第二十七章 反比例函数（复习讲义）数学冀教版九年级上册

第二十七章 反比例函数（复习讲义） 1. 了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2. 能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3. 理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关系），并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4. 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形/三角形面积与k的关系”解决相关问题。 5. 能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题”的步骤，体会其在实际中的应用价值。 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成 .即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为 ，其中是 ，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是 ，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1） ：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2） ：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3） ：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是 ，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的 ； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的 ； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 知识点五、一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由 决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点六、反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 根据定义判断是否是反比例函数 1．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 3．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 4．已知函数是反比例函数，求m的值． 题型二 求反比例函数自变量、函数值 5．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 6．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 7．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 8．已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 题型三 判断反比例函数图象 9．在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 10．画出反比例函数的大致图象，结合图象回答： (1)当时，y的值； (2)当时，y的取值范围； (3)当且时，x的取值范围． 11．反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 12．已知反比例函数． (1)画出这个反比例函数的图象． (2)利用所画图象求当时，x的取值范围． (3)已知是所画图象上的三个点．比较的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 题型四 求反比例函数解析式 13．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P为x轴上一点，，求点P的坐标． 14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出当且时，的取值范围． 15．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 16．若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 17．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 18．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 19．如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 20．如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是 ． 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 21．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 22．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值为 ； 23．已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 24．已知是关于x的反比例函数． (1)若时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值． 题型七 反比例函数的增减性 25．若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 26．在反比例函数图象上有两点，，，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则k的取值范围是 ． 28．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 29．反比例函数图象上有三个点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 30．在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 31．若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量x的取值范围是 ． 32．已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 题型九 反比例函数的k值意义与图形面积 33．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 34．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 36．已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 题型十 实际问题与反比例函数 37．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 38．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 39．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 40．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 题型十一 反比例函数与几何结合 41．直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 43．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 44．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 45．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 46．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 47．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求一次函数与轴的交点坐标； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 题型十三 反比例函数与一次函数的实际问题 49．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 50．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 51．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    52．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 基础巩固通关测 1．已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 2．如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 3．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 4．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 5．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 6．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 7．已知一次函数与反比例函数中，与的对应值如下表：则不等式的解集为 ． 1 2 3 0 3 6 3 1 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 9．如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 10．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 12．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 13．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 14．在平面直角坐标系中 ，的顶点，反比例函数的图象过的中点． (1)求反比例函数表达式； (2)已知点关于点的对称点，试判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 15．在平面直角坐标系中，将按如图所示的方式放置，已知，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到． (1)直接写出D，F两点的坐标（用含m的代数式表示）． (2)若点D，F均落在反比例函数的图像上，求m的值及反比例函数的解析式． 能力提升进阶练 16．关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 17．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 18．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 19．如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 20．如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 21．已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 23．如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点，则不等式的解集为 ． 25．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 26．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于，两点． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)若点，的横坐标分别为，．求的值． 27．如图，直线与双曲线 相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出当时，关于x的不等式 的解集． 28．【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 29．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 30．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数（复习讲义） 1. 了解反比例函数的定义，体会反比例函数各知识模块之间的整体联系。 2. 能用待定系数法确定反比例函数的关系式。 3. 理解反比例函数图象的基本画法（列表、描点、连线），掌握其图象特征（双曲线、所在象限与k的关系），并能利用图象性质（不同象限内y随x的变化规律）分析函数变化。 4. 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能用“图象上点向坐标轴作垂线所围矩形/三角形面积与k的关系”解决相关问题。 5. 能利用反比例函数解决实际问题：掌握“建立模型→列方程求k→确定关系式→分析变量取值→解决问题”的步骤，体会其在实际中的应用价值。 知识点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 2.反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 3.反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点四、反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 知识点五、一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点六、反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 根据定义判断是否是反比例函数 1．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例函数或，解答即可． 【详解】解：①是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④是反比例函数； ⑤不是反比例函数； ⑥不是反比例函数； 故是的反比例函数的有3个， 故选：C． 2．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 3．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将点代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 题型二 求反比例函数自变量、函数值 5．已知点A在反比例函数的图象上，点A关于y轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标与反比例函数的关系列出等式． 先设出点的坐标，根据反比例函数的性质表示出，再根据关于轴对称的点的坐标特征得到对称点坐标，进而表示出，最后结合求解． 【详解】解：设点A坐标为，则， 点A关于y轴对称后的坐标为，代入第二个反比例函数得， 由，得： ，则， ， 因此，，对应选项B． 故选：B． 6．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例函数图象上．根据反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数，即， A选项：，即A选项符合题意， B选项：，即B选项不符合题意， C选项：，即C选项不符合题意， D选项：，即D选项不符合题意， 故选：A． 7．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， ， 解得：， 故答案为：． 8．已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1)比例系数是 (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数可知比例系数为； （2）解：把代入得：； （3）解：把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型三 判断反比例函数图象 9．在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 10．画出反比例函数的大致图象，结合图象回答： (1)当时，y的值； (2)当时，y的取值范围； (3)当且时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】作出反比例函数图象，如图所示， （1）把代入反比例解析式求出y的值即可； （2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可； （3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可． 【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，    把代入得：； （2）解：当时，；当时，， 根据图象得：当时，y的取值范围为； （3）解：当时，；当时，， 根据题意得：当且时，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键． 11．反比例函数． (1)画出反比例函数的图象； (2)观察图象，当时，写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】（1）列表、描点、连线画出函数图象即可； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数． 列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点、连线，反比例函数的图象如图， ； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 12．已知反比例函数． (1)画出这个反比例函数的图象． (2)利用所画图象求当时，x的取值范围． (3)已知是所画图象上的三个点．比较的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据反比例函数所在的象限以及该函数的单调性画出图像． （2）根据图像得出结论． （3）根据函数解析式判断出函数的增减性，再根据反比例函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：画出图像如图所示： （2）解：由图像可知：当时， （3）解：，理由如下： 图像在第二象限内，随的增大而增大， 当时， 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，以及反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握反比例函数图像的性质． 题型四 求反比例函数解析式 13．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P为x轴上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）设直线与x轴交于D，则，根据，求出，则或． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：设直线与x轴交于D， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出当且时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键． （1）将点的横坐标代入正比例解析式中求出点的纵坐标，确定出点坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）根据正比例函数和反比例函数图象的对称性，可直接得到点的坐标，观察图象即可求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 点． 在反比例函数的图象上， ，即， 反比例函数的解析式为； （2）解：．理由如下： 根据正比例函数和反比例函数均关于坐标原点对称，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，， ， 观察图象可知，当且时，的取值范围为． 15．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)点，是否在这个函数的图象上？ 【答案】(1) (2)点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入求函数值即可判断． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的表达式为． （2）∵当时，， ∴点在这个函数的图象上； ∵当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 16．若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：在中，当时，． 题型五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 17．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 18．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 19．如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可． 【详解】解：双曲线与直线交于，两点，直线经过原点， 、两点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键． 20．如图，已知直线与反比例函数的图象交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N的坐标是 ． 【答案】（－1，－2） 【分析】直接利用正比例函数和反比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于M，N两点， ∴M，N两点关于原点对称， ∵点M的坐标是（1，2）， ∴点N的坐标是（-1，-2）． 故答案为：（－1，－2）. 【点睛】此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，正确得出M，N两点位置关系是解题关键． 题型六 已知双曲线分布的象限求参数范围 21．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：． 故答案为：． 22．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据反比例函数的图像在第二、四象限，列出关于m的方程组（或不等式组求解）． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得：（正值舍去）， 故答案为：． 23．已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的取值范围为． 24．已知是关于x的反比例函数． (1)若时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的性质解题即可； （2）根据反比例函数图象的性质求出解析式，然后代入点的坐标解题即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得． （2）由题意可知， 解得． 即， 所以， ． 【点睛】本题考查反比例函数的定义和性质，掌握一般地,形如(k为常数,)的函数叫反比例函数. 题型七 反比例函数的增减性 25．若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 26．在反比例函数图象上有两点，，，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据题意判断出反比例函数图象所在象限，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上有两点，，，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得． 故选：B． 27．已知点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，若，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和不等式的解法，将点的坐标代入函数表达式，求出和的表达式，根据建立不等式，并通过化简即可求出k的取值范围． 【详解】解：将点代入反比例函数中，，， ∵， ∴， 化简不等式，两边同时乘以6，得 ， 得， ∴． 故答案为：． 28．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 29．反比例函数图象上有三个点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：反比例函数， 此函数图象在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大 点在第二象限 点在第四象限 故选：B． 30．在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∴． 故选：A． 31．若点在反比例函数的图象上，则当函数值时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的图象与性质，解题的关键是利用“点在反比例函数图象上则其横纵坐标满足函数解析式”求出参数，再结合反比例函数在不同象限的函数值变化规律分析自变量的取值范围． 将点代入,得；由图象在一、三象限，第一象限（满足），对应；第三象限y随x增大而减小，时,故满足的；综合得或. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴2， 解得， 在第一象限，函数值y都是正数，所以时，， 在第三象限，函数值y随x的增大而减小， 所以时，， 综上所述，函数值时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 32．已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查的是反比例函数的定义及反比例函数的性质，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可； （2）根据（1）中的值得出反比例函数的解析式，再求出和时的值即可． 【详解】（1）解：函数为反比例函数 且， ； （2）解：由（1）知，， 反比例函数的解析式为， 当时，；当时，， 时，． 题型九 反比例函数的k值意义与图形面积 33．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 34．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 先分别求得，，从而可求得，，进而求得，再求得，然后利用求出结果． 【详解】解：在反比例函数中， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 36．已知等边，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数经过的中点M，与边相交于点N．    (1)求B点坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得B的坐标； （2）求出M的坐标，代入即可求得k的值； （3）作轴于C，轴于D，得到，求出的解析式，再联立方程组求出点N的坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）∵等边三角形，边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限， 作轴， ∵ ∴， ∴， ∴B；    （2）∵M是的中点，， ∴M， 代入得到 ∴反比例函数的解析式为； （3）作轴于C，轴于D，得到， ∵B， ∴设直线为，代入解得， ∴直线为y=x， ∴， 解得或（舍去）， ∴N， ∴．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得M、 N的坐标是解题的关键． 题型十 实际问题与反比例函数 37．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 38．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1) (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 39．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 40．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 【答案】(1)猜想函数模型是反比例函数， (2)上升了，上升了150度 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据每组与的乘积都相等猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）分别求出当时和当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等， 则猜想函数模型是反比例函数． 设关于的函数表达式为， 将点代入得：， 所以关于的函数表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 因为（度）， 所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度． 题型十一 反比例函数与几何结合 41．直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的函数表达式； (2)观察图像，当时，直接写出的解集， (3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数上的点的特点求得的值进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可； （2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，的取值范围即可； （3）根据（1）的解析式求得点的坐标，设P点坐标为，则，根据三角形面积公式求解即可，进而解绝对值方程求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】（1）点和点在图象上， ，， 即， 把，两点代入中得 ， 解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵由（1）得点，点， ∴由图象可得当时，的解集为 （3）解：由（1）得直线的解析式为， 当时，， 点坐标为 设P点坐标为，则 的面积是8 ， ， ， 解得或， P的坐标为或， ∴点P的坐标为或时，的面积是8． 42．如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)一次函数解析式；反比例函数解析式 (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合题，具体包括待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，图形平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． （1）将点代入一次函数解析式中即可求解b的值，再将点代入反比例函数解析式中即可求解k的值； （2）根据平行四边形的性质得到，求得轴，得到点A的纵坐标为2，当时，可求得点的坐标，设平移后的点，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵点， ∴点A的纵坐标为2， 当时，， ∴， ∴， ∴点， ∵向下平移，当点C落在图象上， ∴设设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ∴，解得， ∴平移的距离为． 43．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 44．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)平移的距离为个单位 【分析】本题考查了反比例函数与坐标图形，掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，将代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，然后根据得出，即可求解； （3）设平移后的对应点为，代入（1）中的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为，点的横坐标为 ∵点的坐标为，为边的中点， ∴ ∴正方形的边长为 ∴，则 ∵， ∴，则的横坐标为 ∴； （3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为 ∵在上， ∴ 解得：，即平移的距离为个单位． 题型十二 反比例函数与一次函数交点问题 45．如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 46．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 47．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求一次函数与轴的交点坐标； (3)利用图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点A的坐标，然后得出一次函数的解析式，进而利用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）令代入一次函数解析式进行求解即可； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：，点A在第三象限， ， 点坐标为． 把点代入， 得， 解得， 一次函数表达式为． 把代入，得． 反比例函数表达式为． （2）解：令，则，解得， 一次函数与轴交点坐标为． （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 【分析】（1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 题型十三 反比例函数与一次函数的实际问题 49．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 50．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 51．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 52．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【答案】（1）；4；2；（2）不能，图见解析，理由见解析；（3）图形见解析，8 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）平移直线通过，将点代入，解得． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得： ， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2），不能围出矩形地块；理由如下： 若，木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标， 的图象，如图中直线所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示： 将点代入得：， 解得． 即的值为8． 基础巩固通关测 1．已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．将点代入得到m的值，再根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：将点代入得，，函数解析式为； A、因为，所以函数图象在一、三象限，故本选项错误； B、因为，所以函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误； C、因为，所以点在此函数图象上，故本选项错误； D、因为，所以函数图象在一、三象限，时，，故本选项正确． 故选：D． 2．如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴． 故选D． 3．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的图像，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数，的图象分布在第二象限， ，，，， 当时，由图象可得， ， ， 故选：B． 4．如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．依据题意，由当时，反比例函数的图象在第二象限，则，又，，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，当时，反比例函数的图象在第二象限， ． 又，， ． ． 反比例函数为． 故选：C． 5．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，一次函数，反比例函数的性质，熟练掌握相关函数图象及性质是解题的关键．根据题意，分别求出一次函数，反比例函数的解析式，结合实际，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：A．设直线所对应的函数解析式为， 点在直线上， ， ， 函数解析式为， 玻璃加热的速度为， 故该选项正确，不符合题意； B．设反比例函数解析式为， 点在直线上， ， ， 与的函数表达式为， 故该选项正确，不符合题意； C．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于， ，当时，， ，当时，， 能够对玻璃进行加工的时长为， 故该选项正确，不符合题意； D．，当时，， ，当时，， 玻璃从降至室温需要的时间为， 故该选项不正确，符合题意， 故选：D． 6．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据自变量的次数等于且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 7．已知一次函数与反比例函数中，与的对应值如下表：则不等式的解集为 ． 1 2 3 0 3 6 3 1 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据表格中的数据可得两个函数的交点坐标为和，据此画出对应的函数图象，找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，一次函数和反比例函数的函数值都为，当时，一次函数和反比例函数的函数值都为3， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为和， ∴由函数图象可得不等式的解集为或， 故答案为：或． 8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键．利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故答案为：或． 9．如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 10．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为 【答案】/ 【分析】将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出m和k的值，得出一次函数和反比例函数解析式，再求出点的坐标，即可得到平移的距离，再求出点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】解：将点分别代入一次函数和反比例函数中， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得 解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴整体向上平移了个单位， 将代入得：， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，图象的平移，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质，以及平移的性质，是解题的关键． 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数，当时，经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大；反之经过一、三象限，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ． 12．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【答案】(1)蓄水池的容积为 (2)排水时间t与排水速度Q成反比， (3)每小时排水量至少是 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据“容积排水速度时间”计算即可； （2）根据总容积V是定值可知排水时间t与排水速度Q成反比；根据“时间蓄水总量平均排水量”即可求出函数关系式； （3）根据和解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵某蓄水池的排水管每小时排水，小时可将满池水全部排空， ∴蓄水池的容积； （2）解：∵总容积V是定值， ∴排水时间t与排水速度Q成反比． 函数关系式为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴每小时排水量至少是． 13．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据待定系数法，求出反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 时，随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 14．在平面直角坐标系中 ，的顶点，反比例函数的图象过的中点． (1)求反比例函数表达式； (2)已知点关于点的对称点，试判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了中点坐标公式、反比例函数表达式的求解、关于点对称的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，通过这些知识来解决求反比例函数表达式以及判断点是否在反比例函数图象上的问题． （）先求中点的坐标，再代入反比例函数求出表达式； （）先根据点关于点对称求出点的坐标，再判断点是否在反比例函数图象上 【详解】（1）解：∵点， ∴的中点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数表达式为． （2）∵点关于点的对称点为， ∴点的坐标为， ∴当时，， 则在反比例函数的图象上． 15．在平面直角坐标系中，将按如图所示的方式放置，已知，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到． (1)直接写出D，F两点的坐标（用含m的代数式表示）． (2)若点D，F均落在反比例函数的图像上，求m的值及反比例函数的解析式． 【答案】(1)D，F两点的坐标分别为， (2)， 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，由平移方式确定点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据，，确定，，再根据平移方向的距离确定D，F两点的坐标； （2）根据“点D，F均落在反比例函数的图像上”，将D，F两点分别代入解析式中，得到关于，的方程组求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将先向右平移2个单位长度，再向上平移m（）个单位长度后得到， ∴点D，F两点的坐标分别为，． （2）∵点D，F均落在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为． 能力提升进阶练 16．关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 17．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，下列说法正确的是（   ） A．①是反比例函数的图象 B．②是反比例函数的图象 C．③的函数值比②的函数值大 D．随着的增大，的图象的位置相对于坐标原点越来越远 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵在三个反比例函数，，中，， ∴它们在轴上方的图象中，①是反比例函数的图象，②是反比例函数的图象，③是反比例函数的图象，则选项A和B均错误； 由函数图象可知，当自变量的值相同时，③的函数值比②的函数值大，则选项C错误； 对于反比例函数，当自变量的值相同时，随着的增大，其函数值的绝对值也越大，图象的位置相对于坐标原点越来越远，则选项D正确； 故选：D． 18．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：A、∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意． B、由题意可得点在反比例函数的图象上， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意． C、令，则， ∴， 即饮水机每经过，要重新从开始加热一次， 从8点至9点30分，经过的时间为，， 而水温加热到，需要的时间为， 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了， 令，则， 即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意． D、水温从升高到所需要的时间为， 令，则， 解得， ∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 19．如图，正比例函数的图象与反比例函数 的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4，当 时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质及两函数图象交点的应用，解题的关键是利用正比例函数和反比例函数的对称性确定两函数在第三象限的交点横坐标，再结合图象判断时的取值范围． 先根据正比例函数（）过一、三象限，反比例函数（）过一、三象限，可知两函数图象的交点关于原点对称；由第一象限交点A的横坐标为4，可得第三象限交点的横坐标为-4；再分象限观察图象，第一象限中当时，第三象限中当时，综合得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴正比例函数的图象过一、三象限，反比例函数的图象过一、三象限，且两函数图象的交点关于原点对称．   已知两函数在第一象限交于点A（横坐标为4），则第三象限的交点横坐标为．观察图象：在第一象限，当时，；在第三象限，当时，，故时的取值范围是或． 故选：D． 20．如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C 在第一象限，对角线轴，交y轴于点D．若矩形的面积是6，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，根据条件易证，利用面积比等于相似比平方可得，继而可求出k值． 【详解】解：∵矩形的面积是6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故选：D． 21．已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数，当时，图象分布在一、三象限，在每个分支中，y随x的增大而减小；当时，图象分布在二、四象限，在每个分支中，y随x的增大而增大．据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数，在时，y随x的增大而减小， 该反比例函数图象分布在第一象限，，解得：． 故答案为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 23．如图，双曲线经过的两顶点轴交轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键． 由题意可知，，利用的面积为，得到，解方程求得的值． 【详解】解：∵轴， 由题意可知，， ∵的面积为， ， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 24．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 根据图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴的解集为或， 故答案为：或． 25．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在对角线上的点处．若点在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知翻折特征和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 先过E作，垂足为点F，根据翻折可知，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可． 【详解】过E作，垂足为点F， 由已知条件可知，， ， 易知， ， 又， ， 则E点坐标为， 设这个反比例函数为， ∴ 则． 故答案为：． 26．已知直线（为常数，且）与双曲线（为常数，且）相交于，两点． (1)若点的坐标是，求点的坐标； (2)若点，的横坐标分别为，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质． （1）根据正比例函数和反比例函数的性质，求出点N的坐标． （2）利用正比例函数和反比例函数的交点性质列出方程，求解的值． 【详解】（1）解：直线与双曲线的交点，关于原点对称，已知点的坐标是， 点N的坐标为； （2）解：联立直线与反比例函数解析式， 得， 消去得：，， 点M横坐标为，代入得：， 点N横坐标为，代入得：， 联立得：， 解得：． 27．如图，直线与双曲线 相交于，B两点，与x轴相交于点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数表达式； (2)直接写出当时，关于x的不等式 的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由题意，； ∴； 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）联立，解得或， ∴； 由图象可知：的解集为． 28．【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1）①；；②见解析； （2）①右；1；1；0；②减小； （3）或 【分析】（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当时和当时，代入即可求得m，n的值； ②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可． （2）①当时，将其代入和中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解； ②根据函数图象得出答案即可； （3）联立方程组，解得或，根据函数图象，进而可求得解集． 【详解】（1）解：①由题意得：， 解得：， 自变量x的取值范围是； 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：；； ②连线如图： （2）①当时，代入得：，代入得：， ， 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的， 由于的对称中心的坐标是， 则的对称中心的坐标是； ②根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小； （3）联立， 整理得，， 解得：或， 根据函数图象可知：不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、用描点法画函数图象、自变量，熟练掌握反比例函数的图象及性质和作函数图象的基本步骤是解题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 30．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为边，在线段的左侧作正方形，点在反比例函数的图象上． (1)求点、点、点的坐标； (2)将正方形沿轴正方向平移，得到正方形． ①当正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上．试描述平移过程． ②当正方形的边与反比例函数只有一个交点时，设该交点为点．在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上；②存在，该菱形的面积为或或 【分析】（1）在中，当时，，当时，，解得，即可得出点、的坐标，从而得出，，过点作轴于，证明，得出，，求出，即可得出点的坐标； （2）①作轴于，则，证明，得出，，求出，待定系数法得出反比例函数的解析式为，由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上，分两种情况求解即可；②设正方形沿轴正方向平移个单位，则直线的解析式为，当时，联立可得，结合，求出（负值不符合题意，舍去），从而得出直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度，求出点的坐标为，，再结合菱形的性质，计算即可得解；当时，正方形的边与反比例函数有两个交点；当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点，此时再结合菱形的性质分两种情况：当时，则，当时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 如图，过点作轴于， ， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图，作轴于， ， 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵正方形沿轴正方向平移，得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， ∴由平移的性质可得，存在两种情况，点在反比例函数的图象上或者点在反比例函数的图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，则，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上， 当点在反比例函数的图象上时，令，，解得，故正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； 综上所述，正方形沿轴正方向平移或个单位得到正方形，正方形的一个顶点恰好落在该反比例函数图象上； ②存在， 由①可得，当点在反比例函数的图象上时，正方形沿轴正方向平移个单位得到正方形， 设正方形沿轴正方向平移个单位，此时直线的解析式为， 当时， ∵正方形的边与反比例函数只有一个交点， ∴联立可得：， ∴, 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为，正方形沿轴正方向平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即， 由解得， ∴， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当为对角线时，由菱形的性质可得，垂直平分， ∴点与点关于对称，此时， ∵，， ∴此时该菱形的面积为； 当为边时，此时，，即，不满足题意； 当时，正方形的边与反比例函数有两个交点， 当时，正方形的边与反比例函数只有一个交点， 在中，当时，，解得，即， ∵点在上， ∴设， ∵以点、、、为顶点的四边形是菱形， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴当时，（负值不符合题意，舍去）， 当时，，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，， 此时该菱形的面积为； 综上所述，在坐标平面内存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，该菱形的面积为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $