第二十四章 圆（单元测试·提升卷）数学沪科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，绕顶点逆时针旋转至，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，的弦，M是B的中点，且，则的半径等于（   ） A．4 B．1 C．5 D．10 4．在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 8．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在的内接四边形中，，则 ° 12．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 13．如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 14．如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 16．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 17．如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． (1)点的坐标是________；、两点之间距离等于________； (2)点的坐标是________；的形状是________； (3)写出点关于原点对称点的坐标（________）； (4)在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 18．如图，是外一点，连接，以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、． (1)求证：直线、是的切线； (2)当，时，求圆心距的长． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 22．如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C A B D B B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．140 12．6或4 13．/ 14． 三、解答题（共4小题，每小题8分,共32分） 15．如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理等知识点．连接，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ， ．（8分） 16．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ；（4分） （2）解：∵，， ， ， ， ．（8分） 17．如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． (1)点的坐标是________；、两点之间距离等于________； (2)点的坐标是________；的形状是________； (3)写出点关于原点对称点的坐标（________）； (4)在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】(1)，7 (2)，等腰直角三角形 (3) (4)见解析 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移规律，关于原点对称的点坐标，最短路径问题． （1）根据平面直角坐标系中点B的位置可得B点坐标，根据A、B两点横坐标相同，A、B两点之间距离等于A、B两点纵坐标的差的绝对值求出A、B两点之间距离； （2）根据点的坐标平移规律写出C点坐标，结合特殊三角形的判断方法确定的形状； （3）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点B关于原点O对称点的坐标； （4）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断此时周长最短，则点P即为所求． 【详解】（1）解：根据坐标位置得：点B的坐标是， ∵点， ∴， ∴A、B两点之间距离等于7；（2分） （2）解：∵点向右平移7个单位到达点， ∴点C的坐标是，， ∵， ∴的形状是等腰直角三角形；（4分） （3）解：∵点B的坐标是， ∴点B关于原点O对称点的坐标是；（5分） （4）解：如图，作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点， ∵， ∴， ∴当A、P、共线时，最小，即周长最短， ∴点P即为所求．（8分） 18．如图，是外一点，连接，以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、． (1)求证：直线、是的切线； (2)当，时，求圆心距的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，，从而得出结论； （2）30度所对的直角边等于斜边的一半，可以得到的长度，从而算得． 【详解】（1）证明：以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、， ，， ，， 是的半径， 直线、是的切线；（4分） （2）解：，，， ， ．（8分） 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ．（5分） （2）由得：， ，， ， ．（10分） 20．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用相关性质和定理进行推理与计算． （1）通过等腰三角形的性质得到角相等，进而推出同位角相等，证明两直线平行，再结合直径所对圆周角为直角得出垂直关系； （2）利用垂径定理得到，设的半径为r，则，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ；（5分） （2）解：为的直径， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，∵， ∴， 解得，即的半径为5．（10分） 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120；（2分） （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”；（6分） （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或．（12分） 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理．解题的关键是：（1）通过连接半径构造直角三角形，利用证明，结合切线性质证得是切线；（2）利用“等角对等边”证得，结合的比例关系求圆的半径，再通过直角三角形勾股定理与相似比计算的长度． （1）连接，由是切线得；利用、、，证，得，即，证是切线（全程不涉及）． （2）设，得；由得，求解得；在中用勾股定理求，再由相似比得，最后算． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 与相切于点， ∴ （圆的切线垂直于过切点的半径）， ∵ 、均为的半径， ∴ ， 在和中，， ∴ （）， ∴ （全等三角形的对应角相等）， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 又∵ 是的半径， ∴ 是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（6分） （2）解：设， 由（1）知， ∴ ， ∵ ，， ∴ （垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ ， ∴ （等角对等边）， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ （两角分别对应相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形的对应边成比例）， 又，，，代入得： ， 交叉相乘得：， 化简：， ∴ ， 解得（舍去，半径为正数）， ∴ ，， 在中，，由勾股定理： ， 由，得， 代入，，得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 答：的长为．（12分） 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】 【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ，，， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ， 的度数为， 故答案为：直角，；（2分） 类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ；   （8分） 联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， ．   （14分） 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，绕顶点逆时针旋转至，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，的弦，M是B的中点，且，则的半径等于（   ） A．4 B．1 C．5 D．10 4．在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 8．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在的内接四边形中，，则 ° 12．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 13．如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 14．如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 16．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 17．如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． (1)点的坐标是________；、两点之间距离等于________； (2)点的坐标是________；的形状是________； (3)写出点关于原点对称点的坐标（________）； (4)在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 18．如图，是外一点，连接，以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、． (1)求证：直线、是的切线； (2)当，时，求圆心距的长． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 22．如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 2．如图，绕顶点逆时针旋转至，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质、三角形内角和、角的和差是解题关键． 根据图形旋转可得，，进而可求，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 3．如图，的弦，M是B的中点，且，则的半径等于（   ） A．4 B．1 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，连接，，根据三线合一的性质得出，根据垂径定理求出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵M是B的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 即的半径等于5， 故选：C． 4．在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转．根据旋转定义作出图形即可找到点Q的坐标． 【详解】解：如图所示， 点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为， 故选：B． 6．如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 8．如图，交于点B，切于点D，点C在上．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据切线的性质可得，根据直角三角形的性质求出，然后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．如图，在的内接四边形中，，则 ° 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形．根据圆周角定理求得，再根据圆内接四边形的对角互补求得的度数即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 13．如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及同高的三角形面积之比即是底边之比（反之亦然），掌握中心对称的性质是解题的关键．根据题意得到，利用同高的三角形底边之比即是面积之比，得到，，利用中心对称的性质得到，进而得到，即有，即可得到，从而得到． 【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份， ，，， 连接，， 有， ， ， ， ，， 由中心对称性质可知， ， ， ， ， ； 同理可得， 故答案为：． 14．如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和以及线段的最值，（1）根据多边形内角和定理可求出；（2）根据题意得点在以D为圆心，2为半径的圆上，连接AD，交⊙D于点Q，此时AQ最短，证明，根据相似三角形的性质列比例式可求出． 【详解】解：（1）∵五边形的内角和为， ∴； （2）∵， ∴点Q在以D为圆心，2为半径的圆上， 如图，连接，交于点Q，此时最短，此时点B，P重合，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：108；． 三、解答题（共4小题，每小题8分，共32分） 15．如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理等知识点．连接，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 16．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 17．如图在直角坐标平面内，已知点与点，将点向右平移7个单位到达点． (1)点的坐标是________；、两点之间距离等于________； (2)点的坐标是________；的形状是________； (3)写出点关于原点对称点的坐标（________）； (4)在轴上有一点，使得周长最短，请画出点的位置（保留画图的痕迹）． 【答案】(1)，7 (2)，等腰直角三角形 (3) (4)见解析 【分析】本题考查了点的坐标，点的平移规律，关于原点对称的点坐标，最短路径问题． （1）根据平面直角坐标系中点B的位置可得B点坐标，根据A、B两点横坐标相同，A、B两点之间距离等于A、B两点纵坐标的差的绝对值求出A、B两点之间距离； （2）根据点的坐标平移规律写出C点坐标，结合特殊三角形的判断方法确定的形状； （3）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点B关于原点O对称点的坐标； （4）作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断此时周长最短，则点P即为所求． 【详解】（1）解：根据坐标位置得：点B的坐标是， ∵点， ∴， ∴A、B两点之间距离等于7； （2）解：∵点向右平移7个单位到达点， ∴点C的坐标是，， ∵， ∴的形状是等腰直角三角形； （3）解：∵点B的坐标是， ∴点B关于原点O对称点的坐标是； （4）解：如图，作C点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点， ∵， ∴， ∴当A、P、共线时，最小，即周长最短， ∴点P即为所求． 18．如图，是外一点，连接，以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、． (1)求证：直线、是的切线； (2)当，时，求圆心距的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，，，从而得出结论； （2）30度所对的直角边等于斜边的一半，可以得到的长度，从而算得． 【详解】（1）证明：以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、， ，， ，， 是的半径， 直线、是的切线； （2）解：，，， ， ． 四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）由得：， ，， ， ． 20．如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用相关性质和定理进行推理与计算． （1）通过等腰三角形的性质得到角相等，进而推出同位角相等，证明两直线平行，再结合直径所对圆周角为直角得出垂直关系； （2）利用垂径定理得到，设的半径为r，则，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ； （2）解：为的直径， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，∵， ∴， 解得，即的半径为5． 五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 21．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．如图，点O是的边上一点，以点O为圆心,长为半径作，与相切于点D，过点A作于点E，连接交于点F，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理．解题的关键是：（1）通过连接半径构造直角三角形，利用证明，结合切线性质证得是切线；（2）利用“等角对等边”证得，结合的比例关系求圆的半径，再通过直角三角形勾股定理与相似比计算的长度． （1）连接，由是切线得；利用、、，证，得，即，证是切线（全程不涉及）． （2）设，得；由得，求解得；在中用勾股定理求，再由相似比得，最后算． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 与相切于点， ∴ （圆的切线垂直于过切点的半径）， ∵ 、均为的半径， ∴ ， 在和中，， ∴ （）， ∴ （全等三角形的对应角相等）， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 又∵ 是的半径， ∴ 是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． （2）解：设， 由（1）知， ∴ ， ∵ ，， ∴ （垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ ， ∴ （等角对等边）， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ （两角分别对应相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形的对应边成比例）， 又，，，代入得： ， 交叉相乘得：， 化简：， ∴ ， 解得（舍去，半径为正数）， ∴ ，， 在中，，由勾股定理： ， 由，得， 代入，，得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 答：的长为． 6、 解答题（共1小题，每小题14分，共14分） 23．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】 【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ，，， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ， 的度数为， 故答案为：直角，； 类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ；    联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， ．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $