专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ 考点3 函数的概念和性质-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

专题二　函数概念与基本初等函数Ⅰ 考点3 1.解析　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－. 故选A. 答案　A 2.解析　由图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除选项A、B； 又当x∈(0,1)时，1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0， 由图可知当x∈(0,1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合. 故选D. 答案　D 3.解析　对A，因为f(x)是定义在R上奇函数，则f(0)＝0，故A正确； 对B，当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[((－x)2－3)e－x＋2]＝－(x2－3)e－x－2，故B正确； 对C，f(－1)＝－(1－3)e－2＝2(e－1)>2, 故C错误； 对D，当x<0时，f(x)＝(3－x2)e－x－2，则f′(x)＝－(3－x2)e－x－2xe－x＝(x2－2x－3)e－x， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或3(舍去)， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 则x＝－1是f(x)的极大值点，故D正确； 故选ABD. 答案　ABD 4.解析　通解　对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 优解一(特殊值法)　对于A，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数，故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正. 对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 答案　B 5.解析　(逻辑分析法＋数形结合法)　因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0].故选B. 答案　B 6.解析　(赋值法)　因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B. 答案　B 7.解析　对于A，因为M＝[－1,1]，所以f(x)<f(1)在(－∞，1)上恒成立，此时f(－1)<f(1)与f(x)是偶函数矛盾，故A错误；对于B，不妨取f(x)＝满足f(x)在x＝2处取到最大值，故B正确；对于C，若存在f(x)在R上单调递增，则对任意x0∈R，当x<x0时都有f(x)<f(x0)，则此时M＝R，与M＝[－1,1]矛盾，故C错误；对于D，若存在f(x)在x＝－1处取到极小值，则存在一个δ>0，对于任意x满足0<|x＋1|<δ，都有f(－1)<f(x)，－1－∈(－1－δ，－1)，而由－1∈M以及M的含义知f<f(－1)，与f(－1)<f(x)对于任意x满足0<|x＋1|<δ矛盾，故D错误，故选B. 答案　B 8.解析　(排除法)　由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋－>0，排除D.故选B. 答案　B 9.解析　法一： 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)， 对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确. 对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)， 则f(1)＝0，故B正确. 对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0， 令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确. 对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误. 法二： 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)， 对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确. 对于B，令x＝y＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)， 则f(1)＝0，故B正确. 对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0， 令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)， 又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确. 对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋， 故可以设＝ln(x≠0)，则f(x)＝ 当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)， 令f′<0，得0<x<e－； 令f′>0，得x>e－； 故f(x)在上单调递减，在上单调递增， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误. 故选ABC. 答案　ABC 10.解析　∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，∴a＝0，选B. 答案　B 11.解析　因为f＝为偶函数，则f－f＝－＝＝0， 又x≠0，可得ex－ex＝0，即ex＝ex，则x＝x，即1＝a－1，解得a＝2. 故选D. 答案　D 12.解析　由f(x)＝，可得f(－x)＝＝，所以得f(－x)＋f(x)＝＝1. 答案　C 13.解析　设f(x)＝(3x－3－x)cos x，f(－x)＝(3－x－3x)·cos(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B、D，令x＝1，则f(1)＝(3－3－1)cos 1＞0，排除C，故选A. 答案　A 14.解析　令y＝1得 f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)， 消去f(x＋2)和f(x＋1)得到f(x＋3)＝－f(x)，故f(x)周期为6； 令x＝1，y＝0得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒ f(0)＝2， f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1， f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2， 故(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) ＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3， 即(k)＝－3.故选A. 答案　A 15.解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x>0时，y＝≤＝cos x≤1，与图象在y轴右侧最高点大于1不符，所以排除C.故选A. 答案　A 16.解析　因为f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2). 因为f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)，且由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0. 所以f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，且易知函数f(x)周期为4，其他几个不一定为0.故选B. 答案　B 17.解析　通过f(x＋1)是奇函数和f(x＋2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式f(x)＝－2x2＋2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案. 因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①； 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x＋2)＝f(－x＋2)②. 令x＝1，由①得：f(0)＝－f(2)＝－(4a＋b)， 由②得： f(3)＝f(1)＝a＋b，因为f(0)＋f(3)＝6， 所以－(4a＋b)＋a＋b＝6⇒a＝－2， 令x＝0，由①得：f(1)＝－f(1)⇒f(1)＝0⇒b＝2，所以f(x)＝－2x2＋2. 法一：从定义入手 f＝f＝f＝f， f＝f＝－f＝－f， －f＝－f＝－f＝－f， 所以f＝－f＝. 法二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数f(x)的周期T＝4 所以f＝f＝－f＝. 故选D. 答案　D 18.解析　由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 对于A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，y＝f(x)g(x)＝sin x， 则y′＝2xsin x＋cos x， 当x＝时，y′＝×＋×>0，与图象不符，排除C. 故选D. 答案　D 19.解析　解法一　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a＝－(x3＋a)，得a＝0. 解法二　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝a＝0. 经检验，a＝0符合题意. 答案　0 20.解析　由已知得g(x)＝，当x≥0时，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x<0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x<0.综上，x的取值范围为(－∞，1]. 答案　(－∞，1] 21.解析　因为y＝f＝2＋ax＋sin＝2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以f＝f，即2－a＋cos＝2＋a＋cos， 则πa＝2－2＝2π，故a＝2， 此时f＝2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x， 所以f＝2＋1＋cos＝x2＋1＋cos x＝f， 又定义域为R，故f为偶函数， 所以a＝2. 答案　2 22.解析　由题可知f＝2－＝， 所以f＝f＝. 当x≤1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[－1,1]； 当x＞1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[1,2＋]. 所以f(x)∈[1,3]的解集为[－1,2＋]. 所以b－a的最大值为3＋. 答案　　3＋ 23.解析　f(x)＝ln ＋b＝ln ＋ln eb＝ln .∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝ln ＝0，∴|(a＋1)2e2b－a2e2bx2|＝|1－x2|.当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，[(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立，则解得当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，则 无解.综上，a＝－，b＝ln 2. 答案　－　ln 2 24.解析　由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值. f[f()]＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3， 故a＝2， 故答案为2. 答案　2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题 1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A.－ B.－ C. D. 2.(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 3.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A.f(0)＝0 B.当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x＝－1是f(x)的极大值点 4.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1,0] C.[－1,1] D.[0，＋∞) 6.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3 时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10 000 7.(2024·上海卷)已知定义在R上的函数f(x)，集合M＝{x0|对于任意x∈(－∞，x0)，f(x)<f(x0)}，在使得M＝[－1,1]的所有f(x)中，下列说法成立的是(　　) A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x＝2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x＝－1处取到极小值 8.(2024·全国甲卷·理)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) 9.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f的定义域为R，f＝y2f＋x2f，则(　　) A.f＝0 B.f＝0 C.f是偶函数 D.x＝0为f的极小值点 10.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 11.(2023·全国乙卷·理)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 12.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意的实数x，有(　　) A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝0 C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)－f(x)＝ 13.(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　) 14.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A.－3 B.－2 C.0 D.1 15.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是(　　) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 16.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A.f＝0 B.f＝0 C.f＝0 D.f＝0 17.(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A.－ B.－ C. D. 18.(2021·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象为如图的函数可能是(　　) A.y＝f(x)＋g(x)－ B.y＝f(x)－g(x)－ C.y＝f(x)g(x) D.y＝ 二、填空题 19.(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝________. 20.(2024·上海卷·春)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝，若g(x)满足g(x)≤2－x，则x的取值范围为________. 21.(2023·全国甲卷·理)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 22.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝______；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值为________. 23.(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝________，b＝________. 24.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f[f()]＝3，则a＝________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $