关键． 35．（22·23上·许昌·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接OB，由点B是的中点及可推出，再由切线的性质即可求证； （2）过点O作，由等腰三角形“三线合一”的性质可知；结合条件可推出四边形为矩形，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：    ∵是⊙O的切线， ∴， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：过点O作，如图所示：    ∵， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定、圆中弧弦角的关系等知识点．掌握相关结论是解题关键． 题型八、切线的证明方法之怍垂直证半径 36．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】作，再根据角平分线的性质得，即可得出答案. 【详解】证明：过点D作于点F， ∵，平分， ∴． ∵是的半径，， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．即过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线． 37．如图，已知：，O为边上一点，以O为圆心，2为半径作，交于D，E两点，设，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】过O点作于F．求出，根据“30°角所对的直角边是斜边的一半”求出，结合半径为2即可证明切线． 【详解】解：过O点作于F． ∵，， ∴ ∵，， ∴． ∴与相切． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定，圆的切线垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，角所对的直角边是斜边的一半． 38．如图，在中，，O为圆心，为半径作圆，求证：AB是圆的切线． 【答案】见解析 【分析】过点作于，勾股定理求得，等面积法得出，根据题意可得为半径，即可得证． 【详解】证明：如图，过点作于 ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵的半径为4， ∴为的半径， ∵， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 39．如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】由于题意没有明确圆与直线的交点，作垂直再根据切线的判定方法即可得证． 【详解】证明：如图，过作于， ，， ， 在中，， 的半径为3， 为的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查切线的判定，切线的证明方法有两种：知交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径． 40．如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）直接根据“”证明即可得出结论； （2）设的半径为，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键． 题型九、切线的证明方法之连半径证垂直 41．如图，在中，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)当时，直接写出的半径． 【答案】(1)相切，理由见详解； (2)4． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角，先证明，再根据圆的切线的定义即可判断并证明； （2）根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：与的位置关系是：相切；理由如下： ， ， 连接，如图所示，则， ， ， 为的半径， 与相切； 即与的位置关系是：相切； （2）解：设的半径为，又， ， 在中，， ， ， ， 故的半径为4． 【点睛】此题考查了圆的切线的证明、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的定义、等边对等角、含角的直角三角形的性质是解答此题的关键． 42．如图，在中，，以为直径作半圆O交于点D，点E为中点，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）如图，连接；根据题意结合图形，证明，即可解决问题； （2）首先求出，进而求出的值；运用勾股定理求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴； 又∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点D半圆O上， ∴是半圆O的切线． （2）解：由（1）知， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 43．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可； （2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，    是的直径， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）设的半径为， 则有， ∵是的切线． ∴， 在中，， ， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 44．如图，是的直径，A是延长线上的一点、点E在上，，交的延长线于点C，交于于点F，且点E是的中点．求证：是的切线． 【答案】见解析． 【分析】由等弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质可得，从而，再由可证得，根据切线的判定定理可得答案． 【详解】证明：连接， ∵点E在上， 是半径， ∵点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【点睛】本题考查了等弧对等角、平行线的判定、圆的切线的判定等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 45.如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意连接，直接利用切线的定理进行分析证明即可； （2）根据题意连接，交于于点，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可． 【详解】（1）解：证明：连接； ∵； ∴； 又∵为的中点； ∴ ∴； ∴； ∴； ∵； ∴； 又∵为半径； ∴为的切线； （2）连接，交于于点，则， ∵是圆的直径； ∴； ∴四边形为矩形； ∵ ∴， ∴， ∵，则， 由勾股定理的， ∴ 又∵四边形为矩形； ∴ 【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键． 题型十、切线长定理的应用 46（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【解析】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 47．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 48．如图，， 分别与 相切于点 ，，过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，，若 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理，得到：，进而推出的周长等于，即可得解． 【详解】解：∵， 分别与 相切于点 ，， ∴， ∵过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，， ∴， ∴ 的周长是： ； 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理．熟练掌握切线长相等，是解题的关键． 49．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C．若，OC=1，则PO的长为（    ） A．12 B．8 C． D．4 【答案】D 【分析】由切线的性质和HL证明，推出，根据切线长定理和，推出为等边三角形，得到，再分别解Rt和Rt，即可求出PO的长． 【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴， ∴ ， 又∵， ∴（HL） ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，切线长定理．熟练掌握切线长定理及其推论是解题的关键． 50.如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【答案】(1)见解析； (2)12 【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论； （2）由切线长定理可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， 在△APO和△BPO中， ， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与⊙O相切； （2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6， ∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6， ∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 题型十一、三角形的内切圆 51．如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， 设半径为，则， ，，， ， ，， ， ． 的内切圆的半径为2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 52．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【解析】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 53．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（   ） A．， B．0， C．， D．0， 【答案】D 【解析】解：如图，连接． ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 54．如图为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 55．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据题意，勾股定理求得的长，设，根据切线长定理可得则， ，根据即列出一元一次方程即可求得的值，即的长 【详解】解： ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝＝＝13， ∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D、E、F， ， 设，则， 即 解得 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 题型十二、过圆外一点作圆的切线 56．下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：直线和直线，使切于点，切于点． 作法：如图， ①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，； ②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点； ③作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小乐设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵是的直径， ∴________（________）（填推理的依据）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)，直径所对的圆周角为直角 【分析】（1）根据题意，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角为直角 【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 57．已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示； （2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 58．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，，，在上，作经过，两点且与相切． 【答案】见解析 【分析】先作的垂直平分线得到中点，则以为直径可作，再过点作的垂线交于点，接着在上截取，然后过点作的垂线交的垂直平分线于点，则以点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】如图，⊙O为所作． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质． 59．如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，作的高线． (3)在图③中，作以为直径的圆O的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求； （3）取格点，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图中，线段即为所求； （2）解：如图中，线段即为所求； （3）解：如图中，线段即为所求； 【点睛】本题考查了圆的综合，作图-应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 60．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解析】（1）解：如图，是边上的高； （2）解：如图，是的中位线； （3）解：如图，是⊙O的切线 1.如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】A 【分析】由直线的解析式可确定和，由此可得以及；由题可知，当在直线上方与直线相切时，圆心到直线的距离为，则由即可求解此时的长度，进而求解运动时间；在直线下方与直线相切时的求解方法同上． 【详解】解：如图，共有两种相切方式， 由直线的解析式，可得和，则，， 当在直线上方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 当在直线下方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 故选择：A． 【点睛】本题首先要注意分类讨论，考查了运用切线的性质和三角函数等知识解决问题． 2.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. 根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值. 【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. ∵A的坐标为（-1,0） 设直线与x轴，y轴分别交于C,D, 在和中 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和最短距离问题，能够作出辅助线，找出全等三角形是解题的关键. 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 4．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【解析】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 5．如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 【答案】 【解析】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 6．如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、；根据一次函数的性质，求得，；根据特殊角度三角函数的性质，得，结合平移的性质，推导得；同理，推导得；根据直线与圆位置关系的性质，得符合题意要求的点P坐标，即可得到答案． 【详解】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、，如下图： ∴，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点和之间 直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∴，即 ∴符合题意要求的点P坐标为：，，，，，， ∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7 故选：C． 【点睛】本题考查了平移、一次函数、圆、三角函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握平移、直线与圆位置关系、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解． 7.（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明；如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M， 设，则， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，， ∴，， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【解析】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 9．如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． (1)试证明是的切线； (2)若的半径为，，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线； （2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，， ∵为的直径， ∴， 又∵，是等腰三角形， ∴又是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴， ∴是的切线． （2）由（1）知，是边上的中线， 得． ∵的半径为5， ∴． 在中，   ∵， ∴． 在和中，∵，， ∴， ∴， 即，解得． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键． 10．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，然后证明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出结论； （2 ）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， ∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝EC＝， 在△DOE和△BOE中，， ∴△DOE≌△BOE（SSS）， ∴∠ODE＝∠ABC＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， 由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE， ∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10， ∴∠C＝∠ABD， 在Rt△ABC中，AC＝＝， ∵OA＝OB，BE＝CE， ∴OE＝． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关基础知识． 11．如图，，分别切于点A，B，切于点E，交，于点C，D．若的周长为半径的3倍，则的值为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，，在上取点F，使，连接，求出， 证明，得出，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可． 【详解】解：连接、，，在上取点F，使，连接，如图所示：    根据切线长定理可知，，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，切线长定理，三角形全等的判定和性质，求正切值，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理，得出． 12．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【解析】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆相切问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断直线和圆的位置关系 1 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 2 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 3 题型四、切线的概念、性质与判定辨析 3 题型五、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 4 题型六、求直线平移到与圆相切时运动的距离 5 题型七、切线的性质及应用 6 题型八、切线的证明方法之怍垂直证半径 7 题型九、切线的证明方法之连半径证垂直 8 题型十、切线长定理的应用 9 题型十一、三角形的内切圆 11 题型十二、过圆外一点作圆的切线 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 3．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．已知，P是上一点，.以r为半径作，若，则与直线OB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（23·24上·宿迁·阶段练习）若的半径为，点到圆心O的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 题型二、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 6.（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 7.在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 8．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 9．在中，，以点为圆心，为半径作圆．若与边只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 10.如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线⊙O有公共点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 11.已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 12．已知的直径是6，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是（    ）． A．3 B．4 C．6 D．12 13.平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（    ）． A．1 B．2 C．2.5 D．3 15.如图，半径为5个单位的⊙A与x轴、y轴都相切；现将⊙A沿y轴向下平移 个单位后圆与x轴交于点（2，0）． 题型四、切线的概念、性质与判定辨析 16.下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．同弧所对的圆周角相等 17.下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 18.下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．下列说法正确的个数是（    ） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②圆的切线垂直于圆的半径； ③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．下列命题正确的是（　　） A．经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等 D．90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径 题型五、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 21．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 23.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 24..如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（  ） A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s 25.如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 题型六、求直线平移到与圆相切时运动的距离 26如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 27.如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 28．已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是 . 29．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 30．如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型七、切线的性质及应用 31.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 32.如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 33．如图，是的直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为．    (1)求证：平分； (2)若的半径为，，求的长． 34．如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 35．（22·23上·许昌·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 题型八、切线的证明方法之怍垂直证半径 36．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线； 37．如图，已知：，O为边上一点，以O为圆心，2为半径作，交于D，E两点，设，求证：是的切线． 38．如图，在中，，O为圆心，为半径作圆，求证：AB是圆的切线． 39．如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线． 40．如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 题型九、切线的证明方法之连半径证垂直 41．如图，在中，，点D在边上，经过点A和点B且与边相交于点D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)当时，直接写出的半径． 42．如图，在中，，以为直径作半圆O交于点D，点E为中点，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 43．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 44．如图，是的直径，A是延长线上的一点、点E在上，，交的延长线于点C，交于于点F，且点E是的中点．求证：是的切线． 45.如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型十、切线长定理的应用 46（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 47．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 48．如图，， 分别与 相切于点 ，，过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，，若 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 49．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C．若，OC=1，则PO的长为（    ） A．12 B．8 C． D．4 50.如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 题型十一、三角形的内切圆 51．如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 52．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 53．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（   ） A．， B．0， C．， D．0， 54．如图为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 55．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 题型十二、过圆外一点作圆的切线 56．下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点． 求作：直线和直线，使切于点，切于点． 作法：如图， ①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，； ②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点； ③作直线和直线． 所以直线和就是所求作的直线． 根据小乐设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵是的直径， ∴________（________）（填推理的依据）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． 57．已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 58．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，，，在上，作经过，两点且与相切． 59．如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，作的高线． (3)在图③中，作以为直径的圆O的切线． 60．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的边上的高； (2)在图②中作出的中位线； (3)在图③中作出的切线． 1.如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 2.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ． 3．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 4．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 5．如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 6．如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7.（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 8．．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 9．如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． (1)试证明是的切线； (2)若的半径为，，求此时的长． 10．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长． 11．如图，，分别切于点A，B，切于点E，交，于点C，D．若的周长为半径的3倍，则的值为(   )    A． B． C． D． 12．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $