精品解析：湖南省岳阳市湘阴县洞庭四校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试卷

2025-2026学年湘阴县洞庭四校九年级上学期10月联考数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ） A. （x﹣1）2＝4 B. （x﹣1）2＝﹣4 C. （x+1）2＝4 D. （x+1）2＝﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】x2−2x=3， x2−2x+1=3+1,即(x−1)2=4. 故答案选：A. 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法. 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据是一元二次方程，则，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：C． 5. 如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 6. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即阻力阻力臂＝动力动力臂．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而得出动力关于动力臂的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】阻力阻力臂＝动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， 动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为，则，是反比例函数， 又动力臂， 故选：A． 7. 如果有理数、同时满足，那么的值为( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】将看成整体，运用平方差公式即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴（负值舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 8. 已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握菱形的两个面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，或菱形的面积等于底乘以高．根据菱形的面积公式以及一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设菱形的两条对角线长度为， ∴ ∵菱形的两条对角线长是方程的两个根， ∴ ∴． 故选：A． 9. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 10. 如图，点与点分别在函数与的图像上，线段的中点在y轴上．若△的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F 设A（x，），则OE=x， ∵M是AB的中点， ∴OF=OE ∴点F的坐标为（-x，0） 故点的坐标为（-x，） ∴SΔAOB=S梯形AEFB-SΔBFO-SΔAEO =(+)×2x- （）=（）=2 ∴=4 故选C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知，则的值为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程（a≠0）的两个根，则与系数的关系式：，． 14. 反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考常考题型．利用反比例函数的几何意义解决问题即可． 【详解】解：四边形是矩形， 由题意，矩形的面积， ， 反比例函数图像在第二象限， ， 故答案为：． 15. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为x，据题意列方程_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程是实际应用—增长率问题． 设月平均增长率为x，根据1月份某种钢的产量3月份某种钢的产量，列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x， 则， 故答案为：． 16. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，分别是一元二次方程的两个根，可得：，，把代数式整理可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 17. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 18. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：等等；按照这个规定，若，则x的值是_____ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， 故答案为：或． 三、解答题 （本大题共8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项得到，再利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 即， 或， ，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 21. 如图，在一长为，宽为的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为，求截去的四个小正方形的边长． 【答案】cm 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪掉的正方形的边长为cm，则，据此即可求解； 【详解】解：设剪掉的正方形的边长为cm， 则， 解得（不合题意，舍去） 答：剪掉的正方形的边长为cm． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可； （2）由题意可得，进行变形后代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，方程的两实根为， ， ， 即， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题. 23. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】（1）P （2） （3） 【解析】 【分析】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（ 1）得到的函数解析式，可得P； （3）把代入得到V即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意知， ∴， 故； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，， ∴为了安全起见，气体的体积应不少于． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案； （2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）； （2）当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2=， ∴y1＜y2， ∴第30分钟注意力更集中． （3）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8， 令y2=36， ∴36=， ∴x2=≈27.8， ∵27.8－8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围． 26. 如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）设运动时间为，则，，由矩形的性质可得，，，进而可得，然后根据梯形的面积公式即可得出答案； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为， 则，， 四边形是矩形， ，，， ， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ， ， 分三种情况讨论： ①当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； ②当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得：； ③当时， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，勾股定理，三线合一等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湘阴县洞庭四校九年级上学期10月联考数学试卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ） A. （x﹣1）2＝4 B. （x﹣1）2＝﹣4 C. （x+1）2＝4 D. （x+1）2＝﹣4 4. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. ±1 5. 如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球．”这句话阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即阻力阻力臂＝动力动力臂．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如果有理数、同时满足，那么的值为( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 8. 已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 9. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点与点分别在函数与的图像上，线段的中点在y轴上．若△的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：__________． 12. 已知，则的值为______． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 14. 反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为_____． 15. 某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为x，据题意列方程_______ 16. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为___________. 17. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 18. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：等等；按照这个规定，若，则x的值是_____ 三、解答题 （本大题共8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 如图，在一长为，宽为的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子、若已知长方体盒子的底面积为，求截去的四个小正方形的边长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 23. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 26. 如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $