精品解析：山东省青岛市超银中学（金沙路校区）2025-2026学年九年级上学期数学期中模拟试题

青岛市2025—2026学年度第一学期阶段性调研试题 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示：本试卷共四道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写“在客观题答题区”． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得3分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分． 1. 一元二次方程的解为（ ） A B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：原方程化为：， 解得，． 故选B． 2. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】根据绿球个数总数=0.2，设绿色的球有个，根据题意，列分式方程，解分式方程，检验，即可解题． 【详解】解：设绿色的球有个，根据题意得， 经检验，是原分式方程的解， 即袋中有3个绿球， 故选：A． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键． 根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：，，，， 不成立是B． 故答案为：B． 4. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ） A. 3:2 B. 3:1 C. 1:1 D. 1:2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可． 【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴ ， ∵点E是边AD的中点， ∴AE=DE=AD， ∴． 故选D． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程有实数根可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件，是解题的关键． 6. 如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. 10m B. 8m C. 6m D. 4m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m； ∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴∠ECD=∠F， 又 ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2=ED•FD=4×16=64， 解得CD=8m（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 8. 在中，，四边形为内接正方形．若，，则阴影部分的面积是（　　）． A. 24 B. 30 C. 25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由由正方形的性质得到，再由相似三角形的判定与性质可得，可设，则．由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【详解】解：由题意可知， ∴，， ∴． ∴， 设， 则． 根据勾股定理得 ． 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （）， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键． 9. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作宽与长之比为的矩形，我们将这种宽与长的比为的矩形称为“黄金矩形”．如图，已知四边形是黄金矩形，若，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金矩形的概念，求出的值，再根据矩形的面积计算方法即可求解． 【详解】∵四边形是黄金矩形， ∴，即，解得，， ∴矩形的面积， 故选：． 【点睛】本题主要考查成比例线段的运用，理解黄金矩形的概念，掌握比例的性质及运用是解题的关键． 10. 如图，矩形，点是边上的一点，把矩形沿折叠，点落在边上的点处，，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，可判定②，作，证明，可判断故④正确，从而得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得， 在中，， ∴， 设， ∴， 在中，， 解得，即，故③错误； 在矩形中，， ， 又 ∵， ， ， ∴，故①正确； ， ， ∴，故②正确； 作， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故正确的有①②④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若线段、、、成比例，其中，，，则____． 【答案】4cm 【解析】 【分析】根据成比例线段的概念，得．再根据比例的基本性质，求得的值． 【详解】解：∵四条线段成比例，  ，  ，  ，  解得：．  故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解． 12. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球， ∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小． 13. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：把是关于x的方程 得：， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了是一元二次方程的根，解题的关键是将方程根代入原方程得到关于m的一元一次方程． 14. 如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案：． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5##5或2 【解析】 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 16. 在菱形中，，，对角线，相交于O，作，，得四边形，面积记为；以，为边作平行四边形，连接相交于点．作，，得四边形，面积记为，以此类推，四边形面积记为……则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和所给条件求证四边形是矩形，找出四边形，四边形，四边形都是矩形这一规律，根据菱形的性质和矩形的性质求得、、，并发现其中的规律，继而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 得到规律：四边形，四边形，四边形都是矩形， ， ， ∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴为的中点，是的中点， ， ， ， ， 同理：， 得到规律： 则， 故答案：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的性质及面积公式、菱形的性质、解直角三角形，解题的关键是找出图形的规律． 三、作图题（本题满分4分） 17. 已知：线段a，． 求作：菱形，使，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先画一条射线，再在射线上作，然后作，接着在射线上作线段，然后作射线，最后在射线上作，并连接即可． 【详解】如图，菱形即为所作． 【点睛】本题考查作图—复杂作图．掌握作线段等于已知线段，作角等于已知角和菱形的性质是解题关键． 四、解答题（68分） 18. 计算 （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法，配方法． （1）根据题意得，先算出，再代入求根公式即可得； （2）移项，配方，开方即可得． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，，D是边上一点，且． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（舍去负值）． 20. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2）树状图见解析，该游戏对双方公平 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得出，再证明得出，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，结合平行四边形的性质得出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 【答案】14米 【解析】 【分析】根据题意，得，，，；根据相似三角形的性质，通过证明，计算得；通过证明四边形为矩形，得，从而完成求解． 【详解】根据题意，得，，， ∵Rt△ABC ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AC＝0.8米，BC＝0.5米，AE＝20米 ∴米 ∵，， ∴四边形为矩形 ∴米 ∴米． 【点睛】本题考查了矩形、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 23. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 24. 【模型呈现：材料阅读】 如图1，点在同一直线上，点在直线CE的同侧，和均为等边三角形，交于点．对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）； （2）可以看作是由绕点旋转而成； 【模型改编：问题解决】 如图2，点在直线的同侧，，，，直线交于． ①求证：； ②则的度数． 如图3：将绕点C顺时针旋转一定角度， ③则的度数为___________． ④若将“”改为“”，则的度数为___________．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图4：在矩形和矩形中，，，，连接，，⑤则的值为___________． 【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②；③；④；【模型拓广：问题延伸】 【解析】 【分析】①先证，得，再根据，即可证； ②由可得，，即可得； ③连接并延长交于F，由可得，，由，得； ④同理③得； 【模型拓广：问题延伸】 连接，证，得，即，再求出，根据比例关系证，即可得出的值． 【详解】解：【模型改编：问题解决】 ①证明：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴； ②由①知，， ∴， ∴； ③由可得，， ∵， 故答案为：； ④同理③可得， 故答案为：； 【模型拓广：问题延伸】 连接， ∵在矩形和矩形中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形外角等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． （1）当t为何值时，？ （2）点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； （3）点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ （4）当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）时，与相似 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键． （1）当时，得，则，代入计算即可； （2）考虑两种情况，当或时，根据相似三角形的性质代入计算即可； （3）过点作的垂线段，交于点，证明，求得，再表示出的面积，即可解答； （4）分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用相似三角形性质表示出和或的长，由建立方程，进而解决问题． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， ， 当时， ， ， ， 解得， 时，； 【小问2详解】 解：如图，当时， ， ， 解得， 如图，当， ， ， 解得（舍去）， 综上，时，与相似； 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线段，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 当四边形的面积占面积的六分之五时，的面积占面积的六分之一， 可得， 解得（舍去）， ； 【小问4详解】 解：点是点关于直线的对称点， ，， 为等腰三角形， 当为直角三角形时，， ， ， 此时 为等腰直角三角形， 即， ①如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， ②如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， 综上所述，当或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛市2025—2026学年度第一学期阶段性调研试题 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 温馨提示：本试卷共四道大题，含24道小题．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．其中，选择题要求用2B铅笔正确涂写“在客观题答题区”． 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得3分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分． 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 2. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ） A. 3:2 B. 3:1 C. 1:1 D. 1:2 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） A. 10m B. 8m C. 6m D. 4m 7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 8. 在中，，四边形为内接正方形．若，，则阴影部分的面积是（　　）． A. 24 B. 30 C. 25 D. 9. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作宽与长之比为的矩形，我们将这种宽与长的比为的矩形称为“黄金矩形”．如图，已知四边形是黄金矩形，若，则矩形的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形，点是边上的一点，把矩形沿折叠，点落在边上的点处，，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若线段、、、成比例，其中，，，则____． 12. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 13. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 14. 如图①是用杠杆撬石头示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，至少要将杠杆的C点向下压_____． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 16. 在菱形中，，，对角线，相交于O，作，，得四边形，面积记为；以，为边作平行四边形，连接相交于点．作，，得四边形，面积记为，以此类推，四边形面积记为……则_____． 三、作图题（本题满分4分） 17 已知：线段a，． 求作：菱形，使，． 四、解答题（68分） 18. 计算 （1）（公式法） （2）（配方法） 19. 如图，在中，，，D是边上一点，且． （1）求证：． （2）求长． 20. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 21. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？ 22. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 23. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 24. 【模型呈现：材料阅读】 如图1，点在同一直线上，点在直线CE的同侧，和均为等边三角形，交于点．对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）； （2）可以看作是由绕点旋转而成； 【模型改编：问题解决】 如图2，点在直线的同侧，，，，直线交于． ①求证：； ②则的度数． 如图3：将绕点C顺时针旋转一定角度， ③则的度数为___________． ④若将“”改为“”，则的度数为___________．（直接写结论） 【模型拓广：问题延伸】 如图4：在矩形和矩形中，，，，连接，，⑤则的值为___________． 25. 如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． （1）当t为何值时，？ （2）点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； （3）点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形面积占面积的六分之五？ （4）当t为何值时，为直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $