专题03函数的概念与性质 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题03函数的概念与性质 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1函数及其表示（5年4考） 2025年已知分段函数的值求参数或自变量 2024年求分段函数值 2023年分段函数的值域或最值 2022年根据值域求参数的值或者范围 上海高考数学试卷结构保持稳定，函数的概念与性质相关内容在填空题、选择题和解答题中均有出现。 在填空题和选择题中，通常会有对函数基本概念，如定义域、值域、奇偶性、单调性等的考查，一般难度适中，主要考查考生对基础知识的掌握程度。 在解答题中，可能会将函数的性质与导数、方程、不等式等知识相结合，以综合题的形式出现，难度相对较大，考查考生的综合运用能力和逻辑思维能力 考点2函数的基本性质（5年5考） 2025年利用函数单调性求最值或值域 2024年由奇偶性求参数 2023年由奇偶性求参数 2022年由奇偶性求参数 2021年函数对称性的应用；根据函数的单调性求参数值 考点01函数及其表示 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 2．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 3．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 4．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 考点02 函数的基本性质 5．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 7．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 9．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 10．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 2．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 6．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 7．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 8．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 9．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为 . 10．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 11．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 12．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 13．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 14．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有 个. 15．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 ． 三、解答题 16．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 18．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03函数的概念与性质 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1函数及其表示（5年4考） 2025年已知分段函数的值求参数或自变量 2024年求分段函数值 2023年分段函数的值域或最值 2022年根据值域求参数的值或者范围 上海高考数学试卷结构保持稳定，函数的概念与性质相关内容在填空题、选择题和解答题中均有出现。 在填空题和选择题中，通常会有对函数基本概念，如定义域、值域、奇偶性、单调性等的考查，一般难度适中，主要考查考生对基础知识的掌握程度。 在解答题中，可能会将函数的性质与导数、方程、不等式等知识相结合，以综合题的形式出现，难度相对较大，考查考生的综合运用能力和逻辑思维能力 考点2函数的基本性质（5年5考） 2025年利用函数单调性求最值或值域 2024年由奇偶性求参数 2023年由奇偶性求参数 2022年由奇偶性求参数 2021年函数对称性的应用；根据函数的单调性求参数值 考点01函数及其表示 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、数量积的坐标表示、辅助角公式、垂直关系的向量表示 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数值 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 3．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 4．（2022·上海·高考真题）设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 . 【答案】，， 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】由可得，可判断当时，；当时，；从而可得，，时，参数的最小值为，从而求得． 【详解】令得，或（舍去）； 当时，，故对任意， 都存在，，，故， 故，，，而当时，， 故当，，时，参数的最小值为， 故参数的取值范围为，， 故答案为：，． 考点02 函数的基本性质 5．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、利用函数单调性求最值或值域 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 6．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 7．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ． 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义可求参数的值. 【详解】当时，， 当时，，故， 而，故即， 故答案为：1. 8．（2021·上海·高考真题）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ） A．为偶函数且关于直线对称 B．为偶函数且关于点对称 C．为奇函数且关于直线对称 D．为奇函数且关于点对称 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC的正误，根据对称性可得，据此可判断D的正误. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 故为周期函数且周期为2， 而在必有最大值，故必有最大值，故A错误. 对于B，而的图像关于点对称，故， 故，故，故 故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故B错误. 对于C，因为为奇函数，故， 而的图像关于直线对称，故，故， 所以故为周期函数且周期为4， 而在必有最大值，故必有最大值，故C错误. 对于D，因为为奇函数，故， 而的图像关于点对称，故， 故，设， 则，故无最大值， 故选：D 9．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 10．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数与方程的综合应用、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解绝对值不等式即可得答案； （2）利用有两个不同的实数根，转化为有两个根，利用换元法可求实数a的取值范围； （3）分与两类情况，结合复合函数的单调性可得使得函数在定义域内具有单调性的的取值范围. 【详解】解：（1），∴，解得； 所以函数的定义域为. （2）由题知有2个不同实数根， 所以，， 设，∴有2个不同实数根， ∴整理得，有2个不同实数根，同时， ∴； （3）当，，在递减， 此时需满足，即时，函数在上递减； 当，，在上递减， ∵， ∴，即当时，函数在上递减； 综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减. 所以的取值范围是 【点睛】本题第二问解题的关键在于利用换元法，将问题转化为，有2个不同实数根，进而求解，第三问解题的关键在于分类讨论求解. 一、单选题 1．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【答案】A 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据的值求出的值. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 2．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 3．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、利用导数研究方程的根、函数新定义 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 4．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数的周期性的定义与求解、函数周期性的应用、函数新定义 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 二、填空题 5．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 6．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 7．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 8．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 9．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、由奇偶性求参数 【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解； 【详解】由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以，所以， 即，，满足； 所以， 故答案为： 10．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数新定义 【分析】设，得到方程，解出，再转化为不动点问题，再结合蛛网图即可得到范围. 【详解】设， ，对求导得， 则 这是一个“吸引不动点”. 由蛛网图可知 ，，，使得， 故，有 因此.① 另一方面，当时，， 又， 所以.② 结合①②可知， 故. 当时，取满足题意. 当时，任取的实数，满足题意. 故的取值范围为 故答案为：. 11．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二分法求函数零点的过程、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、复合函数的单调性 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象 【分析】根据题意，求出的表达式，进而得到的表达式，利用图象分割求解面积. 【详解】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 13．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用cosx（型）函数的对称性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 14．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有 个. 【答案】18 【知识点】排列组合综合、函数新定义 【分析】根据题目所给条件，先根据定义域确定关键的函数值，然后根据计数原理将不能确定的几个函数值进行排列即可得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系； 的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即： ，，. 可得：，只能是，，，这样在值域当中只剩下是的倍，故，. 因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种. 故答案为： 15．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 ． 【答案】44 【知识点】函数对称性的应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质，以及新定义的等式，构造函数，分类讨论，结合绝对值函数求和的性质列出不等式，得到，从而求出，时不合要求，舍去，最终求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有5个公共点， 假设，故5个公共点横坐标分别为， 根据绝对值函数求和的性质知： 当为奇数时，函数的图象关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最小值，此时与最多有2个交点，不满足题意； 当为偶数时，若，则函数图象在上是一条水平的线段， 若，则函数图象在上是一条水平的线段， 故与可以有5个交点， 若，此时有， 若，此时有， 且，故， 即， 所以 故，，故． 当时，，故舍去， 综上，数列的项数的最大值为44. 故答案为：44. 三、解答题 16．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 17．（2025·上海奉贤·二模）函数，其中． (1)若函数是偶函数，当时，求的值； (2)求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【答案】(1) (2)值域为，证明见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由偶函数的定义可求得，进而利用指数函数的单调性可求得； （2）由题意可得，由基本不等式可得，可证结论. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； （2）  又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 18．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$