专题03 解直角三角形的应用（9大题型）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题03 解直角三角形的应用（9大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、网格中解直角三角形 1 题型二、坐标系中解直角三角形 2 题型三、四边形中解直角三角形 3 题型四、函数中解直角三角形 5 题型五、直角三角形应用之仰俯角问题 6 题型六、直角三角形应用之方位角问题 8 题型七、直角三角形应用之坡度坡比问题 8 题型八、直角三角形应用之生活实际问题 8 题型九、直角三角形应用之其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、网格中解直角三角形 1．【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务． (1)在图1中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在线段上找一点，使； (2)在图2中，在线段上找一点，使，垂足为点；并在线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，解直角三角形，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用旋转变换的性质作出线段，取格点M，N，连接交于点E，连接即可； （2）取格点J，连接交于点H，线段即为所求，取格点P，Q，连接交于点F，连接即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：所作图形如图所示： ． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的定点叫做格点，的三个顶点都是格点，中顶点D在网格线上，E、F都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，将线段BC绕着点C逆时针旋转，画出旋转后的线段CM； (2)在（1）的基础上，在线段AC上找一点N，使得； (3)在图2中，画线段FP交DE于点P，使得FP平分的面积； (4)在（3）的基础上，在线段DE上找一点G，使得 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 (4)图形见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查作图-应用设计作图，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． （1）利用旋转变换的性质作出线段即可； （2）利用8字形相似比，可确定； （3）作DE的中点P即可作图； （4）如图4，构建，确定格点C，连接交于点G，则点G即为所求． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求； ； （2）解：如图2，取格点P，D，连接BP，点D在BP上，BP交CM于点Q，交AC于点N，则点N即为所求； 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3，取格点A，M，N，满足是的垂直平分线，与交于点P，连接，则线段即为所求； 理由：∵， ∴， ∴是的中点， ∴； （4）解：如图4，连接并延长交格线于B，取格点C，连接交于G，连接，则点G即为所求； 理由：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C是格点，B是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图1中，先画平行四边形；再画出的中点 (2)在图2中，先在BC上画点M，使再在上画点N，使得最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）取的中点O，连接延长交网格线于点D，连接即可，利用三角形的三条中线交于同一点，作出点E即可； （2）取格点J，K，连接，延长交于点M，取格点G，连接并延长，交格线与点，则点与点M关于对称，连接交于点N，连接MN即可． 【详解】（1）如图，四边形，点E即为所求； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边形是平行四边形． 如图，取格点G，H， ∵ ∴， ∴点F是的中点， ∵点O是中点， ∴点E是的中点； （2）如图2中，点M，点N即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可求，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点M关于对称． 【点睛】本题考查作图－应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理及其逆定理，轴对称－最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 5．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； (3)在图③中，找一点C，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，根据三角形全等找到另一个腰的中点，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和作法，全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意作出符合的等腰直角三角形是解题的关键． 6．【阅读理解】如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 (1)如图1，，求证：点E是四边形的边上的相似点； (2)如图2，在矩形ABCD中，四点均在正方形网格的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的强相似点E，并说明理由； (3)如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图，理由见解析 (3) 【分析】对于（1），根据三角形的外角的性质可得，再结合，再证明，结论可证； 对于（2），根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时.根据矩形的性质得 ，再根据勾股定理的逆定理说明为直角三角形， 然后证明，接下来证明，则答案可得；同理可解答第二种情况； 对于（3），根据强相似点定义得出，可得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据三角函数值得出，即可得出答案. 【详解】（1）证明： ∵， ∴. ∵， ∴， ∴点E是四边形的边上的相似点； （2）解：两种情况：点E是靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， 即为直角三角形，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴点E是矩形的边上的强相似点； 点E靠近点B，边上的强相似点，如图所示； 同理可得， ∴点E是矩形的边上的强相似点. （3）解：∵点E是四边形的边上的一个强相似点， ∴， ∴. 根据折叠的得, ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，特殊角的三角函数值等，理解新定义与相似三角形之间的关系是解题的关键. 题型二、坐标系中解直角三角形 7．如图，若矩形的顶点O与坐标系的原点重合，且．若将矩形绕原点旋转一定角度，使A点恰好落在边上的处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形、解直角三角形以及勾股定理等知识；过点作，由旋转的性质得：，，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，， 即点的横坐标为，点的纵坐标为，即可得出结果． 【详解】解：过点作， ∵四边形是矩形，且， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 即点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴的坐标为， 故选：D． 8．边长为4的正方形AOBC在坐标系中的位置如图所示，若OB边保持不动，推动AOBC向右倾斜30°得四边形DOBE，则点E的坐标为（　　） A．（5，4） B．（6，2） C．（6，3） D．（4+2，5） 【答案】B 【分析】由正方形的性质得出OA＝OB＝BC＝4，进而求得∠DOB＝60°，BE＝BC＝4，根据平行线的性质得出∠EBF＝∠DOB＝60°，解直角三角形求得BF＝2，EF＝2，即可求得E的坐标． 【详解】解：边长为4的正方形AOBC中，OA＝OB＝BC＝4， ∵∠AOD＝30°， ∴∠DOB＝60°，BE＝BC＝4， ∵OD∥BE， ∴∠EBF＝∠DOB＝60°， ∴BF＝BF＝2，EF＝BF＝2， ∴OF＝4+2＝6， ∴E（6，2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题得关键 9．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的横坐标和纵坐标，记，若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，点，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，利用割补法求图像面积是解题的关键． 过点N作轴交y轴于点A，点M作轴交x轴于点D，过M点作轴于点B，过A点作轴于点C，连接，然后根据+求出面积即可． 【详解】解：过点N作轴交y轴于点A，点M作轴交x轴于点D，过M点作轴于点B，过A点作轴于点C，连接， 则， ∵， ∴ ∴，， ∴，，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴+， 故答案为：． 10．先将一矩形置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边，分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若，，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质求解． 【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上， ∴图1中B坐标为（4，0）， 在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2，BE=2， 在图2中B点的坐标为（2，2）；    易知图1中点C的坐标为（4，3）， 在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=，OM=3÷cos30°=2， 那么CM=4-，易知∠NCM=30°， ∴MN=CM•sin30°=，CN=CM•cos30°=， 则ON=OM+MN=， ∴图2中C点的坐标为（，）． 【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解． 11．【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象记作直线，与轴的夹角为． （1）若，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇利用被动声呐发现敌方潜艇正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇测得潜艇在其北偏东方向，2点05分，测得潜艇在其北偏东方向，经过解算，潜艇将在2点10分航行至潜艇的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、求一次函数解析式、一次函数k的几何意义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）在l任取一点A，设，求出A点坐标，进而求解即可； （2）时，在直线l上取点，过点P作轴于点H，则，，在中，求即可得证； （3）根据题意建立坐标系，利用（2）中结论得到解析式，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图，在l上任取一点A，过A作轴于点B， 设， ∵， ∴， ∴， 将点A代入得，， 解得， 故答案为：； （2）证明：在上任取一点，过点做轴．如图， 设， ， ，． 在中，． （3）如图2，以为坐标原点，以正东方向为轴正方向，以正北方向为轴正方向，建立坐标系， 根据题意，可设，， ， 把，，代入， 解得． 令，， ， ， 把，代入解得：． ，． 设的解析式为 解之得 航线图象（直线）的函数表达式为． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A． (1)求的值； (2)将点B绕原点逆时针方向旋转后记作点C，求点C的坐标； (3)将平移得到，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点、的坐标． 【答案】(1) (2)，图见解析 (3)图见解析，、 【分析】（1）直接利用三角函数求解即可； （2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标； （3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵点，轴于A， ∴， ∴． （2）如图，点C即为所求； 由旋转可知：，， ∴点C的坐标是； （3）如图所示即为所求， ∵点，的坐标为， ∴平移方式为向左平移2个单位，然后向下平移4个单位长度， ∴、． 【点睛】题目主要考查正切函数的定义，平移变换及旋转变换，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 题型三、四边形中解直角三角形 13．如图，在中，于点，是上一点，且，点为对角线中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ∵O是中点， ∴ ， ． 14．（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接． ①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． ②进一步探究发现，当点与点重合时，______． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接．当时 ①求证： ②若时，求的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． ． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）①证明：如图①，延长交于点，由对称可知，，根据正方形的性质可得，证明；②当点与点重合时，由对称可知，根据正方形的性质即可求出． （2）①延长交于点，由对称可知，证出，结合矩形的性质即可证明相似． ②由对称可知，点是的中点，，根据相似三角形的性质即可求出． （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，①当点在上时，延长交于点，根据四边形为菱形的性质求出即可；②当点在上时，延长交于点，证明和， 再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）①证明：如图1，延长交于点， ∵四边形是正方形， ， ∵点和点关于对称， ∴， ， ， 在和中， ， ． ②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知， ∵四边形是正方形， ， ， 由①得到， ， 故答案为：． （2）①证明：如图2，延长交于点， 在矩形中，， ∵点和点关于对称， ∴， ， ， ∵， ． AI ②解：在矩形中，， 由对称可知，点是的中点，， ， ， ∴， ∴点是的中点， ， ， 由（2）①得，， ， ， ， ， ∵， ∴， ． （3）解：以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点， ①如图3，当点在上时，延长交于点， ∵， ∴垂直平分， 同（1）①可得，， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图4，当点在上时，延长交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键正确理解题意，作出相应的辅助线构造相似三角形或者全等三角形求解． 15．如图1，四边形是平行四边形，为对角线，，过点D作的垂线，分别交直线，于E，F，连接． (1)若，求的度数(用含的式子表示)； (2)过点B作的垂线，分别交直线，于点M，N． ①依题意补全图形； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析 ② 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质、三角函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）①根据题意作图即可； ②过点作交于点，证明为等腰三角形，得到，证明≌， 得到，设，，那么，分别表示出、、，进而探究出数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ②，证明如下： 过点作交于点， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴； 在和中， ， ∴≌， ∴； 设，，那么， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：． 16．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求CE的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)CE的长为5，的值为3 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定、勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）通过证明，利用全等三角形对应边相等得出； （2）作于点，由，求得，接着证明四边形是平行四边形，得到的长度，则，再证明，则，求得，由，求得． 【详解】（1）证明：在和中， ， 。 ． （2）作于点，则 ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， CE的长为5，的值为3． 17．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，则，，平分，所以，，，从而可证，所以，证明四边形 是平行四边形，又，故有四边形是矩形； （）由（）知四边形是矩形，则，由，设，则，证明， 所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）知四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， ∵平分交于点，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 18．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 题型四、函数中解直角三角形 19．在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 【答案】(1)， (2)与 【分析】本题考查一次函数性质、新定义理解运用、等边三角形性质及三角形面积公式．解题关键是准确理解“对称新函数”定义，结合几何图形性质建立方程求解函数参数． （1）通过理解新的定义就能求出k和a的值； （2）首先需要通过画图来明确大致图形，如图可知从点C到原点O的线段即为等边三角形的高，因为是等边三角形，易知，所以，由此通过面积列式即可求出，再求出与即可知道点A与点B的坐标，继而求出一次函数的解析式． 【详解】（1）解：因为一次函数与互为“对称新函数”， 所以，； 故答案为：，； （2）如图所示，设直线的函数表达式为， 所以直线CB的函数表达式为． 所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 解得． 所以点A的坐标为，点C坐标为， 代入， ， 解得， 一次函数表达式为， 根据定义，另一个一次函数的表达式为． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．        (1)求直线的解析式； (2)设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当最小时的坐标为，的值为 (3)， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据点的坐标得出，根据题意得出当时，的最小值为：，即可求解； （3）根据点在轴上，点在轴的右侧，设，根据勾股定理求得，分为边时，为对角线两种情况，根据菱形的性质求得点的坐标，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标为，点的坐标为，代入得， 解得： ∴ （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． ∴ 当时，等于号成立， 又∵点的坐标为， ∴，此时的横坐标为 ∴的纵坐标为 ∴当最小时的坐标为，的值为 （3）解：设， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ 设， 当为边时， ∴ ∴或 ∴或 ∴或 ∴ 当为对角线时， ∴ 解得： ∴， ∴， 解得： ∴ 综上所述，， 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 【答案】(1)， (2)为或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求得直线表达式即可； （2）先求得，，推出．设，由三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）过作轴于，过作轴于，过作轴于．证明，推出，，设，推出．证明，得到，据此列式求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴． 设直线表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∴， 令，则 解得 故 由题意得．设，． ∴，即． 解得． ． ． ． 即． 解得． ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：过作轴于，过作轴于，过作轴于． ∴四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴． ∴，， 设（）， ∴，，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ， 由勾股定理． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； （2）证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 23．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 24．如图，一次函数与正比例函数相交于第一象限的点A，与x轴相交于点B，已知k是方程的一个解． (1)求点A的坐标； (2)求的值； (3)直线上是否存在一点C，使得？若存在，请求出点C的．坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先解方程可得，再联立两个一次函数的解析式求解A的坐标即可； （2）如图，过作于，求解，，可得，可得：，再利用正弦的含义求解即可； （3）如图，过作于，过作于，当，则，设，则，当时，Q满足条件，过作于，过作轴于，当，则，设，则，再利用数形结合的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵k是方程的一个解． ∴， 解得：或， ∵正比例函数过一，三象限， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）如图，过作于， ∵为， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． （3）如图，过作于，过作于， 当，则，设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，Q满足条件，过作于，过作轴于， 当，则，设，则， ∴， 由，则， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，求解函数解析式，交点坐标，锐角三角函数的应用，等面积法的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型五、直角三角形应用之仰俯角问题 25．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】开封铁塔的高度为． 【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用． 分别在不同直角三角形中求和的正切值表达式，进而求出，的长度表达式，列方程求解即可． 【详解】解：设塔的高度为米， 由题得， 即， ， 即， ， ， 即， 解得， 开封铁塔的高度为． 26．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 27．如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 28．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形． 首先证明，然后再在直角中，利用三角函数求得的长，则即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∴． 29．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 【答案】(1)小亮与塔底中心的距离约为米； (2)文昌阁的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，一元一次方程的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）根据题意可得米，，米，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （） 根据已知易得，再利用（）的结论从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得米，，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴小亮与塔底中心的距离约为米； （2）解：∵米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， ∴文昌阁的高度约为米． 30．某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解； （2）通过解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得米，，，， ∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴平方米． 答：灯牌的面积为平方米． （2）解：∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴两侧加固的铝合金框架总共用料米． 题型六、直角三角形应用之方位角问题 31．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 32．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 33．淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，方位角，解题的关键是熟练掌握方位角定义和三角形函数定义． （1）根据题意画出图形即可； （2）连接，过点作，交的延长线于点，则，根据三角形函数定义解直角三角形，结合勾股定理求出结果即可； （3）根据时间路程速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：画出示意图如图1． （2）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于点，则， ，， ，， 体育馆到淇淇家的直线距离约为． （3）解：淇淇全程所用的时长为： ． 34．三个村庄A，B，C之间的位置如图所示．B在A的正南方向上，且在C的西南方向上；C在A的南偏东方向上，与A相距． (1)求A，B两个村庄之间的距离（结果保留根号）； (2)嘉嘉和琪琪从村庄A同时出发骑行到村庄B，两人途中均保持匀速行驶．嘉嘉的骑行路线为折线，速度为；琪琪的骑行路线为直线，速度为．请通过计算推断谁先到达． 【答案】(1) (2)琪琪先到达 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，在中求出，在中求出，即可得到结果； （2）分别计算两人所走过的路程，结合两人的速度，得到所用的时间，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， 依题意， ， ∴在中， ， ∵在中， ， ， ， 答：，两个村庄之间的距离； （2）解：， ， 嘉嘉从速度为 ∴嘉嘉所用时间为， ，琪琪速度为， ∴琪琪所用的时间为， ∵， ∴琪琪先到达． 35．如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度约为千米 (2)甲选择的路线较近 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，由题意得，，则，先解求出，再解即可求解； （2）过点作于，分别解，，，求出，然后计算与进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于， 由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点作于， 在中，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米， 千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 36．在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，根据锐角三角函数，得到，，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， 在中，， ，， 在中，， ， ， 米， ， 米， 答：湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离约为米． 题型七、直角三角形应用之坡度坡比问题 37．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 38．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 39．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 40．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 41．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】203米 【详解】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，，再根据已知易得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【分析】解：如图： 由题意得：，， ∴，， ∵梯坎的坡度， ∴ ∴设米，则米， 在中，， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为203米． 42．如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)坡角________度，________度； (2)求点到地面的距离； (3)求该建筑物的高度． 【答案】(1)30，30 (2)点到地面的距离为5米 (3)该建筑物的高度为15米 【分析】（1）根据坡度为，得到，过点D作于点F，根据三角形的内角和定理得到结论； （2）过点作，交的延长线于点E，根据三角函数的定义得到的长度； （3）根据题意及（1）中的结论，可得，再根据，利用正切值求解三角形，得出，在中，利用正弦值求即可求出的长度． 【详解】（1）解：坡度为， ， ， 过点D作于点F， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则（米）， 即点到地面的距离为5米； （3）解：，，． 又，（米）， （米）． 在中，（米）， 即该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 题型八、直角三角形应用之生活实际问题 43．如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明出四边形是矩形，然后在直角三角形中利用三角函数得到即可； （2）过点作，垂足为，首先得到，则，然后在中利用三角形函数求出，则然后利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ， ， ， 在中，（厘米）， 的长度约为40厘米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， （厘米）， 在中，， ， ， ， 此时悬臂与连杆的夹角的度数约为 44．图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)最远端点到墙壁的距离为 (2)的长为 【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、、共线，，最后计算即可； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，，都是等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即点、、、共线， ∵， ∴， ∴， 答：最远端点到墙壁的距离为； （2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等， 当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点到墙壁的距离为， 此时，， ∵， ∴， 连接，过点作于点， ∵ ∴，， 在中，， 当在点处时，此时， 过点作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 45．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 46．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 47．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 48．2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 题型九、直角三角形应用之其他问题 49．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 50．综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由相似三角形的判定和性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在以为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆，且， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当在线段上时，由（2）知， ∵， ∴在含的中，， ∵为斜边的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 由（2）可证：， ∴ ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证，， ∴， ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时 ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 51．【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 【答案】(1)米 (2)三角形全等 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了三角形全等. 故答案为：三角形全等. 52．2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，用三角函数解即可； （2）过点H作交的延长线于点N，交于点M，得矩形，利用三角函数解，，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 在中， ，， ， 即机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离为； （2）解：如图，过点H作交的延长线于点N，交于点M，   ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ， 即点A到水平面的距离为． 53．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 54．九年级数学兴趣小组想知道河对岸的两棵古树A、B之间的距离，小明同学制定了如下方案，请你帮助小明解决法案中的问题． 方案名称 测量河对岸的古树、之间的距离 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，在河的对岸有两棵古树、，在这岸与平行的直线上取两点、． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量，两点间的距离，测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得，． 解决问题 河对岸的两棵古树、之间的距离是多少？（结果精确到） （参考数据：，，，，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，通过做垂线构造直角三角形，并掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，设米，首先在中，由直角三角形中的正切函数，可求得，然后在中，由等量关系，建立方程，可解得，接着在中，可求得，最后由即可得解． 【详解】如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设米， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， 在中，， ， ， ， ， ，即两棵古树、之间的距离大约是米． 1．（2025·河北邢台·二模）某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据坡度的概念，正切和正弦的定义计算，判断即可． 【详解】解：A，斜坡的坡角是，而不是坡度是，本选项说法错误，不符合题意； B，∵， ∴， ∴斜坡的坡度是，本选项说法正确，符合题意； C，过点作于， ∵， ∴， 在中，， ∴，本选项说法错误，不符合题意； D，，本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角，已知测倾器的高度为米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆的高度为（    ） A．1.6米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了矩形的判定和性质． 【详解】解：延长，交于点，    由题意得：，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， 设米， ∴， 在R中，， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北衡水·期末）如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点O作，垂足为C，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点O作，垂足为C， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别解和，求出和，进而即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·河北邯郸·模拟预测）磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为 ．（结果精确到．参考数据：） 【答案】9.2 【分析】本题考查正多边形的性质、解直角三角形的应用．先根据正多边形的性质求得正五边形的每个内角度数，如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C，则有，，，再求得，利用锐角三角函数分别求，，进而可求解． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为， 如图，连接，．设与正五边形的边的交点为C， 则，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.2． 7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为 米．（精确到米，参考数据：；；） 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 根据题意求出，根据平行线的性质求得，过点A作于点F，解直角三角形求得，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 如图，过点A作于点F， 在中，（米）， 踏板的厚度为米， 扶手与踏板之间的距离为（米）． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上．若，，则河流的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键， 在中，利用可得，然后在等腰直角三角形中，利用即可求解； 【详解】解：依题意，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； 故答案为： 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 10．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 12．（2025·河北·一模）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．    (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． 【答案】(1)该介质的折射率为 (2)的长为 【分析】（1）先求出，再根据介质的“折射率”定义计算即可； （2）根据（1）中折射率分别求出，，再求出，，根据即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 即该介质的折射率为； （2）解：∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ∵，折射率为， ∴， ， ， ， 设， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形的相关计算． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形的应用（9大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、网格中解直角三角形 1 题型二、坐标系中解直角三角形 2 题型三、四边形中解直角三角形 3 题型四、函数中解直角三角形 5 题型五、直角三角形应用之仰俯角问题 6 题型六、直角三角形应用之方位角问题 8 题型七、直角三角形应用之坡度坡比问题 8 题型八、直角三角形应用之生活实际问题 8 题型九、直角三角形应用之其他问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、网格中解直角三角形 1．【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务． (1)在图1中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在线段上找一点，使； (2)在图2中，在线段上找一点，使，垂足为点；并在线段上找一点，使． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的定点叫做格点，的三个顶点都是格点，中顶点D在网格线上，E、F都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，将线段BC绕着点C逆时针旋转，画出旋转后的线段CM； (2)在（1）的基础上，在线段AC上找一点N，使得； (3)在图2中，画线段FP交DE于点P，使得FP平分的面积； (4)在（3）的基础上，在线段DE上找一点G，使得 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C是格点，B是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图1中，先画平行四边形；再画出的中点 (2)在图2中，先在BC上画点M，使再在上画点N，使得最小． 5．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； (3)在图③中，找一点C，连接，使． 6．【阅读理解】如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 (1)如图1，，求证：点E是四边形的边上的相似点； (2)如图2，在矩形ABCD中，四点均在正方形网格的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的强相似点E，并说明理由； (3)如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 题型二、坐标系中解直角三角形 7．如图，若矩形的顶点O与坐标系的原点重合，且．若将矩形绕原点旋转一定角度，使A点恰好落在边上的处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．边长为4的正方形AOBC在坐标系中的位置如图所示，若OB边保持不动，推动AOBC向右倾斜30°得四边形DOBE，则点E的坐标为（　　） A．（5，4） B．（6，2） C．（6，3） D．（4+2，5） 9．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的横坐标和纵坐标，记，若斜坐标系中坐标原点为O，x轴正方向和y轴正方向的夹角为，点，，则的面积为 ． 10．先将一矩形置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边，分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若，，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．    11．【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象记作直线，与轴的夹角为． （1）若，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇利用被动声呐发现敌方潜艇正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇测得潜艇在其北偏东方向，2点05分，测得潜艇在其北偏东方向，经过解算，潜艇将在2点10分航行至潜艇的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A． (1)求的值； (2)将点B绕原点逆时针方向旋转后记作点C，求点C的坐标； (3)将平移得到，点A的对应点是，点B的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点、的坐标． 题型三、四边形中解直角三角形 13．如图，在中，于点，是上一点，且，点为对角线中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 14．（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接． ①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． ②进一步探究发现，当点与点重合时，______． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接．当时 ①求证： ②若时，求的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形为菱形，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． ． 15．如图1，四边形是平行四边形，为对角线，，过点D作的垂线，分别交直线，于E，F，连接． (1)若，求的度数(用含的式子表示)； (2)过点B作的垂线，分别交直线，于点M，N． ①依题意补全图形； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 16．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求CE的长及的值． 17．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 题型四、函数中解直角三角形 19．在学习一次函数的图象时，课本“合作学习”中提出了一个问题如下：“观察图中各个一次函数的图象，你发现了什么规律？”． 小姜发现，函数“”的图象与“”的图象关于y轴对称，如图所示．小姜观察的很仔细，我们认为：一次函数与的函数图象关于y轴对称，且他们相交于y轴上的点，我们称这样的两个一次函数互为“对称新函数”，理解定义并回答问题： (1)已知一次函数与互为“对称新函数”，那么 ； ． (2)互为“对称新函数”的两个一次函数分别交x轴于点A，点B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，若是面积为的等边三角形，求这对一次函数的解析式． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒．        (1)求直线的解析式； (2)设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 23．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 24．如图，一次函数与正比例函数相交于第一象限的点A，与x轴相交于点B，已知k是方程的一个解． (1)求点A的坐标； (2)求的值； (3)直线上是否存在一点C，使得？若存在，请求出点C的．坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、直角三角形应用之仰俯角问题 25．铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 26．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 27．如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 28．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 29．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 30．某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 题型六、直角三角形应用之方位角问题 31．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 32．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 33．淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 34．三个村庄A，B，C之间的位置如图所示．B在A的正南方向上，且在C的西南方向上；C在A的南偏东方向上，与A相距． (1)求A，B两个村庄之间的距离（结果保留根号）； (2)嘉嘉和琪琪从村庄A同时出发骑行到村庄B，两人途中均保持匀速行驶．嘉嘉的骑行路线为折线，速度为；琪琪的骑行路线为直线，速度为．请通过计算推断谁先到达． 35．如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 36．在综合实践课上，兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 实践报告 活动课题 测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向； 【步骤二】从凉亭处沿湖岸向东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）； 解决问题 根据以上数据计算湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据：，） 题型七、直角三角形应用之坡度坡比问题 37．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 38．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 39．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 40．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 41．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 42．如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)坡角________度，________度； (2)求点到地面的距离； (3)求该建筑物的高度． 题型八、直角三角形应用之生活实际问题 43．如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 44．图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）． (1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离； (2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）． 45．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 46．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 47．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 48．2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 题型九、直角三角形应用之其他问题 49．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 50．综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 51．【实践课题】如图①，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A、B两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到米，，．画出示意图（如图②）． (1)【问题解决】计算、两点之间的距离（参考数据：，，，，）． (2)【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图③，选择合适的点、、，使得、、三点在同一条直线上，且，，当、、三点在同一条直线上时，只需测量即可． 乙小组的方案用到了__________（填“解直角三角形”或“三角形全等”）． 52．2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 53．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 54．九年级数学兴趣小组想知道河对岸的两棵古树A、B之间的距离，小明同学制定了如下方案，请你帮助小明解决法案中的问题． 方案名称 测量河对岸的古树、之间的距离 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，在河的对岸有两棵古树、，在这岸与平行的直线上取两点、． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量，两点间的距离，测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得，． 解决问题 河对岸的两棵古树、之间的距离是多少？（结果精确到） （参考数据：，，，，，，，，） 1．（2025·河北邢台·二模）某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角，已知测倾器的高度为米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆的高度为（    ） A．1.6米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25九年级上·河北衡水·期末）如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 ． 6．（2025·河北邯郸·模拟预测）磁力片是一种益智玩具，它能够拓展思维能力，激发想象力．如图是一个同学用10个大小相同的正五边形磁力片所拼成的图形的俯视图（正五边形磁力片两两顶点相连，围成一圈）．若磁力片的边长为，则中间围成的正多边形的中心O与磁力片最外侧的顶点A之间的距离为 ．（结果精确到．参考数据：） 7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为 米．（精确到米，参考数据：；；） 8．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上．若，，则河流的宽度为 ． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 10．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 11．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 12．（2025·河北·一模）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”，它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．    (1)若光从真空射入某介质，入射角，折射角为，且，求该介质的折射率； (2)如图，现有一块与（1）中折射率相同的长方体玻璃砖，矩形是该长方体的一个截面，若光线经真空从矩形的点A处射入，入射角，其折射光线恰好从的中点O处射出．若改变入射角度，使入射角，其折射光线恰好从边上的点处射出．已知，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $