第二十七章 反比例函数知识归纳与题型突破（单元复习 12类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十七章 反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 六、反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 03 题型归纳 题型一　根据反比例函数的定义求参数 例题：已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 巩固训练 1.若函数是反比例函数，则_____． 2.已知函数是y关于x的反比例函数，则______． 3.已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 题型二　已知反比例函数的定义求函数的解析式 例题：已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 巩固训练 1．已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 2．已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 题型三　判断(画)反比例函数图象 例题：反比例函数的图像大致是图中的（    ） A．B．C．D． 巩固训练 1.已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 3．若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 题型四　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例题：如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______________． 2.如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___． 题型五　已知反比例函数分布的象限求参数范围 例题：若双曲线在第一、三象限，则k可以是________．（写出一个k的值即可） 巩固训练 1.反比例函数的图象过第一、三象限，则常数的取值范围是__________． 2.若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的值为__________． 3.已知反比例函数的图像位于第二、第四象限，则m的取值范围为________． 题型六　已知反比例函数的增减性求参数 例题：在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是____． 巩固训练 1.已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若时，，则的取值范围是 _______． 2.已知点和在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是______． 题型七　比较反比例函数值或自变量的大小 例题：若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 巩固训练 1.已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． 2.反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． 3.若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 题型八　已知反比例函数的解析式求图象和性质 例题：对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 巩固训练 1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．若，则 D．若，则 2．若点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是（　　） A．该函数图象在第一、三象限内 B．点也在该函数图象上 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．该函数图象关于原点对称 3．对于反比例函数，下列结论中错误的是（    ） A．图像位于第二，四象限 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点在图像上，则点也一定在图像上 题型九　一次函数与反比例函数的交点问题 例题：如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 巩固训练 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 题型十　一次函数与反比例函数的实际应用 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 题型十一　实际问题与反比例函数的图象问题 例题：（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 题型十二　其他学科的实际问题与反比例函数问题 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 巩固训练 1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 反比例函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 四、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 五、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决题. 2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 六、反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 03 题型归纳 题型一　根据反比例函数的定义求参数 例题：已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 【答案】 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 巩固训练 1.若函数是反比例函数，则_____． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做反比例函数． 2.已知函数是y关于x的反比例函数，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可． 【详解】解：∵函数y是y关于x的反比例函数， ∴ 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义． 3.已知函数是关于的反比例函数，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数称为反比例函数，即可求出的值． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 题型二　已知反比例函数的定义求函数的解析式 例题：已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则 当时，；当时，． 解得： （2）当时，． 巩固训练 1．已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 2．已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 题型三　判断(画)反比例函数图象 例题：反比例函数的图像大致是图中的（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】对于反比例函数，比例系数， ∴函数图像是位于二四象限的双曲线． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键． 巩固训练 1.已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象在第一、第三象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．反比例函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第一、三象限，即： 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 3．若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立． 【详解】A. 由图象可知：，故A错误； B. 由图象可知：，故B正确； C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误； D. 由图象可知：，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键． 题型四　由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例题：如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 巩固训练 1.已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称． 【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴交点坐标为 ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点关于原点对称， ∴该点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 2.如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___． 【答案】（﹣3，﹣2） 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为（3，2）， ∴B的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 题型五　已知反比例函数分布的象限求参数范围 例题：若双曲线在第一、三象限，则k可以是________．（写出一个k的值即可） 【答案】2 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案． 【详解】解∶∵反比例函数的图象在第一、 三象限内． ∴． 故答案为∶ 2 (答案不唯一，大于0即可) ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质∶当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． 巩固训练 1.反比例函数的图象过第一、三象限，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，时，图象过第一、三象限，即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象过第一、三象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是本题的关键． 2.若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的值为__________． 【答案】2 【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得： 或， 又，解得：， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得m的值是解题的关键． 3.已知反比例函数的图像位于第二、第四象限，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵的图像位于第二、第四象限， ∴， ∴， 即m的取值范围为． 故答案为： 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 题型六　已知反比例函数的增减性求参数 例题：在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大知，即可得． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，即对于反比例函数有（1）当时，都随的增大而减少；（2）当，都随的增大而增大． 巩固训练 1.已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若时，，则的取值范围是 _______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象上两点和是，若时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2.已知点和在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据当时，，可知图象在第二、四象限，据此求解即可． 【详解】当时， 图象在第二、四象限 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 题型七　比较反比例函数值或自变量的大小 例题：若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可． 【详解】解：将，，分别代入， 得：，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 巩固训练 1.已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象性质，即可解答． 【详解】解：， ， 图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， 当时，的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 2.反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可； 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 当时，， 当时，，， ∴时，的范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，数形结合是解题的关键． 3.若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 【答案】 【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小． ∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且， ∴点不在同一象限， ∴点第一象限，点在第三象限． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 题型八　已知反比例函数的解析式求图象和性质 例题：对于函数，下列说法错误的是（　　） A．该函数的图象位于第一、三象限 B．随的增大而减小 C．该函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：A、∵，∴图象位于一、三象限，不符合题意； B、∵，∴图象位于一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，符合题意； C、反比例函数的图象，既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； D、当时, ，∴点在该函数图象上，不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，图象经过点，此选项正确，不符合题意； 、由得，图象位于第二、四象限，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项正确，不符合题意； 、若，则，此选项不正确，符合题意； 故选：． 2．若点在反比例函数的图象上，则下列说法错误的是（　　） A．该函数图象在第一、三象限内 B．点也在该函数图象上 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．该函数图象关于原点对称 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再结合反比例函数比例系数k与图像的关系即可判断A、B选项，根据反比例函数的性质：“当时，反比例函数经过第一、三象限，y随x的增大而减小”即可判断C选项，再根据反比例函数图象的特点：“反比例函数图象关于原点对称”即可判断D选项． 【详解】解：A、∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数图象在第一、三象限内，故A选项不符合题意； B、∵， ∴此点在反比例函数的图象上，故B选项不合题意； C、当时，y的值随x值的增大而减小，故C选项合题意； D、该函数图象关于原点对称，故D选项不合题意． 故选：C． 3．对于反比例函数，下列结论中错误的是（    ） A．图像位于第二，四象限 B．图像关于y轴对称 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点在图像上，则点也一定在图像上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，对称性和图像过点问题，正确理解性质，是解题的关键． 【详解】反比例函数， A. 图像位于第二，四象限，正确，不符合题意； B. 图像关于原点对称，错误，符合题意； C. 当时，y随x的增大而增大；正确，不符合题意； D. 若点在图像上，则，故点也一定在图像上，正确，不符合题意； 故选B． 题型九　一次函数与反比例函数的交点问题 例题：如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求和的值； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)在反比例函数的图象上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）将点A代入反比例函数，求得，将点B代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得反比例函数和一次函数， 联立得， 解得或， ∴， 根据图象可知，，， 当时，或； （3）解：∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 巩固训练 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为3，求的面积； (3)在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用． (1)依据点在反比例函数图象上，即可得到m的值； (2) 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， 依据，即可得出；根据直线为，将、代入，即可得到t的值； (2)根据函数图象，即可得到的解集是∶ 或． 【详解】（1）解：将点代入中得：，解得， ． （2） 过点A作轴于点H，过点作轴于点D，设， ， ， ， 点在， ， 直线为，将、代入得： ， 化简整理得：， 解得：，（舍去，因为点A在点 B的左侧）， ， ， ， ． （3）， 的解集是：或． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P在x轴上，求的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质； （1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可； （2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可； （3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∴， 由函数图象得，不等式的解集为：或 ； （3）如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P， 由对称性可知， ∴， 在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则， ∵， ∴的最大值为， ∵， ∴ ∴的最大值． 题型十　一次函数与反比例函数的实际应用 例题：（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 题型十一　实际问题与反比例函数的图象问题 例题：（2024·辽宁大连·模拟预测）受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限；根据实际意义以及函数的解析式，可判断图象是双曲线，根据以及自变量的取值范围即可进行判断； 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 巩固训练 1．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为， 且该函数图像在第一象限，随的增大而减小， 当时，可有， 越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值， ∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是． 故选：D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（　　） A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大 B．当时，血液中酒精浓度y的值为320 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，先利用待定系数法求解两个函数解析式，再利用函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：当时， 设直线解析式为（正比例函数）：， 将代入得：， 解得：，故直线解析式为：， 因此饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大， 故A正确，不符合题意； 当时，设反比例函数解析式为：， 将代入得：， 解得：，故反比例函数解析式为：； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵， ∴该驾驶员为非酒驾状态，故C正确，不符合题意； 当，则， 解得：， 当，则， 解得：， ∵（小时）， ∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时， 故D错误，符合题意． 故选：D． 题型十二　其他学科的实际问题与反比例函数问题 例题：（2023九年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】(1) (2) (3)气体的体积应不少于． 【分析】本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义． （1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知， 所以， 故； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不少于． 巩固训练 1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 2．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$