第二十一章 圆（上）（复习课件）数学北京版九年级上册

单元复习课件 第二十一章 圆（上） 北京版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析 4 6 课堂总结 针对训练 1.理解圆的有关概念，如圆、圆心、半径、弦、直径、弧、优弧、劣弧、扇形等。 2.掌握圆的性质，包括圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系。 3.掌握点与圆的位置关系，能根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系判断点与圆的位置。 4.理解不在同一直线上三点确定一个圆的结论，掌握画三角形外接圆的方法。 1. 圆的相关概念，如点与圆的位置关系，弧、弦、圆心角及扇形的概念等。 2. 垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 圆心角、弧、弦三者的关系，在同圆或等圆中，圆心角相等、所对的弧相等、所对的弦相等，三项 “知一推二”。 1. 对圆的概念的理解，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆的位置由圆心决定，大小由半径决定。 2. 点与圆的位置关系的应用，根据点到圆心的距离d与圆半径r的大小关系判断点在圆内、圆上还是圆外。 3. 综合运用垂径定理和圆心角、弧、弦三者的关系进行相关的证明和计算。 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 考点一 圆的有关概念 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”. 确定圆的条件有两个：①圆心，它确定圆的位置；②半径，它确定圆的大小，两者缺一不可. 考点串讲 考点一 圆的有关概念 2. 点与圆的位置关系 点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示： 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 点和圆的位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语音 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d＜r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外d＞r 考点串讲 考点一 圆的有关概念 3. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 2）弧、半圆、优弧、劣弧、等弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 考点串讲 考点一 圆的有关概念 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 4）弓形和扇形 弓形： 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 4. 三角形的外接圆与外心 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 考点串讲 考点一 圆的有关概念 5. 与圆有关的计算 1）弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 2）扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= (l是n°的圆心角所对的弧长). 考点串讲 题型一 圆的有关概念 类型一 理解圆的相关概念 例1．圆的有关概念： (1)圆的两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　． （b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合． (2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧． (5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆． 圆心 半径 等于 线段 弧 完全重合 完全重合 相等 题型剖析 1．说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 3．下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 A B A 针对训练 【详解】解：如图，中，，，， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵以点C为圆心，2为半径作，， ∴点D在内，点B在上． 故答案为：上，内． 题型一 圆的有关概念 类型二 判断点与圆的位置关系 例2．在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在 ，点D在 ．（均选填“内”“上”或“外”） 【解题方法】根据已知的半径，通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以确定点与圆的位置关系；反过来，根据已知的点与圆的位置关系，可以求出半径的取值范围. 【提问】求点A与 的位置关系？ 题型剖析 1．如图，一组同心圆的圆心为，半径分别为，以为坐标原点建立直角坐标系，点要求在小圆外，大圆内，则点可能的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、由勾股定理得到，因此在大圆外，故A不符合题意； B、在小圆上，故B不符合题意； C、由勾股定理得到，因此在大圆上，故C不符合题意； D、由勾股定理得到，因此，得到P在小圆外，大圆内，故D符合题意． 故选：D． 针对训练 2．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵，∴点在内， ∵，∴点在上， ∵，∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型三 判断确定圆的条件 例3．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【总结】1）过在同一条直线上的三个点不能作圆； 2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆. 3）经过一个点作圆，圆心的位置具有任意性；经过两个点作圆，圆心的位置就有了规律性，即圆心位于两点连线的垂直平分线上. 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 1．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 B 题型剖析 2．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 3．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 D D 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型四 画圆 例4．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 三角形外接圆的作法： 1）确定圆心：三角形两边垂直平分线的交点即为圆心. 2）确定半径：交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆半径. 1．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹） 题型剖析 2．如图，在中，，．找到的外心，画出的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） 【详解】解：如图即为所求． ①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线； ②同理作出线段的中垂线； ③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求． 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型五 求三角形外心坐标 例5．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，，该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 题型剖析 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而，故点E在内部． 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型六 利用弧长公式求值 例6．如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 【解题方法】利用弧长公式进行计算的“三步骤”： 第一步：从问题中找出公式所涉及三个量(弧长l、弧所对的圆心角、半径)中的两个. 第二步：把已知的两个量代入弧长公式. 第三步：求出公式中的未知量. 【详解】解：根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为∶． 故答案为：． 题型剖析 1．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【详解】解： 是等边三角形，，， ，， “莱洛三角形”的周长是．故答案为：． 2．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆，∴中心角， ∵劣弧的长为，∴，解得：， ∵，∴， ∴，故答案为：． 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型七 利用扇形面积公式求值 例7．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【详解】解：由题意得， ，故答案为：． 题型剖析 1．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是 ． 【详解】解：抛物线与抛物线的图象关于x轴对称，直线与x轴的正半轴的夹角为，且抛物线和抛物线的图象自身都关于y轴对称， ∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为，半径为2， ∴ 故答案为；． 针对训练 题型一 圆的有关概念 类型八 求不规则图形面积 例8．如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 1．如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（    ） A． B． C． D．6 D 【详解】解：∵在矩形中，，F是中点， ∴， ∴， ∴，故选A． 题型剖析 1．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 针对训练 考点二 圆的性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 2. 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 考点串讲 考点二 圆的性质 3.弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 4. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 【常见辅助线作法】见直径找直角，见直角连直径. 考点串讲 题型二 圆的性质 类型一 利用垂径定理求值 例1．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【解题方法】垂径定理是解决圆中计算、证明问题最常用的定理，一般涉及与半径、弦心距、弦长、弓形的高有关的问题时，往往利用垂径定理的基本图形构建一个直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解.解题时，注意垂径定理的推论“知二推三”的应用. 【详解】解：， ， 在中，， ，故答案为：2． 题型剖析 1．如图，是的直径，于点，若，，则的半径是 【详解】解：连接， ∵是的直径，，， ∴， ∵，设，则， ∴，， 在中，，即， 解得：，∴． 故答案为： ． 针对训练 2．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①， 过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，  过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，，， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 针对训练 题型二 圆的性质 类型二 利用垂径定理解决实际问题 例2．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径，寸， 在中，由勾股定理得， ，， 寸， 故答案为：26． 题型剖析 1．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴，∵纸条宽为，，． ∴，，， ∴，∴， 设，∴， ∵，， ∴，∴，解得：，∴， ∴，∴， ∴纸杯的直径长为． 针对训练 2．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【详解】（1）解：∵，∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵，∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 针对训练 2．如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接 ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 针对训练 题型二 圆的性质 类型三 利用弧、弦、圆心角关系求解 例3．如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么 ， ， ； （2）如果，那么那么 ， ， ；（3）如果，那么那么 ， ， ；（4）如果，那么那么 ， ， ； 【解题方法】圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等，三项“知一推二”.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.在实际使用时，往往还加上弦心距相等，四项“知一推三”. OP=OQ OP=OQ OP=OQ 题型剖析 1．如图，是的直径，，，则的度数为 ． 2．如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 3．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． （1）证明：过O作于M，连接、， ∵，，∴，， ∴，∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴，∴，． 针对训练 题型二 圆的性质 类型四 利用圆周角定理求值 例4．如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为 ． 1．如图，为直径，为的一条弦，于，连接．，则的大小为 ． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴． 故答案为：70． 题型剖析 2．如图，在中是直径，，，，那么的长等于 ． 【详解】解：∵是直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 针对训练 题型二 圆的性质 类型五 利用利用圆周角定理推论求值 【解题方法】直径所对的圆周角等于90°，所以我们可以利用直径构造直径所对的圆周角，进而得到直角三角形，而后可以利用两锐角互余计算角的度数，也可以利用勾股定理计算线段的长度，还可以结合其他几何知识进行相关的推理证明. 例5．如图，是的直径，弦，点D在圆上且，则的半径为 ． 5 1．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ． 13 题型剖析 2．如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【详解】如图∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形，∴，， 在中，，由勾股定理得：，∴， 故答案为：． 针对训练 题型二 圆的性质 类型六 利用圆内接四边形的性质求值 例6 ．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若 ，则的度数是 ． 1．如图，点是上一点，若，则 ． 2．如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是 ． 题型剖析 易错点提醒：规避常见错误​ 1. 混淆 “弦” 与 “直径”、“弧” 与 “等弧”：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧仅存在于同圆或等圆中，仅长度相等的弧不是等弧。 2. 垂径定理的条件遗漏：应用垂径定理时，需注意 “直径”“垂直于弦” 两个条件，且推论中 “平分的弦不能是直径”。 3. 圆心角、弧、弦关系的前提忽略：必须在 “同圆或等圆中”，才能由一组量相等推导出其余量相等，否则结论不成立。 4. 圆周角的 “对应弧” 判断错误：圆周角的度数是 “所对弧” 的圆心角度数的一半，而非 “相邻弧”，需准确识别圆周角所对的弧。 课堂总结 感谢聆听! 【扇形面积的计算】当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 $