专题05 圆（期中真题汇编，北京专用北京版）九年级数学上学期

专题05 圆 1大高频考点概览 考点01 圆 地 城 考点01 圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，半径与交于点（点与点不重合），、在两侧，长为，的半径长为，以下说法中， ①； ②可能是直角三角形或钝角三角形； ③若点关于的对称点为，则； ④长的最小值为． 所有正确说法的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质是解决问题的关键． 连接，，依题意得，，再根据直径所对的圆周角角是得，据此可对故①进行判断； 根据弦与半径交于点（点与点不重合）得，再根据，即可对②进行判断； 连接、，根据轴对称的性质得，再根据三角形三边之间的关系得，据此可对③进行判断； ④当时，为最小，连接，此时，由勾股定理求出，进而得到则长，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，，如图1． ∵弦与半径交于点（点与点不重合），、在两侧， ∴是的直径， ∴， ∴，， 故①正确，符合题意； ②∵弦与半径交于点（点与点不重合）， ∴． 又∵，， ∴是锐角三角形， 故②不正确，不符合题意； ③连接，，如图2． ∵点关于的对称点为， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵是的直径， ∴当时，为最小，连接，如图3． 则， 即． 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即长的最小值是， 故④不正确，不符合题意． 综上所述：正确说法的序号是①③． 故选：B． 2．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则，在中，运用内角和定理，结合，可得． 【详解】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键． 3．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据为的直径得出，再由可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．(24-25九上·北京石景山·期中)如图，△ABC内接于⊙O，若，则∠ACB的度数是(  ) A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，代值计算即可． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°， ∴∠ACB=∠AOB=50°， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，解题的关键是熟练掌握相关定理． 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，垂足为E．若，则弦长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，涉及了勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】连接， 是直径，弦， ，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 6．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，点在上，，则的度数为 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质，先由等边对等角得到，再由平行线的性质得到，则由等边等角得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，的直径为10，为弦，C是的中点，若，则弦的长为 ．    【答案】8 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”．连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵的直径为10， ∴， ∵C是的中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴． 故答案为∶8．    三、解答题 8．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是上的两点，，点C是的中点． (1)求证：； (2)延长与交于点D，的弦与交于点F（F不与O重合），且，，连接，求长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆心角，弧，弦的关系定理得到，根据等比三角形的性质得到，得到，再由平行线的判定定理即可得出结论； （2）根据垂径定理的推论得到，再根据勾股定理运算即可． 【详解】（1）（1）如图，连接， 点C是的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． （2）是的直径，，F不与O重合， ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 9．(24-25九上·北京延庆·期中)《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向． (1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）； (2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝ ． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （ ）（填推理的依据）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 【答案】(1)见解析 (2)AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 【分析】（1）以点A为圆心，以适当的长度为半径画弧分别与AB，AC交于一点，分别以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧交于点D，作射线AD，则AD即为所求； （2）先证明△ABC是等腰三角形，由AD平分∠BAC，根据等腰三角形的性质证明AD⊥BC，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，射线AD即为∠BAC的角平分线； （2）解：证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）（填推理的依据）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 故答案为：AC；等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 【点睛】此题考查了基本作图中的角平分线作图、等腰三角形的判定和性质、圆的相关知识，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 10．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接．若的半径为5，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理． （1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理证明结论； （2）根据垂径定理得到点E为的中点，再根据三角形中位线定理可得，然后根据圆周角定理得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵是的直径，， ∴点E为的中点，       ∵点O是的中点， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵的半径为5， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 1大高频考点概览 考点01 圆 地 城 考点01 圆 一、单选题 1．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，半径与交于点（点与点不重合），、在两侧，长为，的半径长为，以下说法中， ①； ②可能是直角三角形或钝角三角形； ③若点关于的对称点为，则； ④长的最小值为． 所有正确说法的序号是（   ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 3．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京石景山·期中)如图，△ABC内接于⊙O，若，则∠ACB的度数是(  ) A．40° B．50° C．60° D．80° 二、填空题 5．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是的直径，是的一条弦，垂足为E．若，则弦长为 ． 6．(24-25九上·北京顺义区·期中)如图，点在上，，则的度数为 7．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，的直径为10，为弦，C是的中点，若，则弦的长为 ．    三、解答题 8．(24-25九上·北京密云区·期中)如图，是上的两点，，点C是的中点． (1)求证：； (2)延长与交于点D，的弦与交于点F（F不与O重合），且，，连接，求长 9．(24-25九上·北京延庆·期中)《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向． (1)上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）； (2)在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝ ． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （ ）（填推理的依据）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 10．(23-24九上·北京燕山·期中)如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接．若的半径为5，，求和的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $