第二十六章 解直角三角形（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十六章 解直角三角形 知识点一、正弦、余弦的相关概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作cosA，即. 1.正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对其锐角而引入的，其大小与角的大小有关，与三角形的大小无关； 2.在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以（∠A为锐角）； 3.在初中，我们把锐角的正切、正弦和余弦统称为锐角三角函数. 知识点二、正弦、余弦值随锐角α的变化规律 1.正弦值随着锐角角度的增大而增大，余弦值随着锐角角度的增大而减小； 2.对于锐角，若，则 知识点三、正弦的相关概念 1. 的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边. 我们将∠A的对边BC与邻边AC的比称为∠A的 ，记作tanA，则. 2.tan A是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，tan A表示的是∠A的正切，不是tan与∠A的乘积. 3.若锐角是用一个字母表示的，“∠”符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略. 4.表示，可以写成，不能写成. 5.锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 知识点四、互余两角的三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90° （1） ：； （2） ：； （3） ：或； （4） ：. 知识点五、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 锐角 30° 45° 60° 1 1.为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三角形，利用定义进行推导： 2.通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°— 90°之间变化时： ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 知识点六、直角三角形的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系： 1.三边之间的关系：（ ）； 2.两个锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°（ ）； 3.边与角之间的关系：. 三角函数是连接边与角的桥梁. 知识点七、解直角三角形 通过直角三角形已知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做 . 图形 未知条件 解法步骤 斜边和一条直角边 a、c b、∠A、∠B 由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b b、c a、∠A、∠B 由求∠B，由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a 两条直角边 a、b c、∠A、∠B 由求c，由求∠A，由∠B＝90°－∠A求∠B 斜边和一锐角 ∠A、c ∠B、a、b 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求b ∠B、c ∠A、a、b 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求b 一条直角边和一个锐角 ∠A、a ∠B、b、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求b，由求c ∠A、b ∠B、a、c 由∠B＝90°－∠A求∠B，由求a，由求c ∠B、a ∠A、b、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求b，由求c ∠B、b ∠A、a、c 由∠A＝90°－∠B求∠A，由求a，由求c 知识点八、与仰角、俯角相关的应用 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 ，如下图所示： 知识点九、与“坡”相关的应用 坡角：坡面与水平面的夹角叫做 ，用字母表示； 坡度（坡比）定义：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做 ，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 知识点十、与方位角、方向角有关的应用 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做 ，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 一、正弦、余弦、正切 1.在直角三角形中求正弦、余弦、正切值 错误：对应边的比弄错 注意：牢记正弦、余弦、正切的对应边比情况 （25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为等腰三角形，，，则（　　） A． B． C． D． 2.在网格中求正弦、余弦、正切值 错误：不知道怎么添辅助线 注意：要能找到与题干中要求的角相等的角 （25-26九年级上·河北沧州·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接、，则的值为 ． 二、特殊角的三角函数值 1.特殊角的三角函数值总是记不住 错误：记不住30°，45°、60°角的三角函数值 注意：先画出对应的直角三角形，把三边的边比标好，再计算特殊角的三角函数值 （24-25九年级上·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 三、解直角三角形 1.解直角三角形的多解情况 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。 （25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，在射线上取点，使．若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 ． 四、解直角三角形的应用 1.仰角俯角问题 错误：仰角和俯角分不清楚，或者计算时出现错误 注意：正确认识仰角和俯角的概念，同时计算时要注意验算； （24-25九年级上·河北石家庄·期中）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和。甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，m，点与点相距189m（点在同一条直线上），在处测得塔尖顶点的仰角为，在处测得塔尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：．）    2.方位角问题 错误：方位角弄错，或者只是给了角的度数，但并不是在直角三角形中，需要添加辅助线； 注意：要会添加辅助线，注意题干中给的角度数，作合适的辅助线； （25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点出发，走不同路线探险，并约定在点处会合．甲从点出发先沿着正东方向行走到达点处，再沿着正北方向行走到达点；乙亦从点出发，沿着东北方向行走到点处，再由点处沿着南偏东方向行走到达点，与甲会合．    (1)求点到的距离； (2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是米，当甲在点处，乙恰好在点处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由． 3.坡度比问题 错误：坡度坡比概念混淆 注意：记住坡度坡比其实就相当于一个tan值 （2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 4.生活实际问题 错误：要符合生活实际，会忘记辅助线的添加； 注意：要作出正确的辅助线； （24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图是某款篮球架抽象后的示意图．已知于点，底座的长为米，斜拉支架米，臂展支架米，篮板高米，点在支架上，篮板底部支架，于点，支架与所成的角． (1)求竖直支架的长度； (2)求篮板底部点到地面的距离（结果保留位小数）．（参考数据：，，） 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）计算：（　　） A． B．1 C． D． 10．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 12．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）在中，则边的长为 ． 14．（25-26九年级上·河北·阶段练习）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为10，“边长正度值”为6，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于 ． 15．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 17．（24-25九年级上·河北·期末）计算下列各题： (1) (2)已知，，求的值．（提示：） 18．（2025九年级上·河北·专题练习）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离． 19．如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 20．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十六章解直角三角形 思维导图 正弦 余弦 锐角三角函数的定义 正切 30° 45° 特殊角的三角函数值 60° 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求 解直角三角形 直边，理所当然用正切 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一 角，函数关系要记牢： 解直角三角形 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜 边，用除还需正余弦. 仰角俯角问题 方位角问题 三角函数的实际应用 坡度坡比问题 生活实际问题 知识清单 知识点一、正弦、余弦的相关概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90° 1/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作SA,即sinA=∠A的对边 =0 斜边 锐角A的邻边与斜边的比叫做LA的余弦，记作cosA,即cosA= ∠A的邻边=b 斜边 1.正弦、余弦的概念是在直角三角形中针对其锐角而引入的，其大小与角的大小有关，与三角形的大小无 关 2.在直角三角形中，斜边大于直角边，且各边长均为正数，所以0<siA<1,0<cosA<1(∠A为锐 角)： 3.在初中，我们把锐角的正切、正弦和余弦统称为锐角三角函数， 知识点二、正弦、余弦值随锐角的变化规律 1.正弦值随着锐角角度的增大而增大，余弦值随着锐角角度的增大而减小： 2.对于锐角a,B,若a>3,则sina>sinB,cosa<cosB 知识点三、正弦的相关概念 1.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜 边 我们将LA的对边BC与邻边AC的比称为∠A的正切，记作tanA,则tanA= 2.tanA是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成tan·A,tanA表示的是∠A的正切，不是tan与 ∠A的乘积 3若锐角是用一个字母表示的，“∠"符号可以省略不写，若锐角是用三个字母或数字表示的，“∠”不能省略 4.(tanA)2表示tanA·tanA,可以写成tan2A,不能写成tanA 5锐角的正切的概念是在直角三角形中定义的，正切值表示的是锐角的对边与邻边的比值，它只是一个数值， 没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关 知识点四、互余两角的三角函数之间的关系 2/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90° (1)互余关系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB,cosA=sin(90°-∠A)=sinB: (2)平方关系：sin2A+cos2A=1: 1 (3)倒数送系：tanA·tan(90°一∠A)=1或tanA= tanB' (4)商数关系：tanA= sinA cosA' 知识点五、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 锐角a 30° 45 60° sina 1-2 V2 3 2 2 3 coSa 2 2 2 12 tana 3 3 V3 1.为了方便解题，这些特殊角的三角函数值是需要记下来的，当记忆不准确时，可结合含有特殊角的直角三 角形，利用定义进行推导： 45 2 60° 30 45o 3 2通过上述表格数据还可以进一步得到正切、正弦、余弦的增减性：当角度在0°一90°之间变化时 ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 3/31 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）： ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 知识点六、直角三角形的边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、a、b、c这五个元素之间存在着以下的关系： B 1.三边之间的关系：a2十b2=c2(勾股定理； 2.两个锐角间的关系：∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）； 8边与角之间的送系：sim4公cosA名tm4号 三角函数是连接边与角的桥梁， 知识点七、解直角三角形 通过直角三角形纪知的边、角去求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形 图形 未知条件 解法步骤 斜边和一 a、c b、∠A、∠B 由sinA=e 求∠A,由∠B=90°-∠A求 条直角边 ∠B.由b=V√c2-a2求b B b、c a、∠A、∠B 6 由sinB=6求∠B,由∠A=90°-∠B求 e ∠A,由a=Vc2-b2求a 两条直角 a、b C、∠A、∠B 边 由c=Va+F求c由tanA=号求 ∠A,由∠B=90°-∠A求∠B 斜边和一 ∠A、c ∠B、a、b 由∠B=90°-LA求LB,由sinA=a 锐角 4/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a, 由cosA=求b c LB、c ∠A、a、b 由∠A=90°-∠B求∠A,由cosB= c 求 a, 由sinB=2求b 一条直角 LA、a ∠B、b、c 由∠B=90°-∠A求∠B,由tanA= 边和一个 6关 锐角 b, 由sinA=g求c ∠A、b ∠B、a、c 由∠B=90°-∠A求LB,由tanA= 6米 b a. 由c0SA= 求c ∠B、a ∠A、b、c 由∠A=90°-∠B求∠A,由tanB= 求 a b,由cosB=a求c ∠B、b ∠A、a、c 由∠A=90°-∠B求∠A由tanB=名求 e a, 由sinB=求c c 知识点八、与仰角、俯角相关的应用 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角， 如下图所示： 5/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 视线 仰角 水平线 水平线 俯角 视线 知识点九、与“坡”相关的应用 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示； 坡度（坡比）定义：坡面的铅直高度h和水平距离1的比叫做坡度用字母表示，则i= =tana,如 图，坡度通常写成i=h:l的形式， i=h:l h 知识点十、与方位角、方向角有关的应用 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB, PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 北 D 30 60 西 东 245 809 459 B 南 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向 线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°特别如：东南 方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西 45° 6/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错总结 一、正弦、余弦、正切 1在直角三角形中求正弦、余弦、正切值 错误：对应边的比弄错 注意：牢记正弦、余弦、正切的对应边比情况 (25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习)如图，ABC为等腰三角形，AB=AC=5,BC=6,则sinA=() A B29 c 0.4 【答案】C 【分析本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键 过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,根据勾股定理求出AD的长，再通过三角形面积公 式进行表示求解即可 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E, D AB=AC=5, .AD是BC边上的中线 :BD=BC=3. 在Rt△ABD中，AD=√AB2-BD2=V52-32=4 7/31 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 SAABC=5AD.BC=5×4×6=12 2 .S.ABC= AC·BE, BE=24 24 sin BAC= BE_ 5_24 AB 525 故选C 2.在网格中求正弦、余弦、正切值 错误：不知道怎么添辅助线 注意：要能找到与题干中要求的角相等的角 (25-26九年级上河北沧州阶段练习)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都 在格点上，连接AB、AC,则sin ZBAC的值为 B 储割6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正弦函数的定义，利用勾股定理及其逆定理，求得ABC是直 角三角形，且∠ACB=90°，再利用正弦函数的定义求解即可. 【详解】解：如图，连接BC, A 根据勾股定理得：AB=V32+42=5,AC=√42+22=2√5，BC=V2+22=√5， AC2+BC2=AB2, 8/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 六在R△A8BC中，sim∠BAC=BC-5 AB 5 故答案为： 5 5 二、特殊角的三角函数值 1.特殊角的三角函数值总是记不住 错误：记不住30°，45°、60°角的三角函数值 注意：先画出对应的直角三角形，把三边的边比标好，再计算特殊角的三角函数值 (24-25九年级上河北保定期末)计算： (1)3tan30°-tan245°+2sin60°； (2(sin30)xsin60°-cos45）-V1-tan60y 【答案】(1①)25-1 (2)-√2+1 【分析】(1)分别将特殊角的三角函数值代入，然后合并： (2)分别将特殊角的三角函数值代入然后进行负整数指数幂求解合并即可· 【详解11原式-3x5-P+2x5 =5-1+√5 =2V5-1; (2)原式 }可 =5-√2-5+1 =-2+1 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值以及二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简 以及特殊角的三角函数值 9/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解直角三角形 1.解直角三角形的多解情况 解题技巧 1.分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b,需考虑b 是直角边或斜边)，或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2.结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1.漏解：忽略已知条件的多种可能性，如己知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情 况。 2.错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。 (25-26九年级上河北唐山阶段练习)如图，在ABC中，AB=11,AC=3V5,tan∠BAC=2,点D在 BC边上，在射线BC上取点E,使LBAC=∠DAE.若ADE是以DE为腰的等腰三角形，则线段BD的长 为 D C 【答案】5.5或3.85 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关 键 过点A作AN⊥BE于点N,过点B作BM⊥AC于点M,在Rt△ABM中，根据勾股定理以及 t阳n∠BAC=BM2可得AM=5,Bi=225 ,从而得到CM=AC-4M=4 ,BC=10,再由 AM 5 5 S.ABC= 8CxN号4C×BM,可得N-3从面得到BN=aB-N-告 然后分两种情况讨论 当AE=DE时，当AD=DE时，即可求解 【详解】解：如图，过点A作AN⊥BE于点N,过点B作BM⊥AC于点M D NC 10/31