专题06 解析几何（7年真题汇编+1年模拟）（北京专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合北京2020-2026年高考真题及模拟题，聚焦解析几何五大考点，系统呈现命题规律与创新趋势 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约22题|直线与圆、双曲线、抛物线、椭圆、轨迹问题|含7年真题，如2026双曲线渐近线题；2024起开放型“写出一个值”题型增多| |填空|12题|抛物线焦点、双曲线离心率等|基础性质与综合应用结合，如2025抛物线顶点到焦点距离题| |解答|12题|椭圆压轴大题（每年1道）|两小问固定为求方程+综合探究，2024后融入对称点、面积比较等创新设问|

专题06 解析几何 7年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2020-2026） 命题规律 直线与圆 2020 圆心轨迹、2022 对称轴、2024 距离、2026 相切，共 4 道小题 基础送分题，考查点到直线距离、切线、对称性；题量少，难度常年稳定 双曲线 2020 焦点渐近线、2021 方程、2022/2026 渐近线、2023 方程、2024 公共点、2025 离心率，每年 1 道小题 必考小题，离心率、渐近线为高频考点；2024 起开放型 "写出一个值" 题型增多，灵活性增强 抛物线 2020 垂直平分线、2021 面积、2023 距离、2024/2025 焦点坐标，共 5 道小题 定义与焦半径是核心；侧重基础性质考查，题量少于双曲线，难度中等 椭圆 2020–2026 每年 1 道压轴大题，共 7 题 绝对主力大题，固定两小问：求方程 + 综合探究；2024 后对称点、面积比较、斜率定值等创新设问频繁，运算量加大 轨迹问题 2022 三棱锥截面、2024 点集区域，共 2 道小题 常与立体、函数交叉命题；由求轨迹方程转向分析轨迹图形面积、最值，数形结合要求高 小结：椭圆大题地位稳固且综合性逐年加强；双曲线小题必考；轨迹题跨模块融合是近年新趋势。 考点01 直线与圆 1．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点02 双曲线方程及其性质 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 考点03 抛物线方程及其性质 1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 2．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 5．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 考点04 椭圆方程及其性质 1． （2026·北京·高考真题） 已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． （1）求的方程； （2）过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 2．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 4．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 6．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 7．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 考点05 轨迹问题 1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）双曲线的焦距为（    ） A．1 B． C． D．4 2．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 5．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 6．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 9．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 10．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④ 11．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 13．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 14．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 15．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 16．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 18．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 19．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 21．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（    ）． A． B． C． D． 22．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题 23．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______． 24．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知直线过抛物线的焦点，则________． 25．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 26．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 27．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 28．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 29．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 30．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 31．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 32．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 33．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 34．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知曲线，给出以下四个结论： ①曲线是轴对称图形； ②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积； ④曲线与直线有公共点. 其中所有正确结论的序号是________________. 三、解答题 35．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 36．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 37．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形. 38．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 39．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 40．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 41．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 42．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 43．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线l与椭圆分别交于，两点，已知点，直线与直线交于点．求证：直线的斜率为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06解析几何 7年真题1年模拟 七年真题分类园 考点01 直线与圆 1.0 2.D 则圆心到直线 1-(-3)+2-32 为1-3) -y+2=0 的距离为P+(- 故选：D. 3.A 4.A @r 考点02双曲线方程及其性质 1.B 2.B 3.行（或2，答案不唯一） =1 5.-3 6.B ①.(3,0) ②.√5 考点03抛物线方程及其性质 1/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.6 2.(4,0) 3.D 4.5 4W5 5.B 考点04椭圆方程及其性质 1、【小问1详解】 由您意可得。2则e=仁=G-公4方】 -分65E的方程为号1 【小问2详解】 由题意可得lc:y=k(x-1)+1,设B(x,y)、C(x2,2), 由B关于直线y=x对称的点为D,则D(出，x), [x2y2 =1 联立 43 ，消去得： y=k(x-1)+1 y (4k2+3)x2-8k(k-1)x+4k2-8k-8=0 8k(k-1) 4k2-8k-8 由4十32<1，故1在椭圆内部，故A>0恒成立，有+名 4k2+3、= 4k2+3 则y+2=k(x-1)+1+k(x2-1)+1=k(x+x)-2k+2, 2=[k(x-1)+1][k(:2-1)+1]=k2x3+(k-k2)(x+x)+2-2k+1, Dy=2-(x-)+x oy=二(-y)+x联立-% x2-9 y=x 则x=是二（x-)+,即长-y）x=0-)-(0-)川+(-） x2-y 整理得x= XX2-yy2 XX2-yy2 x X2-yiy2 +对)-+)即(+)+产+)-0的+月 点6到直线40的距离d=凸。 点c到直线A0的距窝4，=5.9 2 2/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ug-6-则5w。点2，w日5. 冰小号2w-k -等-网6⅓小-6 =2(x-)-(G+)+0+⅓》 =5--5+5)+21-k+5)+6+5-2+ =2-2)x--+)-+刊 1L-24k2-8k-8-k-0-g+ 2 4k2+3 4k2+3 142-8k-8-4k4+8k3+8k28k2-8k-8k4+8k3,-4k4-32+4k2+3 2 4k2+3 42+3 4k2+3 -15-5_5 24k2+38' 即5-s+号1r5- 4,无解，不符： 4,解得k= 则k2<1有5-5k2=52+1 4: 故k= 4 3/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2. 【解折】1少由蒂圆可，2a:4所以，2又e-台-夏 2=。=2,所以c=2'b2=a2-c2=2 x2.y2 故椭圆B的方程为4+2=山： xox+2yoy-4=0 (2)联立 4-2yy 421 ，消去得， +2y2=4 整理得，(2x6+46)y-16%y+16-4x6=0①， 三+今=1，所以2+48=816-4=86 又42 故①式可化简为8y2-16yy+8y=0,即(y-)广=0，所以y=, 所以直线xox+2y%y-4=0与椭圆相切，M为切点 SlOA 设A任，)，B(:,)易知，当x=时，由对称性可知，，O8 S AMolxo 故设与<<x·易知S.BM3-。-1 xx+2y0y-4=0 联立1y=2 ，解得 4-40,y=2。 Xo Xox+2yoy-4=0 联立1y=-2 ,解得x2 4+4必，为2=-2， 所以52x-xx 44%-。4-4-号 S=-龙=6 4+4y%x号-4-4 Xo 28-42=2-6 -2y6-42+y% 4-4y0 +4 OA xo V40-y+龙-4-%广+4-2-8-4，+42- OB 2 4+4y0 +4 V4(1+%)2+号 V4(1+%)}2+4-2V+4y+42+, S O4 故s2OB 4/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.OA 法二：不妨设A6,),B(3,)易知，当x=x,时，由对称性可知，3，O8 故设2<<x, xox+2yov-4= 联立1y=2 0,解得=4=2。 xx+2yy-4=0 联立y=-2 4=0,解得5=44，乃=-2。 则2442a兰42w会 尊+受-1，所以52听-4 所以tan∠40M=ko,-kay=2-2x5 1+koakow1+,。一x 2-2y%0 =-6+26-2=-4-2。-2 x（。-2）(y-2)x,· an∠B0M=6ay-ka=x2+2y =6+2奶+2y=4+2%=2 1+kou'ko8 1+x (+2)x(6+2)x, x(2+2y 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, S,_|OAOM sin∠AOM_IOA 所以S, OB OM sin∠BOM OB y=2 M y=-2 B 3 【解时1)由题套6=c=方=5，从面，=+e-2 5/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =l,离心率为e= 所以椭圆方程为4 2 2: (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设AB:y=+i,(k≠0,1>V2),A(x,),B(x2,): =1 联立了42，化简并整理得 y=kx+t 1+2K2）x2+4kx+22-4=0 由题意△=16k2?-8(2k2+1-2）=8(4k2+2-1)>0,即k,t应满足4k2+2-2>0, -4t22-4 所以方+51+22x6=2K2+i 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(-x,), 所以4D:y=(-片人，在直线D方程中令x=0 x1+x2 得%+-++x+0.25+G+.仁-2到1=21. x+x2 x+X2 x1+x2 -4kt 所以t=2, 4k2+2-t2=4k2-2>0 此时，应满足k≠0 即k应满足k<- 或k 2 2 综上所述，1=2满足题意，此时k<-2 、,芒或k、√2 2 4. a3,则c= 【解析】(1)依题意，得e=￡=5 3, 又A,C分别为椭圆上下顶点，AC=4,所以2b=4,即b=2, 所以，-c-分=4即0-0-0=4，则。=9 6/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以能医E的方是为号+号1 2因为椭国p的方程为，+￥，所840,2，.C0,-2,B3,0,D3,0 因为p为第-象限E上的动点，设PM05m<0<n<2少则写号-1， y=-2C M -3-03,则直线BC的方程为y=- 0+22 易得kc= 3-2, k=n-0、n 23=23,则直线D的万程为y三3（一3， 「2 y=-2x-2 [3(3n-2m+6) X=- 3 3n+2m-6 联立 ,解得 y-m23- -12n ,即，3(3n-2m+6)-12n y=- M 3n+2m-6 3n+2m-6 3n+2m-6 而kpA m-0m,则直线P4的方程为y=" n-2_n-2 x+2 m 令=-2，则-2=”-2 2,解得授2 又号+-1，则时9 4,8m2=72-18n2 -12n +2 (-6n+4m-12)）(n-2) 所以= 3n+21m-6 3(3n-2m+6)-4m(9n-6m+18)(n-2)+4m(3n+2m-6) 3n+2m-6n-2 -6n2+4mn-8m+24 -6n2+4mn-8m+24 9n2+8m2+6mn-12m-369n2+72-18n2+6mn-12m-36 -6n2+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12）2 -9n2+6mn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12）3’ 0+22 又knF3-03,即kw=kcm' 7/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 显然，MN与CD不重合，所以MNII CD. 5. 【解析】(1)依题意可得b=1,2c=2W5,又c2=a2-b2, 所以。=2所以椭圆方程为4十少=1： (2)依题意过点P(-2,)的直线为y-1=k(x+2),设B(,)、C(:,y),不妨令-2≤：<，≤2， [y-1=k(x+2) 4+广=1，消去整理得 由 y(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16=0 所以△=(16k2+8k-41+42)16k2+16k)>0,解得k<0, 1+42,5=162+16k 16k2+8k 所以x+x2= 1+4k2, 直线8的方程为一：片，令，0解得点 直线4C的方程为y-1=-x X2 ，令，=0解得 所以-k小 1-[k(x+2)+11-[k(:+2)+1可 X2 -k(x,+2)k(x+2) (+2)x-(:+2） k(x,+2)(:+2) 2-x (x,+2(G+2) =2, 所以-x=(x+2)(x+2), 即V:+x)-4xx=k[xx+2(+x)+4] 16k2+8k 3 4× 16k2+16k 16k2+16k 16k2+8k 即 +4 1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 8/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四78ev2j-04e+-[6e1-206e4404月 8 整理得8√k=4k,解得k=-4 6. 【解析】(1)因为椭圆过A(0,-2),故b=2, 因为四个顶点国成的四边形的面积为45，故2×2a×2b=45,即a=N5, -=1 故椭圆的标准方程为：气+一 (2) 0 A 7B M NP 设B(,),C(6,2), 因为直线BC的斜率存在，故xx3≠0， x 片+2，同理xw=-戈 故直线4By-2,令3则w5 2+2 y=kx-3 直线BC:y=-3”由4x2+5y2=20可得(4+5k2)x2-30+25=0, 故△=900k2-100(4+5k2)>0,解得k<-1或k>1 30k 25 又+x2= 4+5R=4+5K,故xx>0,所以xyxv>0 又PM+lPN=kw+x2t y+22+2 50k 30k 2kxx2-+x2) 4+5k24+52 c-1,-1k2xx2-k(x+x2)+1 25k2 30k2 =5k 4+5k2 4+52+ 故515即M≤3， 9/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，-3≤k<-1或1<k≤3 7. x2 y2 【解析】①设椭圆方程为： 京+京=1(a>b>0),由愿意可得： 4.1 a+京= ，解得： a2=8 a=2b b2=2 x2 y2 故椭圆方程为：8+2 =1 四[方法一]： 设M(x,h),N(x2,),直线MN的方程为：y=k(x+4), x2.y2 与椭圆方程82 =1联立可得：x2+4k2(x+4)2=8, 即：（4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0, -32k2 64k2-8 则：x1+x2= 42+75 Γ4k2+1 直线4的方程为：y+1=乃+ +2(x+2), 令 可得：y,=-2x当+-1=-2×+4)+15+2-=(2k+10(5+4) =-4 x+2 x+2x+2 x+2 同理可得：6=(2+1（飞+4） x3+2 PB 很明显 po<0P@0 注意到， +=-(2k+ +2++2=-(2+0x怎+5+2飞+4+2 +4++4 (x+2)(x2+2) 而(：+4)(x2+2)+(:+4)(x+2)=2[x+3(x+)+8] =264k2- +3× -32k2) +8 4k2+1 4k2+1 10/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =2× 642-8)+3×-32k)+8(4+-0. 4k2+1 故p+yg=0,yp=-yg 从而BQ 1 yo [方法二」【最优解】：几何含义法 ①当直线1与x轴重合，不妨设M(-2W2,0),N(2√2,0)，由平面几何知识得 BP= 4-2V2 2W2-2 =2,B0F 4+2W2 BPL=1. 2W2+2 =2,所以B01 ②当直线1不与x轴重合时，设直线：x=少-4，由题意，直线1不过4(-2，-)和点(-2,1)，所以 x=y-4, 设 由题意知，所以 t≠士2 M(x,),N(x2,y2) 传号-+4r-灯8-0 △>0 8t 8 2>4且%+h=2+4%=2+4 由思意知直线M,NM的斜率存在.ry+1=上 (x+2) x+2 当x=-4时， Vp=- 20y+-1=-2y-2-x-2=2y-(94)-4=-+24=-t+2y x1+2 x1+2 x1+2 x1+2 y12… 同理，yg= -(t+2)y2 t+2)y:(y2-2) tyiy2-2y y2-2 所以 BO t+2)y2·(y,-2) ty y2-2y2 因为 =y+y’ 所以BQ y+y-2y_凸=y=1 y+y2-2y2 考点05 轨迹问题 1.C 2.B 11/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测园 一、单选题 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B 12.A 13.C 14.D 15.c 故选：C 16.B 17.A 18.A 19.B 20.C 21.D 22.D 二、填空题 23.2 24.2 12/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.6 26.6 27.7 28.①②④ 29.2V5 30 x=-1 2 31. 2 [2-V2,2+2 32.0或2 33.①④ 34.①③ 三、解答题 35 【答案】)4+y=1; 2)设直线1的方程为y=+k-1,k≠1，点M(:,乃)，N(,),则点P(-,-), 直线。0的方程为y=-山，直线OD的方程为，=x联立解得点 BP X (x-y+1’x-y+1 y=kx+k-1 由x2+4y2=4消去y得(4k2+1)x2+8k-1x+4(k2-2k)=0, 8k(k-1) x+x=-4k2+1 多 4k2-2k) △=64k2(k-1)2-16(4k2+1)(k2-2k)=16(32+2k)>0x5= 4k2+1 点a则0-)- -x(2-）_（-2x+y-1)x--(,+k-2）_（-2x++k-2)西 x-y+1 x-y+1 x-y+1 x-y+1 2kDxs二k2x+x)2(k-)42++(k2-1） 4k2+1=0' x-+1 -当+1 即A011AN,又A0,A有公共点A,则点A,2,N三点共线， 13/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以直线NO经过点A. M N D B 36. 【答案四 21: (2) 不存在满足条件的点D,理由如下： 由题意得A(-2,0),B(2,0),设D(x≠0)，P(x,y), x-2 AD中点M坐标为2,2 直线Oy的务*产20M方程为广2，令x4得 x-21 44 、-2 直线B0的斜率气2B0方程为y,c-2)门 x-2 若AD110P: 则ko=op而o=) 上= =+2,故天。+2， 2少，任-2)代入化简得：= 将4=x,-2 x+8=4 七+6当 x+6? 因为P在椭圆E上，代入椭圆方程，结合D在椭圆上满足x6+2%=4,化简最终得：（化，-2）'=0→x=2, 此时D与B重合，不符合“D不同于A,B”的条件，因此不存在满足条件的点D. 37. 【详解】(1)把点(0，)代入，得 1 1 a>b>0 解得，，所以，椭圆的方程为： e-c-Va-D_6 a=v3 a a 3 b=1 C 3+2s1 (2)设直线AB方程为x=my+1,A(x,,Ax乃)，那么 14/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +y2=1 3 化简可得 x=my+1 m2+3)y2+2my-2=0 2m 2 根据韦达定理可知+2= m2+35= m2+3 直线dB方程为y-n=二x-3),所以，点M2,n-人二骨。 x-3 x-3 直线B方程为-n=上二x-3),所以点N2m-二受 2-3 七3-3， kow-kne=n--n_-n=n-(y-n)(CmY-2)+(-n)(my-2) x1-3x2-3 (my-2)(my2-2) n 2m-(m+20x+y)44n-n-4m=-（6m+22m+4am+3）-0 m2yy2-2m(y+y2)+4 -2m2-2m(-2m)+4(m2+3 所以，kM=kE→DM‖BE,即DM∥NE, 同理，kw-kE=n--”-当-”=n-少-m0m-2)+0-m0y-2》 x2-3x-3 (my-2)(my2-2) =n 2m-m+20y+y）)+4nR-4m-(mn+2-2m）+am+3）-0, -=n- m2yy2-2m(y+y2)+4 -2m2-2m(-2m)+4(m2+3） 所以，kw=kME→ON AE,即DN∥ME, 故四边形DMEN为平行四边形， 38. 【详解】(1)由题意得，2c=a,a=2,则c=1,b2=a2-c2=3, x2 y2 则椭圆c的方程为4+3=1： (2)因为P(m,n)(n≠0)在椭圆C上，且点Q与点P关于y轴对称， ,m2,n2 所以4+3=1，Q(-m,mn≠0) 15/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则直线Py2+2刘，令=0则-品则如02)】 直线40：y= ”x+2),令x=0则y 2n 2- 2-m, 2n ,则tan∠OBM= m+2 设 ,tan∠OWB= 2n B(p,0) 2-m 2n m+2 因为 ,所以 ∠OBM=∠ONB 因为n≠0，所以p'=3,故B(±V5,0 B 39 【答案】3+少=1 (2)如图，作出符合题意的图形， D B M 由P(o,%)x≠0，≠0)在椭圆上，得后+3y=3, 依题意可得直线l的斜率存在，设I的方程为y=x+m,则m=%-a,, y=kx+m 3+2=1得 由x (3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0 16/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由△=0，得3k2+1-m2=0, 3k2+1-m2=0 由m=%-a。,得 x6+3=3 9yok2+6xoyok+xo=0 解得k=一 Yo' 设(E小曲m有w=6威+m--兰 x=V3 Γ3 直线AP,CD的方程分别为(-1)x-y+x=0,x-V5y-√3=0， 因为点P不在直线CD上，所以。-V5+V3≠0， 由--5=00，得=+，-5 (-1)x-xy+x=0 -V3%。+V3 (（5-x)x-3y,+5)-5(+5y-5) 所以yM-yw= 3-x-3y V3y(-V5%+V3) 5.(6-5%+0, 所以yw=w,因为x+V3y-V5≠0，所以MNx轴， 又直线cD 的斜率为= 31 所以直线MN与直线CD的夹角的大小为6，为定值. 40. 【驿解】@已知桶国E:器+若=a>6>0,房心e-9点 。2，以短轴端点和焦点为顶点的四边形 是菱形，边长均为a, 周长为4a=8,得a=2,因此c=ae=V2,由椭圆关系b2=a2-c2=4-2=2,故椭圆E的方程为 x+-1 42 (2) 设直线的方程为y=k(x-)k≠0)，A(x,),B(x2,2),则C(x2,-), y=k(x-t) 联立直线与椭圆方程：父+上-1”整理得 42 1+2k2)x2-4k2x+2k2t2-4=0 17/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4k't 2k22-4 由韦达完理得：+名=1+2，=1+22 根据商点式翔直线4C的方程为为子冬，令)=0：得。十必 y-y=x-X y+y2' 将=k:-),2=(:-)代入D点横坐标xD, 2/ 2k212-4 4k2t 化商他纱≤他句之产 1+2k2 1+2k2 4 =一即 4k21 kx +kx -2kt 1+2k3~2 t D S=SmD州X-W=并州y-y, S=Sm=o州男-W=HX-以， 由题加3=38放并州-为多州忧-， 化简得4-=3，又<2，所以4-2=32，解得t=±1. B 41 【给灯手-1 (2)证明如下： 由1)知F(√5,0)，B(0,-1),A(2,0), 爽证AP∥B:只需送p:即-5上0 30-2,得，=3 3, 又。=，·所以只需证。2,5 3 设C(,h),D(5,),因为0g⊥OD,所以00OD=xx2+yo=0, 当直线的斜率不存在时，易知其方程为x=士1，则x,=x。=±1， 因为%>0,1+。=0，所以%2<0 18/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 将x=士1代入4+少=1得为=，代入1+y。=0得% 25 3 当直线I的斜率存在时，设其方程为y=a+m,易知k≠0， 则名。m 少=c,+m,代入+y。三0：得：为m+(c,+mb=0 -kmyo 整理得5=k2yo+y%-m 又圆w与直线，相切，所以2 m=1k2=m2-1, -kmyo kyo ,三2+m=m-业 所以5(-1)。+e-m1-m。,为1-m。 1-myo 因为点在椭圆上，所以 D 整理得(k2+4-4m2)y6+4(m2-)=0, 又m2-1=2,所以-3k26+4k2=0, 2V5 由k≠0'0>0解得。= 3 2v5 综上，yg= 3, 即可得证 42. 【详解】(（1)由题意可知椭圆E的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为2×2b×c=35, bc=33 由已知条件可得e=￡-5 a=25 =a2,解得b=5, a2=b2+c2 c=3 19/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2 所以椭圆E的方程为 2)因为点M(化，%)在第一象限：所以直线OM的方程为P=之x 因为OM1ON:所以直线ON的方程为y=立x. 因为点v在直线，=-2上，所以点 24 ,-2 若直线M的斜率不存在时，MW1x轴，则戈- 。,即2，=x=12-4 即2+%-6=0：解得=2（合）或%=，此时M5》 所以直线OM的方程为y=5:】 2x,直线4B的方程为y=3”则B25,3)此时AB=25: kw=%+2 当直线的斜率存在时， 6-2少， MN 因为 所以ka=。 2y02w=x8 AB⊥MN %+2x(0y0+2) 2y0-片x+3 x(+2) 联立 y=业x ，得3x,(+2)。3x0+2)=’ x= 12-33(2-)(2+%)2-% 2-%2-% -,六小.6 (2-)月 (2-)1 12-45+16-48%+36_1266-4%+9_22-=12, (2-)月 (2-)(2-y) 所以AB=2V3. 综上所述，AB=2V3」 20/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 43 【答案】4+少=1 2 2)直线4N的斜率为定值3，理由如下： 如图： 7B 当直线AB与x轴重合时， 先取A(-2,0),B(2,0),则直线BC:y=2x-4, 42 所以N(4,4),kw4-(-23: 2 再取A(2,0),B(-2,0),则直线BC:y= (+2), 当直线B不与x轴重合时，设直线4B:x=少+1代入椭圆方程4+少=1， 符++y2=1,整理得：（仁+4+20-3=0 4 2t 3 设A(x,y),B(G,2),则y+少=产+4，=+4 5 直线：1x2 2 =5 BC 21/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E4可海y亚+2-83%2"83+26 令 2x2-5 2(y2+1)-52y2-3, 即W4, 2+2y2-6 2少2-3月 3y+20,6-y 所以kw=2,-3 必习 4-x 3-y (3-y)2y2-3) 2t） 3- 3】 -2- (2+4气2+4 +2y2-6 3y+)-2y+22-6= 3 +-2+,93刘424F9 22-6-22-3）2 30y-93(-3)3 综上可知，直线4N的斜率为定值？· 22/22 专题06 解析几何 7年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2020-2026） 命题规律 直线与圆 2020 圆心轨迹、2022 对称轴、2024 距离、2026 相切，共 4 道小题 基础送分题，考查点到直线距离、切线、对称性；题量少，难度常年稳定 双曲线 2020 焦点渐近线、2021 方程、2022/2026 渐近线、2023 方程、2024 公共点、2025 离心率，每年 1 道小题 必考小题，离心率、渐近线为高频考点；2024 起开放型 "写出一个值" 题型增多，灵活性增强 抛物线 2020 垂直平分线、2021 面积、2023 距离、2024/2025 焦点坐标，共 5 道小题 定义与焦半径是核心；侧重基础性质考查，题量少于双曲线，难度中等 椭圆 2020–2026 每年 1 道压轴大题，共 7 题 绝对主力大题，固定两小问：求方程 + 综合探究；2024 后对称点、面积比较、斜率定值等创新设问频繁，运算量加大 轨迹问题 2022 三棱锥截面、2024 点集区域，共 2 道小题 常与立体、函数交叉命题；由求轨迹方程转向分析轨迹图形面积、最值，数形结合要求高 小结：椭圆大题地位稳固且综合性逐年加强；双曲线小题必考；轨迹题跨模块融合是近年新趋势。 考点01 直线与圆 1．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 4．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 考点02 双曲线方程及其性质 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 7．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 故答案为：；. 考点03 抛物线方程及其性质 1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 2．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 4．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【解析】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 5．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 【答案】B 【解析】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 考点04 椭圆方程及其性质 1． （2026·北京·高考真题） 已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． （1）求的方程； （2）过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，则，即，故的方程为； 【小问2详解】 由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 2．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【解析】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解析】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 4．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【解析】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【解析】（1）依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 6．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【解析】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 7．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得：， 故椭圆方程为：. (Ⅱ)[方法一]： 设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即：， 则：. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：. 很明显，且，注意到， ， 而 ， 故. 从而. [方法二]【最优解】：几何含义法 ①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以． ②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且． 由题意知直线的斜率存在．． 当时， ． 同理，．所以． 因为，所以． 考点05 轨迹问题 1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选：B 一、单选题 1．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）双曲线的焦距为（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由双曲线的标准方程求出参数，进而由参数关系求得，从而求得焦距. 【详解】由题意得，则， 则双曲线的焦距为. 2．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 3．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 4．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题知，双曲线焦点位于x轴上，故， 渐近线方程为， 而已知双曲线的一条渐近线方程为， 故，解得. 5．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 所以方程可化为：，表示焦点在轴上的双曲线. 所以，， 由. 6．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 7．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 8．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 9．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 10．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点； ④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】由题可得曲线C方程满足：.对于①，通过验证，是否均在曲线上可判断正误；对于②③④，将对应方程与曲线方程联立，通过判断联立方程在题设限制下根的个数可判断正误. 【详解】设，由题可得. 对于①，设在曲线C上，则. 对于，代入方程左边可得， 从而也在曲线C上，即曲线C为中心对称图形，故①正确； 对于②，将与联立，则. 对于方程，其判别式为， 则方程总有两相异实根，又注意到当且仅当，方程有根， 则不为0时，与曲线C总有两不同交点，故②正确； 对于③，将与联立，则， 显然时，方程无实数根， 则当时，与曲线C无交点，故③错误； 对于④，将与联立，则， 显然时，方程无实数根， 则当时，与曲线C无交点，故④错误. 综上，可得①②正确. 故选：B 11．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而. 又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 从而. 12．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 13．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线：，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 14．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 15．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的面积与的面积相等这一条件，结合圆的切线性质，得出的长度，最后根据点到直线的距离公式求出的范围. 【详解】由，得， 所以. 因为，所以四点共圆，所以， 所以，又，所以，又， 所以=1，因此得， 因为点在直线上，且的最小值为圆心到直线的距离, ，因为，所以，解得，在各选项中只有选项C满足. 故选：C 16．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设圆心坐标，可得圆心满足的条件，再用三角换元及辅助角公式可得距离的最小值. 【详解】设圆心为，因为圆经过，且半径为1，所以， 令，即. 所以圆心到直线的距离为 ，其中. 当且仅当时等号成立. 所以圆心到直线的距离的最小值为3. 故选：B 17．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 18．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界），作出图象，数形结合得解. 【详解】，，所以， 所以，又，可得， 所以，故， 所以点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界）. 令，则，且在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 作出图象如图所示，易得，，，，， 由图易得，表示的图形的面积小于矩形的面积，故. 故选：A. 19．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断. 【详解】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 20．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图直角坐标系，由向量运算转化为求范围，再利用直线纵截距的最值，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系， 因为，，由直角三角形全等可知，    ∴， 设， 则 ， 令，则， 即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围， 当直线过时，有最大值，此时， 当直线过时，有最小值，此时. 所以， 故选：C 21．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，所以边上的高线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线， 因为点，点，， 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为“欧拉线”与圆相切，所以圆心到“欧拉线”的距离为，即， 圆心到直线的距离为， 由圆的对称性可知，圆M上的点到直线的距离的最小值为. 22．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 二、填空题 23．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______． 【答案】2 【详解】抛物线的准线方程为，依题意，， 而的焦点为，所以其焦点到准线的距离为. 24．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知直线过抛物线的焦点，则________． 【答案】2 【详解】抛物线的焦点为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，解得. 25．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 【答案】6 【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故， 而点在上，，根据抛物线定义可知到准线的距离，解得. 26．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为为C上一点， 根据抛物线的定义，可得点到准线距离为. 27．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 28．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】先求出点P的轨迹方程，将原点O代入轨迹方程即可判断①；由点位于直线的右侧和即可求解判断②；由时求出y即可判断③；由x的取值范围将x的整数取值代入轨迹方程求出y即可判断④. 【详解】点到点的距离为，到直线的距离为， 则，即点的轨迹方程为， 将点代入点P的轨迹方程得， 所以点过坐标原点，①正确； 因为点位于直线的右侧，所以， 又， 所以，②正确； 对于③：在中， 当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 所以点在第一象限内，的最大值一定大于，故③不正确； 因为，令， 所以点共经过这3个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确． 29．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 【答案】 【分析】利用焦半径公式求，再利用抛物线的方程求. 【详解】由题意. 所以. 30．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出圆心坐标，根据题意列方程求出圆心坐标，半径即为圆心到轴的距离. 【详解】由抛物线可知的准线的方程为， 因为圆心在上，设圆的圆心坐标， 又因为圆分别与直线和轴都相切， 所以，解得或， 所以圆的半径. 31．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点， 因为点在圆上，所以， 又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得， 将代入可得：， 因为，所以解得，，    由题意，则可得，， 因为，则在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径，圆方程为， 由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离不大于半径：， 解得，即的取值范围为. 32．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 【答案】或 【分析】根据题意，得到，取的中点，得到，且，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为直线与圆交于两点，且圆弧的长恰为圆周长的， 如图所示，可得，即为等腰直角三角形， 取的中点，连接，可得， 因为，可得，即圆心到直线的距离为， 所以，解得或. 33．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【分析】分析出曲线关于原点对称，可知、也关于原点对称，可判断①；当时，求出关于的表达式，结合基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，可判断②；分析可知曲线关于直线、对称，求出曲线与这两条直线的四个交点围成的菱形的面积，可判断③；利用配方法得出，求出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为， 所以，即点在曲线上， 故曲线关于原点对称， 又因为函数为奇函数，点、是直线与曲线的交点， 故点、关于原点对称， 所以，，总有，①对； 对于②，当时，曲线的方程为， 联立可得， 可得，即， 所以， 若取最大值，必有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即， 故，②错； 对于③，在曲线上取点，该点关于直线的对称点为， 因为，即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 点关于直线的对称点为， 因为，故曲线关于直线对称， 由基本不等式可得， 即，当且仅当或时，等号成立， 所以， 取点、， 所以 ， 同理可得，所以， 故曲线是以点、为焦点的椭圆， 设曲线交直线于、两点， 联立可得，此时，    设曲线交直线于、两点，联立可得， 故， 易知四边形为菱形，该菱形的面积为， 故曲线所围成区域的面积大于菱形的面积， 即曲线所围成区域的面积不为，③错； 对于④，当时，曲线的方程为， 则，可得，解得， 当时，，总有，④对. 故答案为：①④. 34．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知曲线，给出以下四个结论： ①曲线是轴对称图形； ②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积； ④曲线与直线有公共点. 其中所有正确结论的序号是________________. 【答案】① ③ 【详解】对于①，设为曲线上任意一点， 则， 又因为关于的对称点为， 且， 所以在曲线上， 所以曲线关于的对称，所以曲线是轴对称图形，故①正确； 对于②，因为， 所以点在曲线上，故②错误； 对于③，设曲线与轴正半轴交点为，与轴负半轴交点为， 设曲线， 易知曲线与曲线关于轴对称， 所以曲线过交点， 设曲线与轴负半轴交点为， 设直线与曲线和曲线在第二象限的交点分别为，， 于是可得， 即， 下面分析的大小， 若，则， 所以， 所以或， 即或，显然均不成立，故； 若，则， 所以， 所以， 所以，所以， 所以或， 即或， 显然与矛盾，故不成立； 若，则， 所以， 所以， 所以，所以， 所以且， 即且，显然与可以同时满足，故成立， 所以曲线在第二象限的面积小于曲线在第二象限的面积， 进而可知曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积，故③正确； 对于④，联立， 消去得， 因为， 所以方程无根， 所以曲线与直线无公共点，故④错误. 故答案为：① ③    三、解答题 35．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【答案】(1) ； (2)设直线的方程为，点 ，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 36．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 【答案】(1)； (2) 不存在满足条件的点，理由如下： 由题意得，设， 中点坐标为，直线的斜率方程为，令得， 直线的斜率方程为， 若，则，而，故， 将代入化简得：， 因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：， 此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点. 37．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）把点代入，得 解得，所以，椭圆的方程为：; （2）设直线AB方程为,,那么 化简可得， 根据韦达定理可知 ， 直线AE方程为,所以,点， 直线BE方程为,所以,点, , 所以，,即, 同理， , 所以，,即, 故四边形为平行四边形. 38．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）由题意得，，，则， 则椭圆的方程为； （2）因为在椭圆上，且点与点关于轴对称， 所以，， 则直线，令，则，则， 直线，令，则，则， 设，则， 因为，所以，得， 因为，所以，故. 39．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 【答案】(1) (2)如图，作出符合题意的图形， 由在椭圆上，得， 依题意可得直线的斜率存在，设的方程为，则， 由，得， 由 ，得， 由，得， 解得，， 设，由，得， 直线的方程分别为，， 因为点不在直线 上，所以， 由，得， 所以， 所以，因为，所以轴， 又直线 的斜率为， 所以直线与直线 的夹角的大小为，为定值． 40．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知椭圆，离心率， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为， 周长为，得，因此​， 由椭圆关系，故椭圆的方程为 . （2） 设直线的方程为，，，则， 联立直线与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， 根据两点式得直线的方程为，令，得 ， 将代入点横坐标， 化简得 即， ， ， 由题知，故， 化简得，又，所以，解得. 41．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 【答案】(1)； (2)证明如下： 由（1）知， 要证，只需证，即，得， 又，所以只需证. 设，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则， 因为，，所以 将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知， 则，代入，得：， 整理得， 又圆与直线相切，所以， 所以，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 又，所以， 由，解得. 综上，，即可得证.    42．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知椭圆的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为， 由已知条件可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为点在第一象限，所以直线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以点， 若直线的斜率不存在时，轴，则，即， 即，解得（舍）或，此时， 所以直线的方程为，直线的方程为，则，此时； 当直线的斜率存在时，， 因为，所以， 联立，得， 则，则， 所以 ， 所以. 综上所述，. 43．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线l与椭圆分别交于，两点，已知点，直线与直线交于点．求证：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)直线的斜率为定值，理由如下： 如图： 当直线与轴重合时， 先取，，则直线：， 所以，； 再取，，则直线：， 所以，. 当直线不与轴重合时，设直线：，代入椭圆方程， 得，整理得：. 设，，则，. 直线：， 令，可得， 即. 所以 . 综上可知，直线的斜率为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $