专题8 立体几何 考点20 空间几何体的表面积和体积 题组2-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

一、选择题 1.(2024·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　) A.1 B.2 C. D. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC­A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B.1 C.2 D.3 3.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则(　　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC＝2 D.△PAC的面积为 4.(2023·全国乙卷·理)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.3π D.3π 5.(2022·北京卷)已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 6.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 7.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　) A. B.2 C. D. 8.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A.V3＝2V2 B.V3＝V1 C.V3＝V1＋V2 D.2V3＝3V1 9.(2021·全国甲卷)已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 10.(2025·北京卷)某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面ARF⊥平面ABC，平面TCD⊥平面ABC，AB⊥BC，AB∥RS∥EF∥CD，AF∥ST∥BC∥ED，若AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，AR＝RF＝TC＝TD＝，则该多面体的体积为________. 11.(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“钢嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm,325 mm,325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为________mm，升量器的高为________mm.(不计量器的厚度) 12.(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________. 13.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点20　题组二 1.解析　由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD.如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G.易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF⊂平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P­ABCD的高.由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝.故选D. 答案　D 2.解析　(补形法)　设正三棱台ABC­A1B1C1的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作PO⊥平面ABC于点O，PO交平面A1B1C1于点O1，连接OA，O1A1，如图所示.由AB＝3A1B1，可得PO1＝h，PO＝h，又S△A1B1C1＝×22×＝，S△ABC＝×62×＝9，所以正三棱台ABC­A1B1C1的体积V＝VP­ABC－VP­A1B1C1＝×9×h－××h＝，解得h＝，故PO＝h＝2.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则OA＝×＝2，因为PO⊥平面ABC，所以∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan∠PAO＝＝1，故选B. 答案　B 3.解析　取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，二面角PACO的平面角为∠PDO＝45°， 在△PAB中，PO＝1，AO＝， 则OD＝1，V＝·3π·1＝π，A正确. S侧＝PA·2π·＝2π，B错误. AC＝2＝2，C正确. PD＝，S△PAC＝××2＝2，D错误，选AC. 答案　AC 4.解析　在△AOB中，∠AOB＝，而OA＝OB＝，取AC中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图所示， ∠ABO＝，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝， 解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B. 答案　B 5.解析　过点P作底面射影点O，则由题意，CO＝2，PC＝6，∴PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及其内部，所以面积为π. 答案　B 6.解析　考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r＝a，所以该四棱锥的高h＝，所以体积V＝a2＝≤ ＝ ， 当且仅当＝1－，即a2＝时，等号成立， 所以该四棱锥的高h＝＝＝，故选C. 答案　C 答案　C 答案　CD 9.解析　由题可得△ABC为等腰直角三角形，得出△ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积. ∵AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝， 则△ABC外接圆的半径为，又球的半径为1， 设O到平面ABC的距离为d， 则d＝＝， 所以VO­ABC＝S△ABC·d＝××1×1×＝. 故选A. 答案　A 10.解析　如图，先证明一个结论：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，平面α∩β＝l，则l⊥γ. 证明：设α∩γ＝a，β∩γ＝b, 在平面γ取一点O，O∉a，O∉b， 在平面γ内过O作直线m，使得m⊥a，作直线n，使得n⊥b， 因为平面α⊥平面γ，m⊂γ，故m⊥α，而l⊂α， 故m⊥l， 同理n⊥l，而m∩n＝O，m，n⊂γ，故l⊥γ . 下面回归问题. 连接BE，因为AB⊥BC且AF∥BC，故AF⊥AB，同理BC⊥CD，EF⊥ED， 而AB＝BC＝8，AF＝CD＝4，故直角梯形ABEF与直角梯形CBED全等， 故∠BEF＝∠BED＝45°， 在直角梯形ABEF中，过B作BT⊥EF，垂足为T， 则四边形ABTF为矩形，且△BTE为以∠BTE为直角的等腰直角三角形， 故EF＝FT＋TE＝AB＋BT＝AB＋AF＝12， 平面RAF⊥平面ABEF，平面RAF∩平面ABEF＝AF，AF⊥AB， AB⊂平面ABEF，故AB⊥平面RAF， 取AF的中点为M，BE的中点为U，CD的中点为V，连接RM，MU，SU，UV， 则MU∥RS，同理可证RM⊥平面ABEF，而RM⊂平面RMUS， 故平面RMUS⊥平面ABEF，同理平面VUS⊥平面ABEF， 而平面RMUS∩平面VUS＝SU，故SU⊥平面ABEF， 故RM∥SU，故四边形RMUS为平行四边形，故MU＝RS＝(8＋12)＝10. 在平面ABHR中过B作BH∥AR，交RS于H，连接HT. 则四边形ABHR为平行四边形，且RH∥AB，RH＝AB，故RH∥FT，RH＝FT， 故四边形RFTH为平行四边形， 而BH⊥AB，BT⊥AB，BT∩BH＝B，BT，BH⊂平面BHT， 故AB⊥平面BHT，故平面ARF∥平面BHT， 而AR＝BH，RF＝HT，AF＝BT，故△ARF≌△BHT， 故几何体ARF­BHT为直棱柱， 而S△ARF＝×4× ＝3， 故VARF­BHT＝8×3＝24. 因为AB∥EF，故EF⊥平面ARF， 而EF⊂平面RSEF，故平面ARF⊥平面RSEF， 在平面ARF中过A作AG⊥RF，垂足为G，同理可证AG⊥平面RSEF， 而AG×RF＝3，故AG＝， 故VB­HTES＝××(2＋4)×＝6， 由对称性可得该多面体的体积为2×(24＋6)＝60. 故答案为60. 答案　60 11.解析　设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3＝10V2，即π×2×230＝10×π×2×h2，解得h2＝23.又V2＝10V1，即π×2×23＝10×π×2×h1，所以 h1＝57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm. 答案　23　57.5 12.解析　如图所示，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD­A1B1C1D1的高， 因为AB＝2，A1B1＝1，AA1＝， 则A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝， 故AM＝＝，则A1M＝＝＝， 所以所求体积为V＝×(4＋1＋)×＝.故答案为. 答案　 13.解析　如图所示，＝＝＝，∴OO1＝3，V＝(4＋16＋)×3＝28. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $