第二十七章 反比例函数（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十七章 反比例函数 知识点一、反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为 . 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其 . 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为 ，它有两个分支，这两个分支分别位于 、 或 、 ，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点二、反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 知识点三、反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是 ，也是 ，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 知识点四、反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点五、一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由 来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点六、反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 一、反比例函数 1.根据反比例函数的定义求参数 错误：忽略反比例函数的定义，参数范围求错 注意：千万不能忽略k≠0 （24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 二、反比例函数的图象与性质 1.已知反比例函数分布的象限求参数范围 错误：（1）混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 （2）忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 （3）增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 注意：（1）对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。 （2）验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 （3）结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 （24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)如果正比例函数的图像与上述函数的图像没有公共点，那么的取值范围是什么？ (2)如果函数图像上三点的坐标分别是、、，且有，试判断、、的大小． 2.根据反比例函数的增减性求参数 错误：（1）忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。 （2）混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。 （3） 漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 注意：（1）锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 （2）符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。 （3）双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 （24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知反比例函数（k为常数）． (1)若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； (2)若时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 3.反比例函数的k值意义 错误：不会求反比例函数k值的技巧 注意：（1）核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 （2）解题步骤： - 找：找到双曲线上的点P(x, y) - 作：过P作x轴、y轴的垂线 - 算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解 （3）复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。 （24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 三、反比例函数的实际问题 1.反比例函数的实际应用 错误：忘记反比例函数在实际问题时，要符合具体情境 注意：结合具体生活情境，对求取的范围要进行验证 （24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 2.反比例函数与几何综合 错误：反比例函数与几何问题，要注意几何图形的性质，没有结合反比例函数的性质一起思考 注意：将反比例函数的性质与几何图形的性质结合起来思考； （24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 3.反比例函数与一次函数综合 错误：反比例函数与一次函数的关系，不会找它们的交点， 注意：分析反比例函数和一次函数的关系，先找到它们的交点，然后可以得到大小关系； （24-25九年级上·河北·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知两个变量A与B是反比例函数关系，根据下表判断a和b的大小关系是（   ） A 6 a 5 b B 50 55 60 65 A． B． C． D．无法判断 2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 7．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为 ． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，反比例函数的图象被遮挡了一部分，已知点M，N在格点上，则k= ． 9．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1） ； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为 10．（24-25九年级上·河北·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为 ． 11．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，点的坐标是，过点作轴的平行线交轴于点A，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连接．已知．    (1)求的值； (2)求的面积． 14．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 知识点一、反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点二、反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 知识点三、反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 知识点四、反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点五、一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点六、反比例函数的实际问题 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 一、反比例函数 1.根据反比例函数的定义求参数 错误：忽略反比例函数的定义，参数范围求错 注意：千万不能忽略k≠0 （24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 【答案】当时，该函数为反比例函数． 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义计算即可． 【详解】解：函数为反比例函数， ，且，解得． 故当时，该函数为反比例函数． 二、反比例函数的图象与性质 1.已知反比例函数分布的象限求参数范围 错误：（1）混淆k的符号与象限的关系：误将“k>0时图象在一、三象限”记反，导致参数符号判断错误。 （2）忽略“k≠0”前提：求范围时只考虑象限对应的k符号，漏了k≠0的基本限制。 （3）增减性与象限绑定错误：误将不同象限内的增减性当成整个定义域的性质，导致参数分析偏差。 注意：（1）对应象限定k号：根据图象所在象限，直接确定k的正负（一、三象限→k>0；二、四象限→k<0）。 （2）验证k的非零性：结合定义，确保求出的参数使k≠0。 （3）结合增减性细化：若涉及增减性，需明确“同一象限内y随x的变化”，再对应k的符号。 （24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)如果正比例函数的图像与上述函数的图像没有公共点，那么的取值范围是什么？ (2)如果函数图像上三点的坐标分别是、、，且有，试判断、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式及比较函数值的大小；需注意的知识点为：若反比例函数的比例系数小于0，在同一象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限内，第二象限的点的函数值大． （1）易得反比例函数的比例系数，若与正比例函数没有公共点，则两个函数的比例系数异号； （2）在同一象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限内，第二象限的点的函数值大． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数解析式为，图像在二、四象限， 而与没有公共点，所以的图像在一、三象限， 故有； （2）解：∵函数图像在二、四象限.且在每一象限内，函数随x的增大而增大， ∴而由，得 ， 又由 0<，得 ， 故有  ． 2.根据反比例函数的增减性求参数 错误：（1）忽略“同一象限”前提：误将“y随x增大而减小/增大”当成整个定义域的性质，未限定同一象限，导致参数判断错误。 （2）混淆k的符号与增减性的关系：错记“k>0时，同一象限内y随x增大而减小；k<0时则相反”的对应关系。 （3） 漏验k≠0：求参数时只满足增减性对应的k符号，未验证k≠0的基本条件。 注意：（1）锁定“同一象限”：看到增减性描述，先明确是“同一象限内”的变化规律。 （2）符号对应规律：根据增减性定k的符号（减→k>0；增→k<0）。 （3）双重验证：求参数后，既要保证k的符号符合增减性，也要确认k≠0。 （24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知反比例函数（k为常数）． (1)若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围； (2)若时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是； （2）解：∵若时，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 3.反比例函数的k值意义 错误：不会求反比例函数k值的技巧 注意：（1）核心思路：牢记过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，三角形面积为|k|/2。 （2）解题步骤： - 找：找到双曲线上的点P(x, y) - 作：过P作x轴、y轴的垂线 - 算：利用矩形或三角形面积公式结合|k|求解 （3）复杂图形：通过"割补法"将复杂图形分解成几个能用|k|计算的基本图形，再求和或差。 （24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 三、反比例函数的实际问题 1.反比例函数的实际应用 错误：忘记反比例函数在实际问题时，要符合具体情境 注意：结合具体生活情境，对求取的范围要进行验证 （24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2)时间为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出水升温到时的时间，以及水降温到时的时间，作差即可． 【详解】（1）解：设从水温为时开始加热，经过 分钟加热到 ， 则，解得， 水温下降过程中，设 与的函数关系式为 ， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中， 与的函数关系式是 ； （2）设从水温为时开始加热，经过分钟加热到， 则 ，解得： ， 在降温过程中，水温为时， ，解得， ， 在这一过程中，水温不低于的时间为． 2.反比例函数与几何综合 错误：反比例函数与几何问题，要注意几何图形的性质，没有结合反比例函数的性质一起思考 注意：将反比例函数的性质与几何图形的性质结合起来思考； （24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质和折叠可知，在中根据勾股定理可求，进而求出，在中，由勾股定理可求，，从而可得到答案； （2）设，，根据点A，E都在双曲线上，得出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形， ，，， 是由翻折得到， ，，设， 在中，， ， 在中，， ， ，， ； （2）设，则， 双曲线过、点， ， 解得， 3.反比例函数与一次函数综合 错误：反比例函数与一次函数的关系，不会找它们的交点， 注意：分析反比例函数和一次函数的关系，先找到它们的交点，然后可以得到大小关系； （24-25九年级上·河北·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知两个变量A与B是反比例函数关系，根据下表判断a和b的大小关系是（   ） A 6 a 5 b B 50 55 60 65 A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，求反比例函数解析式，先理解题意，把代入，得，再根据表格的数据，则，结合同分子，分母越大的分数反而小，即可作答． 【详解】解：∵两个变量A与B是反比例函数关系， ∴设， 把代入，得， 解得， ∴， 观察图中的数据，则， 结合同分子，分母越大的分数反而小，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数k的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键．根据对称性求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论． 【详解】解：∵与关于y轴对称， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】考查反比例函数图象与性质，关键是掌握时的象限分布和增减性，易错点是忽略“在每个象限内”的前提． 逐一分析选项：A中图象象限和增减性均错；B中时图象在第一象限且y随x增大而减小，正确；C中时图象所在象限且增减性均错；D中时，错． 【详解】选项A：对于反比例函数，，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，所以A错误． 选项B：当时，函数的图象在第一象限，且在第一象限内y随x的增大而减小，B正确． 选项C：当时，函数的图象在第三象限，且在第三象限内y随x的增大而减小，所以C错误． 选项D：当时，，不是，所以D错误． 故选：B． 4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出 ．根据点的坐标求出值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点M的横坐标为6， ∴，     ∵在直线上， 可设， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 故选：． 5．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 用点M的坐标求出反比例函数的解析式，再把电流代入求出电阻，即可作答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 则 当时，电阻， 故答案为：12 7．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，．若与的面积之和为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于． 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点，，轴于点轴于点， ∴， ∵与的面积之和为2， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．（2025·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，反比例函数的图象被遮挡了一部分，已知点M，N在格点上，则k= ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ∴． 故答案为：3 9．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1） ； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为 【答案】 5 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由点，，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可得知， ，， （2）结合轴，，，，则，然后代值求解得出的取值范围． 【详解】解：（1）∵点，，在函数的图象上， ∴，，，， 得， ，， ∴， 故答案为：5 （2）连接，如图所示： 由（1）得， ，， ∵轴，，，． ∴ ∵反比例函数与有交点, ∴，则； ∴，则； ∴，则； 即的取值范围为 故答案为： 10．（24-25九年级上·河北·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义． （1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解； （2）把代入（1）中所求函数解析式，计算求y即可． 【详解】（1）解：设，     则 把代入得 ， ∴ ∴ （2）当时     12．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据，即可作答． 【详解】（1）当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； （2）设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，点的坐标是，过点作轴的平行线交轴于点A，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连接．已知．    (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)14 (2)4 【分析】（1）使用待定系数法，代入函数图象上某点坐标，求出k的值． （2）求出k后，得到反比例函数的解析式并求出点M的坐标，根据三角形面积的求法，可知，代入与的值后，求得的面积． 【详解】（1）∵点的坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∴点的坐标为． 把代入中，得． （2）∵， ∴． 当时，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的基本概念和反比例函数的图象与性质．关键是求出反比例函数的解析式． 14．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先将反比例函数即可求出解析式，再将代入解析式求出，最后将两点代入一次函数即可求出； （2）设一函数与轴交点，令，代入，求出点坐标，利用割补法即可求出的面积； （3）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：反比例函数表达式为 把代入反比例函数，得， 把代入， 得，解得， 一次函数表达式为； （2）解：如图，一次函数与轴交点，令，代入，则， ，   ； （3）解：由（1）知， 当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，掌握割补法求三角形面积和待定系数法求解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $